Найти координаты центра тяжести кривой заданной уравнениями (6 видео)

5.2. Вычисление координат центра тяжести плоских кривых и плоских тел. Теоремы Гюльдена

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтен-гольца главу XII, п° 206, 207. При решении задач рекомендуется помнить, что если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести кривой лежит на этой прямой.

592. Найти центр тяжести дуги цепной линии:

содержащейся между точками, для которых х = — а х = а.

Решение. Так как рассматриваемая дуга расположена симметрично относительно оси Oyt то центр тяжести дуги лежит на оси Oy и, следовательно, Найдем ординату , пользуясь формулой

593. Найти центр тяжести одной арки циклоиды:

Решение. Так как арка циклоиды расположена симметрично относительно прямой х = па, то центр тяжести дуги циклоиды лежит на этой прямой и, следовательно,

Ордината центра тяжести будет: ? (

Найдем ординату центра тяжести по формуле:

Длина дуги одной арки циклоиды равна 8а (см. задачу

Найдем ординату центра тяжести:

594. Найти центр тяжести дуги кривой»

содержащейся между точками, для которых Решение. Найдем

Найдем абсциссу центра тяжести:

Найдем ординату центра тяжести:

595. Найти центр тяжести однородной треугольной пластинки.

Решение. Разбиваем данную пластинку прямыми, параллельными одной из сторон, на бесконечно тонкие полоски. Центр тяжести каждой полоски находится в ее середине и лежит, таким образом, на медиане, а следовательно, и центр тяжести всей треугольной пластинки лежит на этой медиане. Так как это рассуждение применимо к любой стороне, то центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан.

Тот же результат получаем вычислением. Площадь полоски, отстоящей на расстояние х от данной стороны

Ь, равна dS = —(h—х) А я, где А —высота, опущенная h

на эту сторону, а Дл; — ширина полоски, следовательно, расстояние центра тяжести от этой стороны равно: н н

I*= — [ xdS — Г— (h—х) xdx =

A1 2 3 J I о 3 Таким образом, центр тяжести треугольника находится на расстоянии, равном — высоты от соответствующей

стороны, т. е. в точке пересечения его медиан, ибо это— е&инственная точка, обладающая таким свойством.

596. Найти центр тяжести площади, ограниченной осью Ox и одной полуволной синусоиды

Решение. Так как площадь одной полуволны синусоиды расположена симметрично относительно прямой

, то центр тяжести лежит на этой прямой и, сле

довательно, . Ордината центра тяжести находится

Итак, центр тяжести данной площади находится в точке

597. Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной параболами

Решение. Данные параболы, пересекающиеся в точках О (0, 0) и А (а; а), ограничивают площадь, расположенную симметрично относительно биссектрисы Следовательно, центр тяжести данной площади лежит на биссектрисе, а отсюда

Так как площадь ограничена двумя кривыми

и, то абсцисса центра тяжести площади на-

ходится по формуле:

598. Найти центр тяжести площади, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

Таким образом, центр тяжести площади находится в

Решение. Данная площадь расположена симметрично относительно прямой , следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой и отсюда

Найдем ц по формуле. Площадь S данной

фигуры была вычислена (см. Задачу 467):Сле

Центр тяжести данной площади находится в точке

599. Пользуясь теоремой Гюльдена, вычислить поверхность тора, образованного вращением круга радиуса а вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстояние

Решение. Так как длина данной окружности равна , а длинаокружности, описанной центром тяжести ее, равна , то поверхность тора по первой теореме Гюльдена равна:

600. Пользуясь теоремой Гюльдена, вычислить объем и боковую поверхность прямого кругового конуса.

Решение. Боковая поверхность конуса с высотой , образующей И радиусом основания Получается при вращении гипотенузы длиной Вокруг катета длиной . Центр тяжести гипотенузы находится на ее середине и

удален от оси вращения на . Поэтому по первой теореме Гюльдена боковая поверхность равна:

Площадь треугольника равна , центр тяжести его, находясь на пересечении медиан, отстоит от катета А на расстояние, равное Высоты, опущенной на этот катет, т. е. , следовательно, по второй теореме Гюльдена объем конуса равен:

601. На цилиндре, имеющем 6 см в диаметре, кругом вдоль поверхности вырезан канал, имеющий поперечным сечением равносторонний треугольник со стороной в 0,5 сж. Вычислить объем срезанного материала.

