Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Понятие линейного динамического звена

САУ удобно представлять для анализа и при синтезе в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов – динамических звеньев.

Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 1.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Подробное изучение свойств реальных объектов управления и систем автоматического управления приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно аппарат изучения линейных систем, а особенности систем других классов: нелинейных, импульсных, цифровых и стохастических, будут излагаться позднее в других учебных дисциплинах.

Если уравнение, связывающее сигналы Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепии Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи, линейно, то говорят о линейном динамическом звене

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

где Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи— постоянные коэффициенты, Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом.

Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Преобразуем уравнение (2) к следующему виду

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Отношение (4) не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена (Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи), имеет вид дробно-рациональной функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи,

называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции – это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Определим передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

По второму закону Кирхгоффа запишем уравнения описывающие схему

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

С учетом того, что

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи,

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Получим операторные уравнения

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Из второго уравнения выразим значение изображения тока

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

В итоге получаем искомую передаточную функцию

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Графически передаточные функции динамического звена представляют в следующем виде:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Если известно изображение входного сигнала и передаточная функция динамического звена, всегда можно найти изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.(5)

В общем случае САУ состоит из множества динамических звеньев, сигналы с выходов звеньев могут суммироваться или вычитаться, суммироваться с внешними для САУ сигналами. Суммирование и вычитание изображений сигналов могут быть представлено графически с помощью суммирующих звеньев:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Показанная выше неоднозначность графического представления вычитания изображений на суммирующем элементе связана с различием в стандартах разных стран.

Используя графическое представление передаточных функций звеньев и суммирующие звенья, можно в графической форме представить операторные уравнения, описывающие САУ. Такое графическое представление операторных уравнений в ТАУ называют структурной схемой.

По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Получим систему операторных уравнений, подвергнув исходную систему дифференциальных уравнений преобразованию Лапласа и заменив оригиналы изображениями,

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Из первого уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи,

а выражение Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиописывает суммирующее звено Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи. Таким образом, получены два фрагмента структурной схемы

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Из второго уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим, вводя обозначение,

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи,

а выражение Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиописывает суммирующее звено Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи. Таким образом, получены еще два фрагмента структурной схемы

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Соединим все фрагменты структурной схемы объекта управления, объединяя одноименные сигналы, либо разветвляя их с помощью точек ветвления , показанных на схеме. В результате получим

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Временные характеристики динамического звена

Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи, обозначая ее как Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи. При этом схема эксперимента имеет вид –

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена?

Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Получаем, что передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи,

при использовании разложения в форму Хэвисайта и обратное преобразование Лапласа.

Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы.

Для динамического звена с передаточной функцией Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипреобразуем (5), используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа,

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи,

а если легко получить Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи, тогда

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи, обозначая ее как Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи. При этом схема эксперимента имеет вид –

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

По теореме об интегрировании оригинала имеем

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристике и наоборот

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Контрольные вопросы и задачи

Что такое линейное динамическое звено?

Как определить передаточную функцию линейного динамического звена?

Перечислите основные элементы структурных схем систем управления.

Как определить по передаточной функции динамического звена его временные характеристики: импульсную и переходную?

Как по переходной характеристике определить импульсную характеристику динамического звена?

Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Видео:ТАУ│Передаточная функция устройстваСкачать

ТАУ│Передаточная функция устройства

Составление дифференциального уравнения заданной электрической цепи при заданном входном воздействии 10В и следующих исходных данных

Оглавление.

Составление дифференциального уравнения заданной электрической цепи при заданном входном воздействии 10В и следующих исходных данных. 5

Решение полученного дифференциального уравнения операторным способом, используя преобразования Лапласа. 6

Построение переходного процесса Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипри заданном входном воздействии. 7

Запись выражений и построение частотных характеристик цепи. 9

Получение математического описания цепи в терминах пространства состояний. 13

Получение передаточной функции. 14

Получение дискретной передаточной функции. 14

Список литературы. 16

Введение

В данной работе проводилось исследование электрической цепи с применением математических методов.

