Найти координаты вершин оси фокусы и эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы х2 3у2 6у 15

Математика | 10 — 11 классы

Найти длины осей координаты фокусов эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы заданной уравнением 7x ^ 2 — 9y ^ 2 = 63.

$7x^2-9y^2=63\ frac — frac =1\ a=9 b=7\$ — действительные и мнимые полуоси

2a = 18 2b = 14 — действительные и мнимые оси.

С² = a² + b² = 9² + 7² = 81 + 49 = 130

F₁( — √130 ; 0), F₂(√130 ; 0) — фокусы

ε = c / a = √130 / 9 — эксцентриситет

$y=б frac x$ — уравнение асимптот гиперболы.

Видео:Математический анализ, 15 урок, АссимптотыСкачать

Даю 53 балла Привести кривую к каноническому виду, найти большую и малую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, асимптоты?

Даю 53 балла Привести кривую к каноническому виду, найти большую и малую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, асимптоты.

Построить Кривую X ^ 2 + 9Y ^ 2 = 45.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Найти координаты фокусов гиперболы, заданной уравнением y = k / x?

Найти координаты фокусов гиперболы, заданной уравнением y = k / x.

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

Построить гиперболу и её асимптоты?

Построить гиперболу и её асимптоты.

Найти фокусы гиперболы и угол между асимптотами.

Х ^ 2 — 9y ^ 2 = 25.

Видео:182 Алгебра 9 класс. Найдите Асимптоты гиперболы.Скачать

Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постойте ее?

Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постойте ее.

Укажите координаты вершин, фокусов.

Директрисы и асимптот, если они есть.

Вычислите эксцентриситет кривой.

9x ^ 2 — 4y ^ 2 — 18x — 16y + — 7 = 0.

Видео:Асимптоты функции. 10 класс.Скачать

Написать уравнение асимптот гиперболы, у которой вещественная ось 2а = 8, а расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 10?

Написать уравнение асимптот гиперболы, у которой вещественная ось 2а = 8, а расстояние между фокусами, лежащими на оси Ох, равно 10.

Видео:Пределы №6 Нахождение асимптот графиков функцийСкачать

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16?

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16.

Найти её фокусы и эксцентриситет.

Видео:Фокусы гиперболыСкачать

Найти координаты фокусов длины осей и эксцентриситет эллипса 16X ^ 2 + 25y ^ 2 = 400?

Найти координаты фокусов длины осей и эксцентриситет эллипса 16X ^ 2 + 25y ^ 2 = 400.

Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

Построить кривую, заданную уравнением?

Построить кривую, заданную уравнением.

Найти : а) полуоси (для эллипса и гиперболы) ; б) координаты фокусов ; в) эксцентриситет (для эллипса и гиперболы) ; г) уравнения директрис.

Уравнения кривой 9х(вквадрате) — 16у(в квадрате) + 90х + 32у — 367 = 0.

Видео:Вершина параболы и ось симметрии. ПримерСкачать

1) Найти эксцентриситет гиперболы x2 / 16 — y2 / 9 = 12) Найти координаты фокусов эллипса x2 / 16 + y2 / 9 = 1?

1) Найти эксцентриситет гиперболы x2 / 16 — y2 / 9 = 1

2) Найти координаты фокусов эллипса x2 / 16 + y2 / 9 = 1.

Видео:§23 Построение гиперболыСкачать

Построить кривую, заданную уравнением?

Построить кривую, заданную уравнением.

а) полуоси (для эллипса и гиперболы) ;

б) координаты фокусов ; в) эксцентриситет (для эллипса и гиперболы) ; г) уравнения директрис.

На этой странице находится вопрос Найти длины осей координаты фокусов эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы заданной уравнением 7x ^ 2 — 9y ^ 2 = 63?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Математика, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.

1)118×6 + (372 / 38 * 35) — (34 * 37 — 12) = 708 + (числитель372×35знамен38×1) — 1246 = 708 + 13020 / 38 — 1246 = 26904 / 38 + 13020 / 38 — 47348 / 38 = — 7424 / 38 = — 195целых14 / 38 2) 6 * х = 9 * (12 + 6) 6х = 162 х = 162 / 6 х = 27 3)х — 16 = 6 ..

Вот это, что под делением — целое число, остаток снизу.

НСК (4 ; 6 ; 15) = 60 60 / 4 = 15 60 / 6 = 10 60 / 15 = 4.

8×7 = 56 56×4 = 224 224 + 9 + 5 + 3 + 1 = 242.

Х — длина поезда x + 450 — длина самого поезда + длина туннеля сост. Пропорцию 450 + х — за 45 сек х — за 15 сек(450 + х) / х = 45 / 15х = (450 + х) * 15 / 453х = 450 + хх = 225 225 и есть длина поезда).

Это значит, то ветви параболы не пересекают ось ОХ.

1. 5 + 2. 25 = 3. 75 7. 5÷3. 75 = 2.

Ответ : 414 — 82 = 332395 — 109 = 286332 + 286 = 618802 — 618 = 196Пошаговое объяснение .

Сторона квадрата асм. Площадь квадрата : S кв. = а * а = а² (см²) Стороны получившегося прямоугольника : длина (а + 5) см ; ширина (а — 5) см Площадь прямоугольника : S пр. = (а + 5)(а — 5) = а² — 5² = а² — 25 (см²) Изменение площади : S кв — S пр..

Р р = 8, 13 * 4 = 32. 52мм Ответ : 32. 52мм.

