Найти область допустимых значений уравнения онлайн калькулятор

Областью значений некоторой функции называется множество, содержащее все значения которые могут получиться при подстановке в эту функцию всех допустимых значений аргумента . Область значений функции обозначается .

Проиллюстрируем вышесказанное на конкретном примере. Рассмотрим функцию , график которой изображён на рисунке.

Из графика нетрудно заметить, что какие бы значения аргумента мы не подставляли бы в функцию , возвращаемое значение всегда будет находиться в диапазоне от до . Таким образом, область значений рассматриваемой функции от до .

Данный факт можно записать следующим образом:

Наш онлайн калькулятор построен на основе системы Wolfram Alpha. Калькулятор позволяет найти область определения практически любой функции.

Видео:Область допустимых значений. ОДЗ в выражении.Скачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Область допустимых значений (ОДЗ) | ЕГЭ по математике | Эйджей из школы ВебиумСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение иррациональных уравнений и неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить иррациональное уравнение или неравенство. Программа для решения иррациональных уравнений и неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> sqrt(x) — квадратный корень x
x^(1/n) — корень степени n

Введите иррациональное уравнение или неравенство
Решить уравнение или неравенство

Видео:7 класс. Макарычев Ю.Н. ОДЗ - область допустимых значенийСкачать

Немного теории.

Видео:Функция. Область определения функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение иррациональных уравнений и неравенств

Видео:Алгебра 7-11 класс // Область допустимых значений (ОДЗ) // Область определения // Табу в математикеСкачать

1. Иррациональные уравнения

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило, только действительные корни.

Основной метод решения иррациональных уравнений — метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечётную степень есть равносильное преобразование уравнения, а в чётную — НЕравносильное. Значит, основные принципиальные трудности связаны с возведением обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

ПРИМЕР 1.
( sqrt[Large6normalsize] = sqrt[Large6normalsize] )

Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
( x^2-5x = 2x-6 Rightarrow )
( x^2-7x +6= 0 Rightarrow )
( x_1=1, ; x_2=6 )
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При x = 1 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6normalsize] = sqrt[Large6normalsize] ), во множестве действительных чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 — посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное уравнение принимает вид ( sqrt[Large6normalsize] = sqrt[Large6normalsize] ) — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
Ответ: х = 6

Введя новую переменную ( u=x^2-x), получим существенно более простое иррациональное уравнение:
( sqrt+sqrt = sqrt ).
Возведём обе части уравнения в квадрат:
( (sqrt+sqrt)^2 = (sqrt)^2 Rightarrow )
( u+2 +2sqrtsqrt +u+7 = 2u+21 Rightarrow )
( sqrt = 6 Rightarrow )
( u^2+9u+14=36 Rightarrow )
( u^2+9u-22=0 Rightarrow )
( u_1=2, ; u_2=-11 )
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение ( sqrt+sqrt = sqrt ) показывает, что ( u_1=2 ) — корень уравнения, а ( u_2=-11 ) — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение ( x^2-x=2 Rightarrow x^2-x-2=0 ), решив которое находим два корня: ( x_1=2, ; x_2=-1 )
Ответ: 2; -1.

Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение легко сводится к квадратному. Действительно, умножим обе его части на 2:
( 2x^2 +6 -2sqrt = 3x+12 Rightarrow )
( 2x^2 -3x +2 -2sqrt -8 = 0 Rightarrow )

Введя новую переменную ( y=sqrt ), получим: ( y^2-2y-8=0 ), откуда ( y_1=4, ; y_2=-2 ). Значит, исходное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений:
( left[begin sqrt =4 \ sqrt = -2 endright. )

Из первого уравнения этой совокупности находим: ( x_1=35; ; x_2=-2 ). Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна исходному уравнению, причём второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение ( sqrt =4). Эта подстановка показывает, что оба найденных значения x являются корнями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: 3,5; -2.

Областью определения уравнения является луч ( [5; ; +infty) ). В этой области выражение ( sqrt ) можно представить следующим образом: ( sqrt = sqrtsqrt ). Теперь уравнение можно переписать так:
( x+x -5 +2sqrtsqrt +2sqrt +2sqrt -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt)^2 +2sqrtsqrt +(sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 Rightarrow ) ( (sqrt +sqrt)^2 +2(sqrt+sqrt) -48 = 0 )

Введя новую переменную ( y= sqrt +sqrt ), получим квадратное уравнение ( y^2+2y-48=0 ), из которого находим: ( y_1=6, ; y_2=-8 ). Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:
( left[begin sqrt +sqrt =6 \ sqrt +sqrt = -8 endright. )
Из первого уравнения совокупности находим ( x= left( frac right)^2 ), второе уравнение совокупности решений явно не имеет.

Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что ( x= left( frac right)^2 ) — является корнем уравнения ( sqrt +sqrt =6 ). Но это уравнение равносильно исходному уравнению, значит, ( x= left( frac right)^2 ) — является корнем и исходного уравнения.
Ответ: ( x= left( frac right)^2 )

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые переменные.