В результате различных изменений состояния и параметров, возникают различные переходные процессы, которые являются следствием перераспределения энергии между элементами цепи.

В процессе работы было составлено дифференциальное уравнение, которое описывает входные и выходные параметры цепи, составлено уравнение в терминах пространства состояния, которое послужило проверкой для подтверждения правильности дифференциального уравнения, а также была получена функция в дискретном виде. Все эти виды записи описывают динамический процесс, происходящий в данной схеме электрической цепи.

Найденное дифференциальное уравнение было решено классическим методом и на основе полученного решения, был построен график переходного процесса. Описание в дискретной форме показывает наглядно, насколько различаются графики переходного процесса при разных временах дискретизации.

Для построения графиков использовалась программа MathCAD.

Видео:Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениямСкачать

Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениям

Операторный метод расчета переходных процессов

Содержание:

Операторный метод расчета переходных процессов:

Для решения линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений в теории электрических цепей нашел широкое применение так называемый операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа.

Сущность этого метода заключается в том что функции вещественного переменного t преобразуются в функции комплексного переменного Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Переход от функции вещественного переменного t к функции комплексного переменного p осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Обратный переход от функции комплексного переменного р к функциям вещественного переменного t осуществляется на основании обратного преобразования Лапласа

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Функцию Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиназывают оригиналом, а функцию Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи— изображением оригинала по Лапласу или просто изображением.

Напомним, что для того чтобы функция Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиимела изображение (8.1), необходимо, чтобы она:

  1. удовлетворяла условиям Дирихле;
  2. была равна нулю для отрицательных значений t, т. е. при Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи
  3. в интервале Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепине возрастала быстрее, чем некоторая показательная функция

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

где Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи— произвольные положительные числа, т.е. здесь не требуется абсолютная интегрируемость функции Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепикак это требуется в интегралах Фурье. Поэтому преобразования Лапласа возможны для более широкого класса функций, чем преобразования Фурье.

Применение свойств преобразования Лапласа в сочетании с теоремой разложения дает возможность составить таблицы изображений и оригиналов, облетающие и ускоряющие нахождение оригиналов по изображениям [4, 26]. Применение операторного метода совместно с компьютерными математическими программными средами делает анализ и расчет электрических цепей доступным, быстрым и интересным.

Особенностью метода является необходимость выполнения трех этапов:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Видео:[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]

Эквивалентные операторные схемы замещения элементов

Активное сопротивление:

На рис. 8.1 изображена схема замещения в операторном виде участка цепи с активным сопротивлением. Для этого участка цепи связь между операторным напряжением и током записывается в виде Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Индуктивность:

Для участка цепи с индуктивностью при ненулевых начальных условиях операторная схема замещения изображена на рис. 8.2.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Связь между операторным напряжением и током записывается в виде Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Емкость:

Для участка цепи с емкостью при ненулевых начальных условиях операторная схема замещения изображена на рис. 8.3.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Связь между напряжением и током устанавливает соотношение

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

В эквивалентных операторных схемах для индуктивности и емкости с ненулевыми начальными условиями возникают дополнительные источники ЭДС Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепикоторые называются внутренними. Они указывают на то, что в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Таким образом, начальные условия автоматически учитываются при переходе от интегрально-дифференциальных уравнений к алгебраическим (постоянную интегрирования вычислять не нужно).

Порядок расчета:

  1. определяют независимые начальные условия;
  2. составляют эквивалентную операторную схему замещения для послекоммутационной цепи;
  3. составляют систему уравнений в операторной форме в соответствии с выбранным рациональным методом расчета эквивалентной схемы замещения и решают ее относительно изображений неизвестных величин;
  4. для нахождения оригиналов неизвестных величин используют таблицы соответствия, формулы теоремы разложения, компьютерные программные среды и др.

