Найти особые точки системы дифференциальных уравнений и определить их тип
Обновлено
Поделиться
Особые точки. Фазовая плоскость
Часто оказывается недостаточным простое утверждение об устойчивости или неустойчивости решения системы дифференциальных уравнений, а необходимо более тонкое изучение поведения этого решения с течением времени. При этом не требуется (или оказывается просто невозможным) отыскивать общее решение системы уравнений. Часть теории дифференциальных уравнений, посвященной этой проблеме, называется качественной теорией дифференциальных уравнений.
Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений:
Будем считать, что функции Л, —г,к = 1, . п являются OXk
непрерывными функция ми.
Пространство переменных (жьж2, . ,хп) е R», в КОТОРОМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ (1) ИЗОБРАЖАЕТСЯ В ВИДЕ ТРАЕКТОРИЙ. А САМА СИСТЕМА В ВИДЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ, НАЗЫВАЕТСЯ ФАЗОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ. В ЧАСТНОСТИ, ЕСЛИ П = 2, ТО ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО НАЗЫВАЮТ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТЬЮ. ТРАЕКТОРИИ НАЗЫВАЮТСЯ ФАЗОВЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ, ВЕКТОРЫ f (ж), ГДЕ f = (/i, X = (Xi, . Ж/7) НАЗЫВАЮТСЯ ФАЗОВЫ
МИ скоростями. Положение в фазовом пространстве, КОТОРОЕ ЗАНИМАЕТ ПРИ ФИКСИРОВАННОМ t ТОЧКА (жьЖ2, . . . ,ЖП), НАЗЫВАЕТСЯ ФАЗОВОЙ ТОЧКОЙ.
Под НАПРАВЛЕНИЕМ НА ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ НАПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ФАЗОВОЙ ТОЧКИ (жьж2, . . . ,Ж/г) ПО ТРАЕКТОРИИ В СТОРОНУ возрастания t Картина, которую образуют фазовые ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С УКАЗАННЫМ НА НИХ НАПРАВЛЕНИЕМ ДВИЖЕНИЯ, НАЗЫВАЕТСЯ ФАЗОВЫМ ПОРТРЕТОМ.
Возможны три типа фазовых траекторий: точка, замкнутая и незамкнутая кривая.
Обратимся к случаю п = 2, когда (1) есть линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами следующего вида:
Заметим, что система (2) всегда имеет нулевое решение. Кроме того, если
то система (2) имеет единственную точку покоя (0,0), иначе точки покоя заполняют прямую ах + by = 0.
Характер поведения фазовых траекторий системы (2) на фазовой плоскости определяют корни Ai и А2 характеристического уравнения
Эти корни могут быть либо действительными, причем простыми или кратными, либо комплексно сопряженными. В зависимости от корней характеристического уравнения существует классификация точек покоя, приведенная в таблице 1.
Классификация точек покоя
Корни характеристического уравнения
Корни характеристического уравнения
?^1,2 ? R, Ai Аг, Ai • А2 > 0
А12 6 R, Ai Аг, Ai • Х‘2 j
Окончание табл. 1
Корни характеристического уравнения
дикритический узел, только в случае системы ( х’ = ах,
вся фазовая плоскость
Для определения характера точки покоя и построения фазового портрета системы (2) следует придерживаться следующей последовательности действий:
1. Найти точки покоя данной системы.
2. Выписать характеристическое уравнение (3) и найти его корни Л1 и Л2.
3. По таблице 1 определить тип найденных точек покоя.
4. Изобразить фазовый портрет. При этом необходимо учитывать следующее:
(a) если точка покоя является узлом или седлом, то
сначала следует найти собственные векторе матрицы / а Ь .
_ и начертить на фазовой плоскости прямые, ус а )
определяемые этими векторами. В случае узла фазовые траектории касаются той прямой, которая отвечает меньшему по абсолютной величине собственному значению;
(b) если точка покоя является фокусом, то нужно определить направление закручивания траекторий. Для этого достаточно построить в какой-либо точке (ДсьУо) вектор скорости (гг / ,у / ), определяемый по формулам (2);
(c) в случае параллельных прямых, необходимо свести
систему (2) к уравнению — = —-— и найти его
5. Указать направление движения па фазовых траекториях. Оно определяется устойчивостью или неустойчивостью исследуемой точки покоя. Если точка покоя является устойчивой, то движение направлено к ней, в противном случае — от нее. При этом:
(а) если точка покоя является седлом, то сначала нужно показать направления движения по прямым, определяемым собственными векторами, учитывая, что движение по прямой, соответствующей отрицательному собственному значению, происходит к точке покоя, а по прямой, соответствующей положительному собственному значению от нее;
(b) если точка покоя является центром, то направления движения можно определить, построив в произвольной точке плоскости вектор скорости.
