Найти массу кривой заданной в полярной системе координат уравнением (7 видео)

Найти массу кривой заданной в полярной системе координат уравнением

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp 19.4 Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах
.

Видео:Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл 1-го рода

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ? 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Считая, что подынтегральная функция ? (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

Найти массу кривой с линейной плотностью , заданной в полярных координатах уравнением

Используем формулу (86):

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области:

— статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

— (88)
— момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

-моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4. Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

Криволинейный интеграл 2-го рода

Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Вычислить работу силы , действующей на точку, движущуюся по прямой от точки А(2; 1; 0) до точки В(-3; 2; 1).

Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид:

При этом dx = -5dt, dy = dt, dz = dt.

4. Поверхностный интеграл 1-го рода
1. Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

(? — проекция S на плоскость Оху).
2. Масса поверхности

Найти массу поверхности S: x2 + y2 + z2 = 4, с поверхностной плотностью .

Зададим поверхность S в явном виде: и найдем dS:

Поверхность S представляет собой часть сферы радиуса 2 с центром в начале координат, вырезанную плоскостью . Найдем проекцию этой поверхности на координатную плоскость Оху. Линией пересечения сферы и плоскости является окружность , то есть х2 + у2 = 1. Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Вычислим массу поверхности в полярных координатах:

— статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

— моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

— моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

— момент инерции поверхности относительно начала координат.
4. Координаты центра масс поверхности:

Замечание. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале главы. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криволинейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые без подробного вывода.

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Геометрические и физические приложения

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

(39)

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью заданной в полярных координатах уравнением ρ =4φ, где

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l:

— (41)

— статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

— (42)

— момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

— (43)

— моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

. (44)

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

, (45)

Пример 7.

Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

6) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

(46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности

(47)

Пример 8.

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z 2 + 3.

На рассматриваемой поверхности

Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

8) Моменты поверхности:

(48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

— моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

— (50)

— моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

— (51)

— момент инерции поверхности относительно начала координат.

9) Координаты центра масс поверхности:

. (52)

III. Теория поля

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярноеили векторное).

Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор

(53)

называется градиентомвеличины U в соответствующей точке.

Пусть дано векторное поле . Интеграл

(54)

называется линейным интегралом от вектора вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L.

Пример 9.

Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру Г, состоящему из частей линий (направление обхода положительно).

Воспользуемся формулой Грина:

Ротором или вектором вихрявекторного поля A = <A_x, A_y, A_z>, где A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

(55)

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Поверхностный интеграл 1-го рода

(56)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а А_п – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Пример 10.

Найти поток векторного поля через часть плоскости ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:

Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):

. (57)

Пример 11.

Найти дивергенцию и ротор векторного поля где

Найдем координаты вектора а:

Векторное поле A = <A_x, A_y, A_z> называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (58)