Операторные функции электрических цепей

Основные операторные функции:

Операторной функцией цепи называется отношение изображения по Лапласу выходной величины Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепик изображению входной Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипри нулевых начальных условиях, т. е,

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее схемы. Различают входные и передаточные операторные функции. В табл. 8.1 приведены соотношения для расчета операторных функций сложных цепей.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Для расчета операторных функции можно применять все методы расчета комплексных функций

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

т. е. комплексная функция является частным случаем операторной при замене оператора Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепина переменную Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Анализ переходных процессов в цепях с помощью операторных функций

По известной операторной функции цепи и операторному изображению воздействия можно найти реакцию цепи на это воздействие

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

На рис. 8.4 (а—в) приведены временные диаграммы переходных процессов, а также полюсно-нулевое представление на комплексной плоскости.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

По расположению полюсов операторной функции можно судить о характере переходное процесса:

  • если все полюсы расположены только на отрицательной вещественной полуоси, то переходный процесс в цепи носит апериодический характер;
  • если имеются сопряженные полюсы в левой полуплоскости, то переходный процесс носит характер затухающих колебаний;
  • если все полюсы расположены только на отрицательной мнимой оси, то переходный процесс в цепи носит характер незатухающих колебаний.

Примеры решения задач

Пример 8.4.1.

В интегродифференцирующем контуре постоянного тока (рис. 8.5), применяемом для коррекции ЭЦ и САУ. определить напряжение Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипостроить его график, если

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Решение

Определяют независимые начальные условия — напряжения на емкостях. До коммутации ключ был разомкнут, напряжение на емкостях отсутствовало: Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.6).

Находят изображение напряжения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепигде

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Сопротивление всей цепи определяется выражением

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

По данному изображению находят оригинал (рис. 8.7) напряжения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепидля этого пользуются таблицей преобразования Лапласа (см. табл. 8.2, п. 3.5) или преобразованиями в среде Mathcad (рис. 8.7).

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Пример 8.4.2.

К пассивному -фильтру нижних частот подключается нагрузка Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи(рис. 8.8). Рассчитать и построить график, изменения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи
Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи
Дано: Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Решение

Определяют независимые начальные условия — напряжение на емкости

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.9).

Операторный ток Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиопределяют методом наложения, т.е. как алгебраическую сумму двух частичных токов Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Операторные схемы, соответствующие частичным токам, изображены на рис. 8.10.

Искомый ток Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Определяют частичный ток

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Аналогично определяют частичный ток

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиНайти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

По данному изображению Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепинаходят оригинал

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Подставляя числовые значения величин, получают

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Строят график тока Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепив компьютерной программной среде (рис. 8.11).

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Выводы. До коммутации напряжение на емкости определялось падением напряжения на сопротивлении Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиТок, проходящий через емкость, был равен нулю. После коммутации произошло перераспределение напряжения между сопротивлениями Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепивследствие чего напряжение на емкости повысилось и образовался зарядный ток. Когда конденсатор зарядится до напряжения, определяемого на сопротивлениях Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипрохождение тока через емкость прекратится.

Пример 8.4.3.

Рассчитать коэффициент передачи по напряжению пассивной цепи (рис. 8.12) и составить ее схему так, чтобы при подключении на вход источника постоянной ЭДС Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиполучить на выходе напряжение вида:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи
Решение

Применяя преобразования Лапласа, находят изображения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Из прямых преобразований Лапласа и Фурье следует, что

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи
Если принять Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепитогда Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепии схему можно составить из Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиэлементов (рис. 8.13).

Если принять Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепитогда Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепии схему можно составить из Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиэлементов (рис. 8.14).

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Если принять Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепитогда Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепии схема будет иметь вид, изображенный на рис. 8.15.

Если принять Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепитогда Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепии схема будет иметь вид, изображенный на рис. 8.16.
Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Пример 8.4.4.

Параллельный колебательный контур (рис. 8.17) включается на постоянное напряжение Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Определить напряжение на конденсаторе и построить его опюру, если:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Решение

Определяют независимые начальные условия: напряжение на конденсаторе Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиток в катушке индуктивности Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Строят эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.18).