ПРИМЕР 5.
( sqrt[Large4normalsize] + sqrt[Large4normalsize] =2 )

Введём новые переменные: ( left<begin u=sqrt[Large4normalsize] \ v=sqrt[Large4normalsize] endright. )

Тогда уравнение примет вид (u+v=2). Но для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвёртую степень обе части каждого из уравнений системы, получим:
( left<begin u^4=1-x \ v^4= 15+x endright. )

Сложим уравнения последней системы: (u^4 +v^4 =16). Таким образом, для нахождения u, v мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:
( left<begin u+v=2 \ u^4 +v^4 =16 endright. )
Решив её, находим: ( left<begin u_1=0 \ v_1 =2; endright. ) ( left<begin u_2=2 \ v_2 =0 endright. )

Таким образом, исходное уравнение свелось к следующей совокупности систем уравнений: ( left<begin sqrt[Large4normalsize] =0 \ sqrt[Large4normalsize] =2; endright. ) ( left<begin sqrt[Large4normalsize] =2 \ sqrt[Large4normalsize] =0 endright. )

Решив эту совокупность, находим: (x_1=1, ; x_2=-15 )

Проверка. Проще всего проверить найденные корни непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 1; -15.

ПРИМЕР 6.
( sqrt[Large3normalsize] + sqrt[Large3normalsize] = sqrt[Large3normalsize] )

Возведём обе части уравнения в куб:
( 2x+1 + 3sqrt[Large3normalsize] cdot sqrt[Large3normalsize] + 3sqrt[Large3normalsize] cdot sqrt[Large3normalsize] +6x+1 = 2x-1 Rightarrow ) ( 3sqrt[Large3normalsize] cdot sqrt[Large3normalsize] cdot (3sqrt[Large3normalsize] + sqrt[Large3normalsize] ) = -6x-3 )

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим сумму ( sqrt[Large3normalsize] + sqrt[Large3normalsize] ) на выражение ( sqrt[Large3normalsize] ):
( 3sqrt[Large3normalsize] cdot sqrt[Large3normalsize] cdot sqrt[Large3normalsize] = -6x-3 Rightarrow )
( 3sqrt[Large3normalsize] = -2x-1 )
Возведём обе части в куб:
( (2x+1)(6x+1)(2x-1) = -(2x+1)^3 Rightarrow )
( (2x+1)((6x+1)(2x-1) + (2x+1)^2) =0 Rightarrow )
( 16x^2(2x+1) =0 Rightarrow )
( x_1= -05; ; x_2=0 )

Проверка. Подстановкой найденных значений x в исходное уравнение убеждаемся, что его корнем является только x = -0,5.
Ответ: -0,5.

Видео:Найти ОДЗ выраженияСкачать

2. Иррациональные неравенства

Рассмотрим иррациональное неравенство вида ( sqrt 0 ). Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство ( sqrt 0 \ f(x) 0 \ x^2-x-12 0 \ x > -12 endright. )

Получаем: ( x geqslant 4)

Ответ: ( x geqslant 4)

Рассмотрим теперь неравенство вида ( sqrt > g(x) ).

Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию ( f(x) geqslant 0 ).
Во-вторых, замечаем, что при ( g(x) g(x) ) не вызывает сомнений.
В-третьих, замечаем, что если ( g(x) geqslant 0 ), то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства.

Таким образом, иррациональное неравенство ( sqrt > g(x) ) равносильно совокупности систем неравенств:
( left<begin f(x) geqslant 0 \ g(x) (g(x))^2 endright. )

Во второй системе первое неравенство является следствием третьего, его можно не писать.

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
( left<begin x^2-x-12 geqslant 0 \ x 0 )

Преобразуем неравенство к виду ( x^2+3x-10 +3sqrt >0 ) и введём новую переменную ( y= sqrt ). Тогда последнее неравенство примет вид ( y^2+3y-10 >0 ), откуда находим, что либо (y 2).

Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух неравенств:
( left[begin sqrt 2 endright. )

Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
( x^2+3x >4 Rightarrow )
( (x+4)(x-1) >0 Rightarrow )
( x 1 )
Ответ: ( x 1 ).

Видео:9 класс, 15 урок, Определение числовой функции. Область определения, область значения функцииСкачать

Универсальный математический калькулятор

Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам.

Также универсальный калькулятор умеет производить действия со скобками, дробями, тригонометрическими функциями, возведение в любую степень и многое другое (смотрите примеры ниже).

Видео:Как найти область определения функции? #shortsСкачать

Онлайн калькулятор уравнений, интегралов, производных, пределов, дробей и пр.

Разделитель системы уравнений

Натуральный логарифм и предел:

Видео:Функция. Область определения и область значения функции. Алгебра, 9 классСкачать

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵ .
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и → .
3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C — очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½ , ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками a b и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей → .

Видео:Функция. Область определения и область значений функцииСкачать

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Решение уравнений и неравенств

Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной «x». Если есть необходимость найти другую переменную, например «y», то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных «x»,»y»,»z» производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x , y , z .

Примеры решений уравнений и неравенств:

Видео:Функция. Множество значений функции. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ; .

Примеры вычислений систем уравнений и неравенств:

Видео:Область определения тригонометрических функцийСкачать

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$log_a left(bright) = frac$$ Например, $$log_ left(5x-1right) = frac$$

Примеры решений выражений с логарифмами:

Видео:Область определения функции | область значений функцииСкачать

Вычисление пределов функций

Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim .

Примеры решений пределов:

Видео:Алгебра 9 класс. Область определения функцииСкачать

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
∫ f(x) — для неопределенного интеграла;
b a∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

Видео:§39.1 Нахождение области определения алгебраического выраженияСкачать

Вычисление производных

Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке «x». Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
f'(x) — производная первого порядка;
f»(x) — производная второго порядка;
f»'(x) — производная третьего порядка.
f n (x) — производная любого n-о порядка.

Видео:Область определения функцийСкачать

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

🎬 Видео

Область определения (корня) функции #2. Алгебра 10 класс.Скачать

Функции. Урок №4. Область значений функции.Скачать

Область определения и область значений тригонометрических функций -1 частьСкачать