Найти наибольший корень уравнения на отрезке

Сегодня у нас заключительный урок на производные из ЕГЭ по математике. И как всегда по традиции последняя задача будет немножко нестандартной. Итак:

Задача B15. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; π/3]:

y = 2sin 2 x + cos 4 x

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Общая схема вычисления наибольшего значения функции

Перед тем, как мы начнем решать эту задачу, хотел бы напомнить вам общий универсальный алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он состоит из 4 шагов:

1. Первый шаг состоит в том, что нужно найти производную нашей функции: y ‘ = ?

2. Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю в результате решения у нас получится один или несколько корней: x , x , .

3. Затем берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на отрезке, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об отрезке [0; π/3]. Другими словами, мы вычеркиваем все корни, которые не лежат на интересующем нас отрезке: x , x ∈ [0; π/3].

4. Наконец, подставляем концы отрезка, а также оставшиеся корни в нашей исходное уравнение. Другими словами, мы находим y (0); y (π/3); y ( x ₁); y ( x ₂), т. е. значение функции в нулях производной.

Это стандартная схема, и мы применяли ее уже много раз.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Экстремумы функции на отрезке: пояснение

Естественно, при взгляде на этот алгоритм у многих учеников сразу возникают вопросы. Первый и самый распространенный: «Почему это мы подставляем в нашу функцию концы отрезка? Неужели недостаточно просто посчитать функцию в нулях производной?»

К сожалению, недостаточно. Взгляните вот на такую функцию:

На этом рисунке видно, что наибольшее значение функции достигается именно в правом верхнем конце отрезка — в точке b , а никак не в точке x ₁, которая является точкой максимума и, соответственно, возникает при решении уравнения y ‘ = 0. То же самое и с наименьшим значением — оно достигается в точке a , но ни в коем случае не в точке x ₂, которая также возникнет при решении y ‘ = 0.

Локальный и глобальный экстремум функции: в чем разница?

Вспомните определение производной и точки экстремума: в данном случае точка x ₁ будет являться точкой локального максимума, т. е. на некотором интервале, достаточно небольшом, именно на этой точке будет приниматься наибольшее значение. То же самое касается и точки x ₂. На некотором небольшом интервале, т. е. на определенном отступе от этой точки вправо или влево функция действительно будет принимать наименьшее значение именно в точке x ₂.

Однако на глобальном отрезке никто этого не гарантировал. И часто случается так, что настоящее наибольшее или наименьшее значение функции достигается именно на концах рассматриваемого отрезка. Особенно это качается задач B15, которые любят давать на пробниках и разных демонстрационных ЕГЭ по математике.

Наибольшее или наименьшее значение функции совсем не обязательно достигается в нулях производной. Очень часто такие значения возникают на концах отрезка, где производная отлична от нуля.

В общем, чтобы подстраховаться и не допустить обидных ошибок на настоящем экзамене, настоятельно рекомендую вам считать значения функции не только в нулях производной, но и на концах отрезка, т. е. в нашем случае в точках х = 0 и х = π/3.

Видео:Найдите корни уравнения: cosπ(x−7)/3=1/2 В ответ запишите наибольший отрицательный корень.Скачать

Решение задачи B15 с тригонометрией

С теорией разобрались, давайте решать нашу задачу. Для начала нам нужно посчитать производную функции:

y = 2sin 2 x + cos 4 x

Производная тригонометрической функции

y ‘ = (2sin 2 x + cos 4 x )’ = (2sin 2 x )’ + (cos 4 x )’

И вот тут возникает проблема в данной задаче: дело в том, что внутри синуса и косинуса стоит не переменная х, а выражение 2х и даже 4х.

Как поступать с такими конструкциями? Конечно, можно воспользоваться производной сложной функции, посчитать и в итоге получить правильное значение, но давайте не будем лезть в дебри, а вспомним замечательную формулу, которая рассматривалась не нескольких уроках, посвященным подготовке к ЕГЭ по математике. Формула следующая:

x → kx + b
( f ( x ))’ → k ( f ‘ ( kx + b ))

Другими словами, замена переменной функции не проходит для всей функции бесследно. В случае, если вместо х мы подставляем линейную функцию, то перед новой производной появляется коэффициент.

Линейная замена переменной приводит лишь к одному дополнительному множителю в производной. Никаких сложных формул при линейной замене применять не нужно!

Это частный случай производной сложной функции. Однако сложные функции в реальном ЕГЭ не встречаются. Поэтому вам достаточно будет знать упрощенную конструкцию, которую мы записали. Ее очень легко применять.

Производная функции при линейной замене

Давайте посчитаем производную sin 2 x . Для этого вспомним такое:

Тогда производная от sin 2 x будет выглядеть так:

(sin 2 x )’ = 2 · cos 2 x

Все, производная 2sin 2 x найдена. Аналогично давайте разберемся и с производной cos 4 x :

(cos 4 x )’ = 4 · (−sin 4 x ) = −4 sin 4 x

А теперь собираем это все в одну конструкцию и получаем:

y ‘ = 4 cos 2 x − 4 sin 4 x

Считаем нули производной — точки экстремума

Итак, первый шаг нашего алгоритма выполнен, мы нашли производную. Теперь приравниваем эту производную к нулю и решаем полученное уравнение:

2 cos 2 x − 4 sin 4 x = 0

Перед нами обычное тригонометрическое уравнение и все, что нам требуется сделать в нем — это свести все тригонометрические функции к одному и тому же аргументу. Как правило, в таких задачах следует стремиться к наименьшему аргументу. Поэтому вспомним формулу двойного угла:

sin 2λ = 2 sin λ cos λ

В нашем случае это будет выглядеть так:

sin 4 x = sin 2 · 2 x = 2 · sin 2 x · cos 2 x

Обратите внимание! Мы пишем именно 2х, потому что в исходной формуле, которую мы разложили, вместо переменной λ стоит именно 2х.

Итак, с синусом двойного угла мы разобрались, перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Получим:

4 cos 2 x − 8 sin 2 x cos 2 x = 0
4 cos 2 x (1 − 2 sin 2 x · 1) = 0

Итак, мы разложили наше уравнение на множители. Теперь вспоминаем: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Запишем:

cos 2 x = 0
1 − 2 sin 2 x = 0

Первое уравнение решается элементарно:

2 x = π/2 + π n , n ∈ Z

А со вторым уравнением будет немного посложнее:

sin 2 x = 1/2
2 x = π/6 + 2π n
2 x = π − π/6 + 2π n

Напомню, что решение простейших тригонометрических уравнений, которые содержат синус, лучше записывать как совокупность из двух наборов корней.

Однако на этом решение уравнения еще не закончилось. Взгляните, мы нашли только 2х, а нужно найти просто х. Находим:

x = π/3 + π n /2;
x = π/12 + πn;
x = 5π/12 + π n .

Производная тригонометрической функции: отбор корней на отрезке

Уравнение решено. Переходим к третьему шагу: необходимо отобрать корны, которые лежат на отрезке [0; π/3].

Для этого нам сначала потребуется начертить радар, а потом отметить на мне все три набора корней. На этом же отрезке отмечаем концы отрезка. Получим:

На самом деле из всего этого многообразия нас интересуют лишь две точки: π/4 и π/12. Все, третий шаг выполнен. Мы отобрали корни на отрезке.

Вычисление наибольшего значения функции

А теперь возвращаемся к условию задачи и вспоминаем, что нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке. Т. е. нужно взять функцию

y = 2sin 2 x + cos 4 x

И подставить в нее следующие числа:

1. Оба конца нашего отрезка — числа 0 и π/3
2. А также два корня производной, которую мы нашли: π/4 и π/12

Затем из полученных четырех значений функции надо выбрать наибольшее.

Давайте решать. В первую очередь предлагаю подставить корни нашей производной, т. е. числа π/4 и π/12. Получим:

y (π/4) = 2 · sin 2 · π/4 + cos 4 · π/4 = 2 · sin π/2 + cos π = 2 · 1 − 1 = 1

Подставляем второе число — x = π/12:

y (π/12) = 2 · sin 2 · π/12 + cos 4 · π/12 = 2 · sin π/6 + cos π/3 = 2 · 1/2 + 1/2 = 1,5

Все, с корнями из производной мы разобрались, теперь считаем значение функции на концах отрезка:

y (0) = 2 · sin 0 + cos 0 = 2 · 0 + 1 = 1

Вычисление сложных значений тригонометрической функции

Теперь подставляем правый конец отрезка:

y (π/3) = 2 · sin 2 · π/3 + cos 4 · π/3 = 2 · sin 2π/3 + cos 4π/3

Оба аргумента и в синусе, и в косинусе являются нестандартными значениями (их нет в классической таблице значений тригонометрических функций), поэтому давайте отметим их на тригонометрическом круге:

С помощью полученных данных вычисляем значение функции:

Это иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. Следовательно, оно не является ответом к задаче.

Итого нам на выбор осталось три числа: y = 1; y = 1,5; y = 1. Требуется найти наибольшее значение. Следовательно, ответом будет являться y = 1,5. Все, задача решена.

Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Ключевые моменты в задачах B15 на производную функции

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых факта в решении этой задачи. В первую очередь, речь идет о производной сложной функции. В реальных задачах из ЕГЭ по математике встречается лишь упрощенная версия формулы, которую мы записали в самом начале решения задачи.

Итак, запомните: если в табличной производной заменить переменную х на линейное выражение kx + b , то и в самой производной нужно везде вместо х подставить выражение kx + b . Кроме того, перед самой производной нужно добавить множитель k — тот саамый, который стоял перед х во время замены.

Это универсальное правило, и оно работает всегда. Давайте посмотрим. Например, у нас есть следующая функция:

Возьмем большую степень, чтобы у вас не возникало соблазна раскрывать ее по формулам сокращенного умножения. А теперь мы хотим посчитать производную:

Как это сделать? Очень просто. Вспоминаем: производная функции y = x 101 является табличной и легко считается:

Теперь, если вместо переменной х мы хотим подставить выражение kx + b , например, 5х + 7, то получим, что производная такой функции будет равна:

y ‘ = 101 · (5 x + 7) 101 · 5

Последний множитель «5» появился из-за того, что вместо переменной х мы подставили линейную функцию 5х + 7, т. е. выражение, которое при х содержит множитель 5. Если бы перед их стоял коэффициент k = 10, мы умножили бы производную на 10.

При этом второе слагаемое — число b = 7 — никак не влияет на результат. Т.е. на итоговую производную влияет только коэффициент при х. Запомните это.

Особенности записи корней тригонометрического уравнения

Второй важный момент касается отбора корней и решения тригонометрических уравнений, а конкретно — я бы хотел поговорить про решение тригонометрических уравнений, содержащих синус.

Как обычно нас учат записывать решение таких уравнений? Еще в школьных учебниках можно увидеть формулу:

sin x = a → x = (−1) n · arcsin a + π n , n ∈ Z

Естественно, многие ученики спросят: почему мы не используем эту формулу? Зачем разбивать эту формулу на какую-то совокупность, что-то там считать, усложняя себе задачу?

На самом деле такая запись имеет одно единственное преимущество — краткость. Во всем остальном работать с этой записью — сплошное мучение:

1. Непонятно, что делать с множителем (−1) n . Как отмечать постоянно гуляющее то в плюс, то в минус число на тригонометрическом круге?
2. Если вы захотите отбирать корни не с помощью тригонометрического круга, а с помощью двойного неравенства, опять же возникает проблема, потому что слагаемое (−1) n · arcsin a нужно будет вычитать из обеих частей неравенства. Затем полученную конструкцию нужно будет разделить на π, и вот тут возникает проблема: а что делать с множителем (−1) n ? Он снова будет мешать нам и служить источником многочисленных ошибок для большинства учеников.

Чтобы избежать этих многочисленных проблем, просто записывайте решение синуса в виде совокупности из двух уравнений, так, как мы и сделали сегодня при решении нашей задачи.

Вот и все замечания. Я специально детально рассказывал каждый шаг решения — настолько детально, что сам допустил ошибку при вычислении производной. Но ничего страшного, мы заметили ошибку вовремя, и поэтому итоговый ответ и все выкладки получись правильными.:)

Желаю вам удачи при решении сложных задач на ЕГЭ по математике, тренируйтесь в решении задач, смотрите видеоуроки и сдавайте ЕГЭ на «отлично». А у меня на этом все.

Видео:Как найти наибольший корень уравнения #shorts | ЕГЭ 2022 по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Решение тригонометрических уравнений на промежутке

Разделы: Математика

Цель урока:

а) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения;

б) научить выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

а)Проверка домашнего задания: классу дано опережающее домашнее задание – решить уравнение и найти способ выбора корней из данного промежутка.

1)cos x = -0,5, где хI [- ]. Ответ: .

2) sin x = , где хI [0;2?]. Ответ: ; .

3)cos 2x = —, где хI [0;]. Ответ:

Ученики записывают решение на доске кто-то с помощью графика, кто-то методом подбора.

В это время класс работает устно.

Найдите значение выражения:

а) tg – sin + cos + sin . Ответ: 1.

б) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Ответ: ?

в) arcsin + arcsin . Ответ: .

г) 5 arctg (-) – arccos (-). Ответ:– .

– Проверим домашнее задание, откройте свои тетради с домашними работами.

Некоторые из вас нашли решение методом подбора, а некоторые с помощью графика.

2. Вывод о способах решения данных заданий и постановка проблемы, т. е. сообщение темы и цели урока.

– а) С помощью подбора решать сложно, если задан большой промежуток.

– б) Графический способ не даёт точных результатов, требует проверку, и занимает много времени.

– Поэтому должен быть ещё как минимум один способ, наиболее универсальный -попробуем его найти. Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Учиться выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.)

– Пример 1. (Ученик выходит к доске)

cos x = -0,5, где хI [- ].

Вопрос: Отчего зависит ответ на данное задание? (От общего решения уравнения. Запишем решение в общем виде). Решение записывается на доске

х = + 2?k, где k R.

– Запишем это решение в виде совокупности:

– Как вы считаете, при какой записи решения удобно выбирать корни на промежутке? (из второй записи). Но это ведь опять способ подбора. Что нам необходимо знать, чтобы получить верный ответ? (Надо знать значения k).

(Составим математическую модель для нахождения k).

1 уровень: № 295 (а,б), № 317 (а,б)

2 уровень: № 307 (в), № 308 (б), № 326(б), № 327(б).

Видео:sinπx/3=0,5 В ответе напишите наименьший положительный корень/ наибольший отрицательный кореньСкачать

Найдите наибольшее на отрезке [0 ; 10п] решение уравнения |2sinx — 1| + |2cos2x — 1| = 0?

Алгебра | 10 — 11 классы

Найдите наибольшее на отрезке [0 ; 10п] решение уравнения |2sinx — 1| + |2cos2x — 1| = 0.

Из первого уравнения sin x = 1 / 2 , а из второго

2 * cos 2x — 1 = 2 * (1 — 2 * sin²x) — 1 = 1 — 4 * sin²x = 0 , то есть sin x = ± 1 / 2

Равенства доллжны выполняться одновременно, поэтому

х = ( — 1) ^ n * π / 6 + 2 * π * n

Наибольшее значение, из интервала [ 0 ; 10 * π ] равно 53 * π / 6 .

Видео:Найдите наименьший положительный корень уравнения sin pi x/3=-(корень из 3)/2 (проф. ЕГЭ задача №6)Скачать

Найти все решения уравнения (sinx — cosx) ^ 2 — 1 = 0 принадлежит отрезку [0 ; 2п]?

Найти все решения уравнения (sinx — cosx) ^ 2 — 1 = 0 принадлежит отрезку [0 ; 2п].

Видео:Наибольшее и наим. значения функции на отрезкеСкачать

(1 + sinx)(1 + cosx) = 1 + sinx + cosx найти корни уравнения принадлежащие отрезку от [0 ; 2П]?

(1 + sinx)(1 + cosx) = 1 + sinx + cosx найти корни уравнения принадлежащие отрезку от [0 ; 2П].