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Находят изображение напряжения на конденсаторе
Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

По данному изображению находят оригинал по теореме разложения дробно-рациональной функции
Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

где Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи— некратные полюсы изображения напряжения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиНайти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи— начальные значения компонент изображения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

При простых (некратных) полюсах Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиначальные значения компонент определяются но выражению [4]

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

а) Для первого варианта значений:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Полюсы изображения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипосле вычислений имеют значения:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Вычисляют производную Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепии ее значение при Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Вычисляют начальные значения компонент Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Графики напряжения на конденсаторе и его компонентов получены в среде Mathcad и показаны на рис. 8.19.

Тоn же результат может быть получен по таблице преобразования Лапласа (табл. 8.2, п. 8), если знаменатель изображения напряжения на конденсаторе представить в виде

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

б) Для второго варианта числовых значений:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

а полюсыНайти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Находят производную от Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепии вычисляют ее значения при Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

По теореме разложения определяют

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

где Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

или Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

График изменения напряжения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипредставлен на рис. 8.20.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Тот же результат может быть получен по таблице преобразования Лапласа (см. табл. 8.2, п. 13), если знаменатель Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипредставить в виде

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепиНайти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Примечание. Результаты этого примера сравните с результатами примера 6.3. Оцените достоинства и недостатки классического и операторного методов расчета переходных процессов.

Пример 8.4.5.

После замыкания ключа четырехполюсник (рис. 8.21) используется для работы на частотеНайти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

а) коэффициент передачи по напряжению Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепив режиме холостого хода и при активной нагрузке Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

б) характер переходного процесса по кривой переходного процесса.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи
Дано:Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Решение

В режиме холостого хода

Изображают эквивалентную операторную схему замещения. На рис. 8.22 приведена операторная схема замещения при нулевых начальных условиях.

Находят изображение напряжения на выходе

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Определяют полюсы операторной функции из уравнения Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепитогда

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Переходной процесс в цепи имеет апериодический характер, что видно из расположения полюсов на комплексной плоскости (рис, 8.23).

В режиме нагрузки

Изображают эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 8.24).

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Определяют операторную функцию Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепипо методу контурных токов, используя соотношение (см. табл. 8.1):

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Определяют полюсы операторной функции из уравнения

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Для этога вначале вычисляют L и С.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Находят корни уравнения:

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Переходный процесс в цепи имеет характер затухающих колебаний, что видно из расположения полюсов на комплексной плоскости (рис. 8.25).

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Электротехника
  2. Основы теории цепей
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Метод пространства состояний электрических цепей
  • Синтез электрических цепей
  • Цепи с распределенными параметрами
  • Электрическая энергия, ее свойства и применение
  • Переходные процессы в колебательных контурах
  • Расчет переходных процессов
  • Классический метод расчета переходных процессов
  • Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

7) ТАУ для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...Скачать

7) ТАУ  для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.Скачать

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задачаСкачать

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задача

ТОЭ - Расчет RC цепи. Найти коэффициент передачи H(jw), построить график АЧХСкачать

ТОЭ - Расчет RC цепи. Найти коэффициент передачи H(jw), построить график АЧХ

proТАУ: 1. Передаточная функцияСкачать

proТАУ: 1. Передаточная функция

Урок 17. Как работает Интегрирующая и Дифференцирующая RC-цепь | Самое понятное объяснениеСкачать

Урок 17. Как работает Интегрирующая и Дифференцирующая RC-цепь | Самое понятное объяснение

Расчет переходного процесса через ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ уравнение по законам Кирхгофа│Классический методСкачать

Расчет переходного процесса через ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ уравнение по законам Кирхгофа│Классический метод

Линейные цепи и элементы. Дифференциальные уравнения для цепейСкачать

Линейные цепи и элементы.  Дифференциальные уравнения для цепей

Расчет цепи с ИСТОЧНИКОМ ТОКА по законам КирхгофаСкачать

Расчет цепи с ИСТОЧНИКОМ ТОКА по законам Кирхгофа

КАК ТЕЧЁТ ТОК В СХЕМЕ | Читаем Электрические Схемы 1 частьСкачать

КАК ТЕЧЁТ ТОК В СХЕМЕ | Читаем Электрические Схемы 1 часть

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать

Составить дифференциальные уравнения семейств линий

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.
Поделиться или сохранить к себе: