Вычисление объёмов
- Услуги проектирования
- Двойной интеграл
- Вычисление объёмов
Видео:Объем тела вращения на примере тора. 2 способаСкачать
Вычисление объёмов
Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями $mathbf < textit > =mathbf < textit > _ (mathbf < textit > $,$mathbf < textit > )$, $mathbf < textit > =mathbf < textit > _ (mathbf < textit > $,$mathbf < textit > )$, $(x,y)in D$, с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $mathbf < textit > $, равен $v=iintlimits_D < left[ right]dxdy > $; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла.
Основной вопрос, который надо решить — на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.
Найти объём тела $V:left[ < begin y=0,;z=0, \ x+y+z=4,; \ 2x+z=4. \ end >right.$
Решение:
Тело изображено на рисунке. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось $mathbf < textit > $:
$V:left[ < begin (x,z)in D, \ 0leqslant yleqslant 4-x-z. \ end >right.$
Область $mathbf < textit > $ — треугольник, ограниченный прямыми $mathbf < textit > $ = 0, $mathbf < textit > $ = 0, 2$mathbf < textit > +mathbf < textit > $ = 4, поэтому
Найти объём области, ограниченной поверхностями $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ =mathbf < textit > ^ $,
Решение:
Первая поверхность — сфера, вторая — цилиндрическая — с образующими, параллельными оси $mathbf < textit > $ < в уравнении нет $mathbf < textit > $ в явной форме). Построить в плоскости $mathbf < textit > $ кривую шестого порядка, заданную уравнением $(mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ )^ =mathbf < textit > ^ (mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ )$, в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей и точка $mathbf < textit > (0,0)$ принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам. $r^6=R^2r^4(cos ^4varphi +sin ^4varphi );r^2=R^2((cos ^2varphi +sin ^2varphi )^2-2cos ^2varphi sin ^2varphi )=R^2(1-frac )=$
$=R^2(1-frac )=R^2frac ;r=Rfrac < sqrt > .$ Эту кривую построить уже можно. $r(varphi )$ максимально, когда $cos 4varphi =1;(varphi =0,frac =frac ,frac =pi ,frac =frac )$, минимально, когда
$cos 4varphi =-1;(varphi =frac ,frac ,frac ,frac ),$ и гладко меняется между этими пределами < точка $mathbf < textit > (0,0)$ не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли? > .
Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями (y = 0,) (z = 0,) (z = x,) (z + x = 4.)
Решение:
Данное тело показано на рисунке.
Из рисунка видно, что основание (R) является квадратом. Для заданных (x, y) значение (z) изменяется от (z = x) до (z = 4 — x.) Тогда объем равен $ < V = iintlimits_R < left[ < left( right) — x >right]dxdy > > = < intlimits_0^2 < left[ < intlimits_0^2 < left( right)dy > >right]dx > > = < intlimits_0^2 < left[ < left. < left( right) >right|_ ^2 >right]dx > > = < intlimits_0^2 < left( right)dx > > = < left. < left( < 8x — 2 >right) >right|_0^2 > = $
Описать тело, объем которого определяется интегралом (V = intlimits_0^1 intlimits_0^ < left( < + >right)dy > .)
Решение:
Данное тело расположено над треугольной областью (R,) ограниченной координатными осями (Ox,) (Oy) и прямой (y = 1 — x) ниже параболической поверхности (z = + .) Объем тела равен $ < V = intlimits_0^1 intlimits_0^ < left( < + >right)dy > > = < intlimits_0^1 < left[ < left. < left( < y + frac < < > > >right) >right|_ ^ >right]dx > > = < intlimits_0^1 < left[ < left( right) + frac < < < < left( right) > ^3 > > > >right]dx > > = \ = < intlimits_0^1 < left( < — + frac < < 1 — 3x + 3 — > > >right)dx > > = < intlimits_0^1 < left( < 2 — frac < < 4 > > — x + frac >right)dx > > = < left. < left( < frac < < 2 > > — frac cdot frac < < > > — frac < < > > + frac >right) >right|_0^1 > = < frac — frac — frac + frac = frac . > $
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (z = xy,) (x + y = a,) (z = 0.)