ПРИМЕР 1. Определить тип точки покоя и построить фазовый портрет автономной системы уравнений:
РЕШЕНИЕ. Только точка (0,0) является положением равновесия данной системы. Решение характеристического уравнения, соответствующего данной системе
имеет вид Ai = 1, А2 = 2. Корни характеристического уравнения — действительные положительные числа, следовательно, положение равновесия — узел, причем неустойчивый (согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению). Собственный вектор, соответствующий меньшему по абсолютной величине собственному значению Ai = 1 имеет вид (1,-1). Вдоль этого вектора направлена прямая у = — х. Фазовые кривые — части парабол, касающиеся в начале координат этой прямой. Поскольку точка покоя является неустойчивой, движение по траекториям происходит от начала координат. Схематически поведение фазовых кривых показано на рис. 1.
ПРИМЕР 2. Определить тип точки покоя и построить фазовый портрет автономной системы уравнений:
Решение. Положение равновесия системы — точка (0,0).
Выписываем характеристическое уравнение:
Его корни Л] = — 1, Л2 = 4 являются действительными числами разных знаков. Значит положение равновесия — седло. Найдем сепаратрисы седла, то есть прямые, разделяющие гиперболы разных типов, которые являются фазовыми кривыми системы. Они направлены вдоль собственных векторов. Собственный вектор, соответствующий = —1 есть (-2,1), а для Л-2 = 4 (1,2) . Поэтому у = —0,5х и у = 2х искомые
прямые. Движение по прямой у = —0, 5т происходит к началу координат, так как вектор (-2,1) соответствует отрицательному собственному значению, а по прямой у = 2х от начала координат. Этой информации достаточно, чтобы схематически изобразить фазовые кривые исходной системы и указать направление движения вдоль этих кривых (см. рис.2).
Видео:ТФКП. Найти особые точки, определить их характер. Вычислить вычеты и в бесконечно удаленной точке.Скачать
Особые решения дифференциальных уравнений
Решение дифференциального уравнения
называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению
Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).
Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение
Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.
Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения
а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем
Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.
б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).
в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение
Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :
Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .
Полагая , находим, что условия (7) принимают вид
Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.
Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).
г) Геометрическое истолкование. Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).
Огибающей семейства кривых
называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.
Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.
Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.
Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений
Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:
1) существуют ограниченные по модулю частные производные
где и — постоянные;
Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.
Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения
а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда
Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .
б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).
в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке
где — область допустимых значений .
Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==» />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).
Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.
В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:
Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:
1) — уравнение огибающей;
2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);
3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.
Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:
1) — уравнение огибающей;
2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;
3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.
Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).
Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.
В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.
Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения
Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой
где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви
Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).
Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства
являющегося общим интегралом для (18).
Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.
Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).
Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения
Решение. Дифференцируем (23) по
Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.
Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).
Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).
Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения
Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем
Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .
Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь
Итак, из (26) и (27) имеем
Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.
Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .
Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).
Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения
а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда
Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :
б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде
Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь
Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает
Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):
в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь
Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .
Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).
Видео:ТФКП. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. Часть 1. Определение характера конечной особой точкиСкачать
Особые точки линейной системы
Для начала рассмотрим простейший случай системы линейную систему с постоянными коэффициентами. Мы будем сразу предполагать, что за счет сдвига системы координат особой сделана точка (0,0). так что система
будет исследоваться вблизи начала координат. Сразу заметим, что система
уравнений, определяющих особые точки, имеет только нулевое решение (особая точка единственная), если ее определитель ad—bc не равен нулю, и имеет много решений (много особых точек), если этот определитель обращается в нуль. Случай ad. — be = 0 мы будем изучать отдельно, в пункте „вырожденные случаи», а пока сосредоточимся на ситуации, когда особая точка одна.
Основным инструментом в исследовании у нас будет специальная (вообще говоря, косоугольная) система координат та, в которой матрица
имеет жорданову форму. Именно в этой системе координат нам удастся явно выписать и нарисовать точный фазовый портрет. Причиной этого является тот факт, что переход в соответствующую систему координат преобразует к удобному виду не только матрицу, но и систему дифференциальных уравнений. Действительно, если обозначить
./ ее жорданова форма, а Т матрица перехода (матрица, состоящая из собственных векторов), то
к системе
т.е. к системе, матрицей которой является жорданова форма матрицы А.
В зависимости от того, вещественными будут собственные значения этой матрицы или комплексными, простыми или кратными жорданова форма будет своей для каждого случая. Их мы и разберем но отдельности.
📹 Видео
ТФКП. Найти все изолированные однозначного характера особые точки и определить их тип. Найти вычеты.Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