Видео:ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 5. Найдите корень уравненияСкачать

ПОМОГИТЕнайдите наибольшее и наименьшее значение выражения sinx + cosx ?

найдите наибольшее и наименьшее значение выражения sinx + cosx ?

Видео:№ 26704 Найдите наибольшее значение функции y=16tgx-16x+4π-5 на отрезке [-π/4; π/4].Скачать

Решите уравнение 20 ^ cosx = 4 ^ cosx ·5 ^ — sinx Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ — 9π / 2 ; — 3π]?

Решите уравнение 20 ^ cosx = 4 ^ cosx ·5 ^ — sinx Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ — 9π / 2 ; — 3π].

Видео:tg pi(2x+5)/6=корень из 3. В ответе запишите наибольший отрицательный корень (проф. ЕГЭ, задача 6)Скачать

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = sinx + cosx?

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = sinx + cosx.

Видео:Математический анализ, 13 урок, Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезкеСкачать

Решение уравнения (36 ^ sinx) ^ — cosx = 6 ^ sinx?

Решение уравнения (36 ^ sinx) ^ — cosx = 6 ^ sinx.

И найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ( — 7П / 2 ; — 2П).

Видео:Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 классСкачать

А)12 ^ sinx = 3 ^ sinx * 4 ^ cosx б)Найдите все корни этого уравнения, принадоежащие отрезку 2π ; 7π / 2?

А)12 ^ sinx = 3 ^ sinx * 4 ^ cosx б)Найдите все корни этого уравнения, принадоежащие отрезку 2π ; 7π / 2.

Видео:Решите уравнение sin п(4x-3)/4 = 1. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.Скачать

Найдите в градусах наибольший корень уравнения2sin ^ 2 x + sin2x — sinx — cosx = 0на отрезке [0 ; 2П]?

Найдите в градусах наибольший корень уравнения

2sin ^ 2 x + sin2x — sinx — cosx = 0

на отрезке [0 ; 2П].

Видео:Решите уравнение: tg пx/4 = -1 В ответе напишите наибольший отрицательный корень.Скачать

Найдите наибольшее значение функции : y = sinx * cosx?

Найдите наибольшее значение функции : y = sinx * cosx.

Видео:Найти наименьший корень уравненияСкачать

Найдите корни уравнения sinx = cosx, принадлежащие отрезку [ — 2п ; 0]?

Найдите корни уравнения sinx = cosx, принадлежащие отрезку [ — 2п ; 0].

Видео:Подготовка к ОГЭ.ЕГЭ.Найти наибольший корень уравнения.Скачать

Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения : sinx + cosx?

Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения : sinx + cosx.

Перед вами страница с вопросом Найдите наибольшее на отрезке [0 ; 10п] решение уравнения |2sinx — 1| + |2cos2x — 1| = 0?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

2) не имеет корней т. К. квадрат числа всегда больше и равен нулю, а — 2.

Возведём все выражения в квадрат : 1) √20 в квадрате = 20 2)3√3 = 9 * 3 = 27 3)√5 в квадрате = 5 , д аеще в квадрате = 25 4)√38 / √2 = 38 / 2 = 19 Отсюда следует, что 3√3 наибольшее значение.

A)49x ^ 2 — 28x + 4 + 28x = 49x ^ 2 + 4 B)36x ^ 2 + 25y ^ 2 + 120xy D)25x ^ 2 + 9y ^ 2 + 30xy — 9x ^ 2 — 25y ^ 2 + 30xy = 25x ^ 2 — 25y ^ 2 + 9y ^ 2 — 9x ^ 2 + 60xy Б)32y — 2 — 128y ^ 2 — 32y = — 2 — 128y ^ 2 Г)8x ^ 4 — 2x ^ 8 — 8 — 8x ^ 4 = — 2x ^ 8..

🔍 Видео

tg (π(8x+9))/3=-√3 в ответе напишите наибольший отрицательный кореньСкачать

Найдите наибольшее значение функции y=12cosx+6√3 x-2√3 π+6 на отрезке [0; π/2]Скачать

Наибольший корень уравнения. Олимпиада по математикеСкачать