Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.
Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.
Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.
Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.
Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса
Значение полуосей — большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)
Эксцентриситет — коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности
Фокальное расстояние
Коэффициент сжатия — отношение длин малой и большой полуосей
Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам
Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt
и получаем результат
Каноническое уравнение эллипса
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Эксцентриситет эллипса
Фокусное/фокальное расстояние
Коэффициент сжатия
Координаты первого фокуса F1(x1:y1)
Координаты второго фокуса F2(x2:y2)
Фокальный параметр
Перифокусное расстояние
Апофокусное расстояние
И еще один пример
Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса.
Если мы введем данные в калькулятор получим
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.
Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.
А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.
Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам
Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Эллипс
Эллипс является вытянутым кругом, который обладает двумя радиусами – горизонтальным и вертикальным, направленными из центра эллипса в наиболее удаленные от него точки на окружности. Радиусы эллипса называются полуосями. Зная полуоси эллипса, или оси эллипса, равные удвоенным значениям полуосей, геометрический калькулятор эллипса вычисляет его периметр и площадь, и наоборот. В разделах для полуосей и осей эллипса приведены формулы, специализированные под данные расчеты, а калькулятор производит все вычисления в считанные секунды.
Для нахождения координат точки эллипса по углу существует простое и элегантное решение. Понимаю, что для маститого математика это решение является очевидным. Однако, для меня в то далекое время, когда инет был диким, связь модемной, а я сильно молодым, это таковым не являлось.
ВНИМАНИЕ! Если Вы искали как найти координаты точки по углу от произвольной прямой и совсем не подразумевали эллипс, то Вам сюда.
Давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Потом теория. Оранжевый маркер отвечает за угол, на основании которого считаем координаты. Красный — параметрический угол, о котором ниже.
Обратимся, как обычно, к Википедии. Находим там следующее:
Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:
Очевидно, что t — это угол, и это не «наш» угол. Это какой-то другой угол, который функционально связан с «нашим». «Нашим» называю угол, от которого требуется посчитать координаты.
Таким образом, задача нахождения координат точки эллипса по углу сводится к задаче нахождения угла t, зависящим от требуемого. Нахождением этой зависимости и займемся.
У нас есть эллипс, описанный двумя полуосями a и b. Представим две окружности, имеющих общий центр. Меньшая окружность (зеленая) имеет радиус b. Большая окружность (синяя) имеет радиус a.
Проведем прямую из общего центра [X0;Y0] в произвольную точку плоскости [X;Y]. В результате пересечения с этими окружностями получаются две точки [X1;Y1] и [X2;Y2].
α – угол между прямой и осью X.
Малая окружность
X1 = b × cos α
Y1 = b × sin α
Большая окружность
X2 = a × cos α
Y2 = a × sin α
Таблица 1. Координаты точек пересечения прямой с окружностями
Используя уравнение (1) посчитаем координаты точки на эллипсе [X’;Y’] для угла α. Проведем прямую из центра [X0;Y0] в точку [X’;Y’]. Угол β – угол между этой прямой и осью X.
Задача сводится к тому, чтобы найти такой α, при котором β был бы равен интересующему нас углу. Таким образом, угол α будет являться параметром в уравнении (1) для требуемого угла β.
Найдем зависимость между получившимся углом β и углом α. На рисунке видно, что прилегающий к углу катет (синий) равен ранее рассчитанному X2, а противолежащий (зеленый) равен Y1:
X’ = X2 = a × cos α
Y’ = Y1 = b × sin α
Опыт показывает, что тут зачастую возникает легкий ступор. Возможно, рисунок вводит в некое заблуждение. Видим треугольник, и если с синим катетом вопросов нет, то с зеленым — масса. Почему синус от α? Угол «вона где», тут синус вообще не от того угла и т.д.
Смотрим на пересечение прямой и малой (зеленой) окружности. Зеленый катет прилетает именно оттуда. Именно так координату Y’ и рассчитывали, согласно уравнению(1). Рисунок — это иллюстрация, не метод решения.
Тангенс угла β в этом случае равен:
(3) Тангенс угла β
Используя формулу тангенса произведем дальнейшие преобразования:
(4) Зависимость тангенса α от тангенса β
Таким образом, видим прямую зависимость угла α, который нужен нам в качестве параметра в уравнении(1), от угла β, координаты точки от которого хотим получить.
Видео:Эллипс | Элементы аналитической геометрииСкачать
Нахождение координат
Угол α находим через арктангенс. В Delphi (и не только) для этих целей используется функция ArcTan2 из модуля math. Она корректно возвращает знак ± угла в зависимости от квадранта, а также предусмотрительно нечувствительна к возможным коллизиям, типа деления на 0.
Находим синус и косинус от требуемого угла β и подставляем в параметры функции ArcTan2, согласно последней формуле (4):