Решение:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями (z = 0,) (x + y = 1,) ( + = 1,) (z = 1 — x.)
Решение:
Как видно из рисунков, в области интегрирования (R) при (0 le x le 1) значения (y) изменяются от (1 — x) до (sqrt < 1 — > .)
Вычислим второй интеграл ( = intlimits_0^1 < xsqrt < 1 — > dx > ,) используя замену переменной. Полагаем (1 — = w.) Тогда (-2xdx = dw) или (xdx = largefrac < > normalsize.) Находим, что (w = 1) при (x = 0) и, наоборот, (w = 0) при (x = 1.) Интеграл равен $ < = intlimits_0^1 < xsqrt < 1 — > dx > > = < intlimits_1^0 < sqrt w left( < — frac < > >right) > > = < — frac intlimits_1^0 > = < frac intlimits_0^1 > = < frac intlimits_0^1 < < w^ < largefrac normalsize > > dw > > = < frac left. < left( < frac < < 2 < w^ < largefrac normalsize > > > > >right) >right|_0^1 = frac . > $ Наконец, вычислим третий интеграл. $require < = intlimits_0^1 < left( < 1 — 2x + >right)dx > > = < left. < left( < x — + frac < < > > >right) >right|_0^1 > = < cancel — cancel + frac = frac . > $ Таким образом, объем тела равен $ < V = — — > = < frac — frac — frac = frac — frac approx 0,12. > $
Вычислить объем единичного шара.
Решение:
Уравнение сферы радиусом (1) имеет вид ( + + = 1). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на (2.) Уравнение верхней полусферы записывается как $z = sqrt < 1 — left( < + >right) > .$ Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем $zleft( right) = sqrt < 1 — > .$ В полярных координатах область интегрирования (R) описывается множеством (R = left[< left( right)|;0 le r le 1,0 le theta le 2pi >right].) Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой $ < < V_ < largefrac normalsize > > = iintlimits_R < sqrt < 1 — > rdrdtheta > > = < intlimits_0^ intlimits_0^1 < sqrt < 1 — > rdr > > = < 2pi intlimits_0^1 < sqrt < 1 — > rdr > . > $ Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть (1 — = t.) Тогда (-2rdr = dt) или (rdr = — largefrac <
Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой (H) и радиусом основания (R).
Решение:
Далее:
Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности
Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных
Вычисление объёмов
Теорема об аналоге СДНФ в Pk
Свойства тройного интеграла
Равносильные формулы алгебры высказываний
Дифференциальные характеристики векторного поля
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
Критерий полноты . Лемма о несамодвойственной функции
Лемма о построении множества $[F]_$
Булевы функции от $n$ переменных
Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы
Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл
Определение двойного интеграла
Соленоидальное векторное поле
Огравление $Rightarrow $
Видео:Объем через тройной интегралСкачать
Объем тела вращения онлайн
Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на отрезке :
Если мы будем вращать данную функцию вокруг оси , то образуется некоторое тело вращения:
Объём полученной фигуры можно посчитать, вычислив вот такой интеграл:
Теперь рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на отрезке :
На этот раз будем вращать данную функцию вокруг оси . В результате получим следующее тело вращения:
Его объём вычисляется по формуле:
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет вычислить объём тела вращения, заданного практически любой функцией. Для этого, в калькулятор нужно ввести саму функцию, границы в пределах которых будет вычисляться объём тела и выбрать ось вращения.
Видео:Вычисление объемов тел вращения (применение определенного интеграла)Скачать
Найти объем тела заданного уравнением
Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут
Неправильный логин или пароль.
Укажите электронный адрес и пароль.
Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.
Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.
Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль
Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.
🎦 Видео
Объем через двойной интегралСкачать
Интегралы №13 Объем тела вращенияСкачать
Объем через тройной интеграл в сферической системе координатСкачать
11 класс, 33 урок, Вычисление объемов тел с помощью определённого интегралаСкачать
Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать
Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать
Объем тела вращенияСкачать
Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координатСкачать
Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать
Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать
Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать
Видеоурок "Объем тела вращения"Скачать
Математический анализ, 44 урок, Тройной интегралСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать
Урок 28 (осн). Вычисление массы и объема тела по плотностиСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