Видео:Квадратичная функция. Вершина параболы и нули функции. 8 класс.Скачать

Гипербола и её свойства

Видео:Асимптоты функции. Горизонтальная асимптота. 10 класс.Скачать

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac<x^><a^>-frac<y^><b^>=1.label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac<x^><a^>-frac<k^x^><b^>=1.
$$
Поэтому, если (b^-a^k^ > 0), то
$$
x=pm frac<sqrt<b^-a^k^>>.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^-a^k^)^). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

Видео:Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Как найти координаты фокусов гиперболы

Гиперболой Называется геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную через 2А, расстояние между фокусами через 2С, а оси координат выберем так же, как в разделе 2.3.

Пусть М(Х, У) – произвольная точка гиперболы (рисунок 2.4).

По определению гиперболы F2M – F1М = ±2A. (Знак плюс в правой части надо выбрать, если F2M > F1М, и минус, если F2M A).

Исследуем формулу гиперболы.

1. Уравнение (2.7) содержит квадраты текущих координат, следовательно, оси координат являются осями симметрии гиперболы. Ось симметрии, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симметрии – центром гиперболы. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), фокальная ось совпадает с осью ОХ, а центр – с началом координат.

В этом случае координаты фокусов гиперболы имеют вид F1(с,0), F2(-с,0).

2. Точки пересечения с осями симметрии. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии называются Вершинами гиперболы. Полагая в уравнении (2.7) У = 0, найдем абсциссы точек пересечения с осью ОХ:

или X2 = А2, откуда Х = ±А.

Итак, точки и являются вершинами гиперболы.

Если же в уравнении (2.7) принять x = 0, получим

или У2 = –B2,

Т. е. для У мы получили мнимые значения. Это означает, что гипербола не пересекает ось ОY.
В соответствии с этим ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью (фокальная ось); ось симметрии, которая не пересекает гиперболу, – ее мнимой осью. Для гиперболы, заданной уравнением (2.7), действительной осью симметрии является ось ОХ, а мнимой осью – ось ОY. Длина отрезка А1А2 = 2А, число А называется действительной полуосью гиперболы. Отложим на мнимой оси гиперболы по обе стороны от центра симметрии O отрезки ОВ1 и ОВ2 длиною B, тогда отрезок В1B2 = 2B называют мнимой осью, а величину B – мнимой полуосью гиперболы.

Из уравнения (2.7) видно, что , следовательно, |X| ³ A. Кривая имеет форму, изображенную на рисунке 2.5. Она располагается вне прямоугольника со сторонами, равными 2А и 2B, с центром в начале координат, и состоит из двух отдельных ветвей, простирающихся в бесконечность (см. рисунок 2.5). Диагонали этого прямоугольника определяются уравнениями

(2.8)

И являются Асимптотами гиперболы.

Если A = B, гипербола называется равносторонней.

Замечание 1. Если мнимая ось гиперболы равна 2А и расположена на оси ОХ, а действи-тельная ось равна 2B и расположена на оси ОY, то уравнение такой гиперболы (рисунок 2.6) имеет вид (каноническое уравнение гиперболы, если ее фокальная ось – ось Y)

(2.9)

Координаты фокусов в этом случае имеет вид F1(0,с) и F2(0,-с).

Гиперболы (2.7) и (2.9) называются Сопряженными гиперболами.

Замечание 2. Эксцентриситетом Гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной полуоси гиперболы

(2.10)

Для любой гиперболы ε > 1, это число определяет форму гиперболы.

Пример 2.3. Найти координаты фокусов и вершин гиперболы

Написать уравнение ее асимптот и вычислить эксцентриситет.

Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы, для чего обе части уравнения поделим на 144. После сокращения получим

.

Отсюда видно, что А2 = 9, т. е. A = 3 и B2 = 16, т. е. B = 4.

Для гиперболы С2 = А2 + B2 = 16 + 9 = 25, отсюда C = 5.

Теперь можем написать координаты вершин и фокусов гиперболы:

Эксцентриситет , а уравнения асимптот имеют вид

и .

Видео:Вариант 72, № 5. Уравнение оси симметрии параболы. Пример 2Скачать

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b – длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы – бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет – это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат – каноническое уравнение гиперболы:

Если – произвольная точка левой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:

.

Если – произвольная точка правой ветви гиперболы () и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже – прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где – расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, – расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и – расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот – прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты – прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами – прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы – это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:Урок 3 Определение координаты движущегося телаСкачать

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению | r ₁ – r ₂ | = 2 a . F ₁ , F ₂ – фокусы гиперболы. F ₁ F ₂ = 2 c .

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда :

обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью.

Ось 2 b называется мнимой осью.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2

:

Если а = b , e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Из очевидных геометрических соотношений можно записать:

a / e + d = x , следовательно d = x – a / e .

( x – c ) 2 + y 2 = r 2

Из канонического уравнения: , с учетом b 2 = c 2 – a 2 :

Тогда т.к. с/ a = e , то r = ex – a .

Итого:

Для левой ветви доказательство аналогично. Теорема доказана

Пример 1 . Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса

Для эллипса: c 2 = a 2 – b 2 . Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 .

Уравнение гиперболы:

Пример 2 . Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c 2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c 2 = a 2 + b 2 = 16, e = c / a = 2; c = 2 a ; c 2 = 4 a 2 ; a 2 = 4;

Итого: – искомое уравнение. Copyright © 2004-2019

Видео:Дан график производной Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции парал-на оси ХСкачать

Найти координаты вершин оси фокусы и эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы х2 3у2 6у 15

Вопрос по математике:

Найти длины осей координаты фокусов эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы заданной уравнением 7x^2-9y^2=63

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.

🎦 Видео

187. Гипербола.Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6Скачать

Решение задач на тему: "Нахождение константы равновесия и равновесных концентраций". 1ч. 10 класс.Скачать