Задача о перпендикуляре
Пусть [math]L[/math] — подпространство конечномерного евклидова пространство [math]\mathbb[/math] . Для любого вектора [math]\boldsymbol\in \mathbb[/math] (по свойству 3 ортогонального дополнение существует единственное разложение:
Вектор [math]\boldsymbol[/math] называется ортогональной проекцией вектора [math]\boldsymbol[/math] на подпространство [math]L[/math] , а вектор [math]\boldsymbol[/math] — ортогональной составляющей вектора [math]\boldsymbol[/math] относительно подпространства [math]L[/math] . По аналогии с привычными терминами курса элементарной геометрии ортогональную составляющую [math]\boldsymbol[/math] называют перпендикуляром, опущенным из конца вектора [math]\boldsymbol[/math] на подпространство [math]L[/math] . Из-за ортогональности составляющих [math]\boldsymbol[/math] и [math]\boldsymbol[/math] разложение (8.36) называют ортогональным.
Задача о перпендикуляре ставится следующим образом. В n-мерном евклидовом пространстве [math]\mathbb[/math] заданы вектор [math]\boldsymbol\in \mathbb[/math] и подпространство [math]L\triangleleft \mathbb[/math] . Требуется найти ортогональную проекцию [math]\boldsymbol\in L[/math] вектора [math]\boldsymbol[/math] и его ортогональную составляющую (перпендикуляр) [math]\boldsymbol\in L^<\perp>[/math] , т.е. представить заданный вектор [math]\boldsymbol[/math] в виде (8.36).
Для решения задачи о перпендикуляре нужно выполнить следующие действия.
Видео:Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. ТемаСкачать
1. Взять любой базис [math]\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_r[/math] подпространства [math]L[/math] (полагаем, что [math]\dim=r\leqslant n[/math] ).
2. Составить неоднородную систему [math]r[/math] уравнений с [math]r[/math] неизвестными [math]l_1,\ldots,l_r:[/math]
3. Решить систему, составленную в пункте 2.
4. Найти ортогональную проекцию [math]\boldsymbol= l_1\cdot \boldsymbol_1+\ldots+l_r\cdot \boldsymbol_r[/math] , a затем — ортогональную составляющую (перпендикуляр) [math]\boldsymbol=\boldsymbol-\boldsymbol[/math] .
Поясним алгоритм решения. Разложив ортогональную проекцию [math]\boldsymbol= l_1\cdot \boldsymbol_1+\ldots+l_r\cdot \boldsymbol_r[/math] по базису подпространства, запишем ортогональную составляющую (перпендикуляр): [math]\boldsymbol=\boldsymbol— \boldsymbol= \boldsymbol— l_1 \boldsymbol_1-\ldots- l_r \boldsymbol_r[/math] . Затем найдем ^ скалярные произведения [math]\langle \boldsymbol, \boldsymbol_i\rangle,
i=1,\ldots,r[/math] , умножая последнее равенство последовательно на [math]\boldsymbol_1,\ldots, \boldsymbol_r[/math] . Учитывая, что [math]\langle \boldsymbol, \boldsymbol_i\rangle=9,
i=1,\ldots,r[/math] , получаем систему из пункта 2 алгоритма. Заметим, что матрица полученной системы — это матрица Грама [math]G(\boldsymbol_1,\ldots, \boldsymbol_r)[/math] линейно независимой системы векторов (базиса) [math]\boldsymbol_1,\ldots, \boldsymbol_r[/math] . По свойству 1 определителя Грама [math]\det G(\boldsymbol_1,\ldots, \boldsymbol_r)\ne o[/math] , значит, рассматриваемая система имеет единственное решение.
Пример 8.20. В пространстве [math]\mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=\begin-3&2&0&0 \end^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество решений однородной системы
Требуется найти ортогональную проекцию [math]l\in L[/math] и ортогональную составляющую [math]h\in L^<\perp>[/math] вектора [math]\boldsymbol[/math] относительно подпространства [math]L[/math] .
Решение. 1. Базис подпространства был найден в примере 8.9:
2. Вычисляем скалярные произведения
и составляем неоднородную систему [math]\begin53\cdot l_1+16\cdot l_2=26,\\ 16\cdot l_1+6\cdot l_2=8. \end[/math]
Видео:Ортогональная проекция на подпространство. ТемаСкачать
3. Решаем систему по правилу Крамера:
4. Находим ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
Проверим ортогональность составляющих:
1. Из теоремы Пифагора [math]|\boldsymbol|^2= |\boldsymbol|^2+|\boldsymbol|^2[/math] следуют неравенства: [math]|\boldsymbol|\leqslant|\boldsymbol|,[/math] [math]|\boldsymbol| \leqslant|\boldsymbol|[/math] . Равенства возможны только тогда, когда [math]\boldsymbol\in L[/math] или [math]\boldsymbol\perp L[/math] соответственно. В остальных случаях неравенства строгие, т.е. получаем утверждения, знакомые читателю из курса геометрии: [math]|\boldsymbol| — проекция меньше наклонной, [math]|\boldsymbol| — перпендикуляр есть кратчайшее расстояние от конца вектора [math]\boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] .
2. Для одномерного подпространства [math]L=\operatorname(\boldsymbol)[/math] составляющую [math]\boldsymbol\in L[/math] в разложении (8.36) называют ортогональной проекцией на ось, задаваемую вектором [math]\boldsymbol[/math] (или на направление, задаваемое вектором [math]\boldsymbol[/math] ). Если ось задается единичным вектором [math](|\boldsymbol|=1)[/math] , то длина ортогональной проекции равна [math]l=|\boldsymbol|=\langle \boldsymbol, \boldsymbol \rangle[/math] .
3. Если в подпространстве [math]L[/math] взять ортонормированный базис [math]\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_r[/math] , то квадрат длины вектора [math]\boldsymbol[/math] можно вычислить по формуле [math]|\boldsymbol|^2= l_1^2+\ldots+l_r^2[/math] , где [math]l_r=\langle \boldsymbol ,\boldsymbol_i\rangle,
Видео:A.7.3 Проекции векторов. А вот и датасайнс!Скачать
i=1,\ldots,r[/math] . Тогда из неравенства (см. пункт 1) [math]|\boldsymbol| следует неравенство Бесселя :
т.е. квадрат длины вектора не меньше суммы квадратов длин его проекций на любые [math]r[/math] взаимно ортогональных направлений.
4. В процессе ортогонализации системы векторов [math]\boldsymbol_1, \boldsymbol_2, \ldots,\boldsymbol_r[/math] на каждом шаге фактически решается задача о перпендикуляре. Например, на j-м шаге находится ортогональная составляющая [math]\boldsymbol_j[/math] вектора [math]\boldsymbol_j[/math] относительно подпространства [math]\operatorname (\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_)[/math] (см. пункт 1 замечаний 8.11).
5. В приложениях приходится также рассматривать задачу о перпендикуляре не для подпространства, а для многообразия. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве заданы вектор [math]\boldsymbol\in\mathbb[/math] и многообразие [math]\boldsymbol_0+L[/math] (рис. 8.4,а). Требуется найти разложение [math]\boldsymbol= \boldsymbol+\boldsymbol[/math] , где [math]\boldsymbol\in \boldsymbol_0+L,
\boldsymbol\in L^<\perp>[/math] . Здесь [math]\boldsymbol[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]\boldsymbol[/math] на многообразие [math]\boldsymbol_0+L[/math] . Заметим, что составляющие [math]\boldsymbol[/math] и [math]\boldsymbol[/math] в общем случае не ортогональны.
Поставленная задача сводится к задаче нахождения ортогональной проекции [math]\boldsymbol=\boldsymbol-\boldsymbol_0[/math] и ортогональной составляющей [math]\boldsymbol[/math] вектора [math]\boldsymbol-\boldsymbol_0[/math] относительно подпространства [math]L[/math] (см. рис. 8.4,б). Найдя ортогональное разложение [math]\boldsymbol-\boldsymbol_0=\boldsymbol+\boldsymbol[/math] , можно получить и искомое разложение [math]\boldsymbol=\boldsymbol+ \boldsymbol[/math] , где [math]\boldsymbol=\boldsymbol+ \boldsymbol_0[/math] .
Видео:Ортогональная проекция вектора на подпространство в пространстве многочленов.Скачать
Пример 8.21. В пространстве [math]\mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) задано линейное многообразие [math]M=\[/math] — множество решений неоднородной системы:
Требуется найти разложение нулевого вектора [math]\boldsymbol=\boldsymbol+ \boldsymbol[/math] , где [math]\boldsymbol\in M[/math] , а вектор [math]\boldsymbol[/math] перпендикулярен однородной части многообразия [math]M[/math] .
Решение. В примере 5.5 была получена структура общего решения заданной неоднородной системы уравнений
где [math]C_1,\,C_2[/math] — произвольные постоянные. Отсюда следует (см. решение при мера 8.16), что многообразие [math]M[/math] можно представить в виде [math]M=x^H+L[/math] , где [math]L=\[/math] — множество решений соответствующей однородной системы. Учитывая пункт 5 замечаний 8.14 [math](v_0=x^H,
v=o)[/math] , сформулируем задачу о перпендикуляре: для вектора [math]v-v_0=o-x^H= \begin-3&2&0&0\end^T[/math] найти ортогональную проекцию [math]l[/math] и ортогональную составляющую [math]h[/math] относительно подпространства [math]L=\[/math] . Эта задача была решена в примере 8.20. По этому осталось записать искомые составляющие [math]m[/math] и [math]h[/math] нулевого вектора [math]o=m+h:[/math]
Равенство [math]m=-h[/math] в данном случае может служить для контроля вычислений. Обратим внимание, что составляющая т является решением неоднородной системы уравнений. Причем это решение «ближайшее» к нулевому вектору, т.е. имеет наименьшую длину. Такие решения ранее назывались псевдорешениями. Поэтому полученная в данном примере составляющая [math]m[/math] совпадает с псевдорешением, найденным в примере 5.8.
🎥 Видео
Ортогональная проекция на подпространство. ПримерСкачать
Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать
Построение проекции вектора на осьСкачать
Тимашев Д.А. - Линейная алгебра и геометрия. Семинары - 15.Нахождение ортогональной проекции вектораСкачать
Проекция вектора на подпространствоСкачать
Смирнов С. В. - Линейная алгебра. Семинары - Проектирование вектора на подпространствоСкачать
Ортогональная проекция вектора на прямую и вектора на ось. Теоремы о проекцияхСкачать
Ортогональные проекции и метод наименьших квадратовСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Ортогональное дополнение (задача 1366)Скачать
§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать
Евклидово пространство. Ортонормированный базис | Лекция 11 | ЛинАл | СтримСкачать