Решение. Искомый объем есть объем тела, получаемого при вращении равностороннего треугольника со стороной в 0,5 см вокруг оси, параллельной основанию и удаленной от него на 3 ел, причем вершина лежит между основанием и осью (рис. 26).

Высота треугольника равна

площадь его равна

Расстояние центра тяжести от оси ОС = OA — AC =

высоты). По второй теореме Гюльдена имеем:

602. Длина одной арки циклоиды

Равна А поверхность, образуемая вращением ее вокруг оси Oxt равна . Вычислить поверхность, образуемую вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке.

Решение. Пусть — расстояние центра тяжести от оси Oxi тогда по первой теореме Гюльдена:

Наибольшая ордината кривой соответствует И рав

на 2а, причем касательная в этой точке параллельна оси Ох следовательно, расстояние центра тяжести от этой

Таким образом, искомая поверхность, образуемая’ вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке равна:

603. Найти центр тяжести дуги, составляющей четверть окружности радиуса Расположенной в первом квадранте.

604. Найти центр тяжести расположенной в первом квандранте дуги гипоциклоиды x = acosst, у = a sin31.

605. Найти центр тяжести половины площади эллипса, опирающейся на большую ось.

606. Найти центр тяжести площади, заключенной

— L — L. L между параболой х2 — J — у2 = а 2 и осями координат.

607. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной кривой at/2 = Jc3 и прямой х = а 0).

608. Найти центр тяжести площади, ограниченной кривыми

у = ах3, х = а, у = 0.

609. Найти центр тяжести площади, ограниченной эллипсом jc2 -)- 4у2 = 4 и окружностью х2— у2 = 4 и расположенной в первом квадранте.

610. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной замкнутой кривой у2 = ах3 — х*.

Содержание

Статические моменты и координаты центра тяжести
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой
Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
📹 Видео

Видео:Вычислить массу и координаты центра тяжестиСкачать

Статические моменты и координаты центра тяжести

Видео:Координаты центра тяжести. ЗадачаСкачать

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой

а) Пусть материальная точка массы отстоит от оси на расстоянии . Статическим моментом этой точки относительно оси называют число . Статическим моментом системы материальных точек , расположенных по одну сторону от оси , массы которых равны , а расстояния от оси равны называют число

Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.

Поэтому если точки расположены на координатной плоскости,

где — статический момент относительно оси и — относительно оси .

б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой или по некоторой области . Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области — ее площади.

Начнем со случая кривой линии , задаваемой уравнением , причем предположим, что функция непрерывна и неотрицательна.

Как обычно, разобьем отрезок на части точками и обозначим через и наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , Этому разбиению соответствует разбиение дуги на части (рис. 60). Из физических соображений ясно, что статический момент части относительно оси абсцисс заключен между и , где —длина этой части, (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице). Таким образом,

Так как на отрезке выполняется неравенство

то в тех же границах, что и , заключен интеграл . Значит,

Этот интеграл обозначают также следующим образом: или .

Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут «бесконечно малый участок дуги» . Его статический момент равен . А статический момент всей дуги равен сумме элементарных статических моментов, т. е. . Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое «бесконечно малый участок дуги», или как еще говорят, «элемент дуги». При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения мы будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что

Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая пересекает оси координат.

в) Введем понятие центра тяжести.

Определение. Центром тяжести тела называется такая точка , что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.

Обозначим через и расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.

Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:

Разрешая полученные равенства относительно и , найдем координаты центра тяжести плоской кривой

Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.

Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.

Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью . Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: . Тогда

Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности , расположенной в первом квадранте.

Решение. Данная кривая расположена симметрично относительна биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому . Достаточно найти только .

Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:

Отсюда находим, что и

Поскольку длина четверти данной окружности равна , то

Видео:Координаты центра тяжести пластиныСкачать

Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур

Найдем статический момент прямоугольника со сторонами и относительно стороны . Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны и (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади (напомним, что по предположению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен , а статический момент всего прямоугольника равен

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , где — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , снизу осью абсцисс, а с боков прямыми .

Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно и высота . Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен , а потому статический момент всей криволинейной трапеции равен . В случае, когда не выполняется предположение о неотрицательности функции , эту формулу надо заменить такой:

(части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в ).

Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т. е. интегралу , а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно . Поэтому его статический момент равен , а статический момент всей трапеции выражается формулой

Пример 3. Найти статический момент (относительно оси ) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

Решение. Так как параметр одной арки циклоиды изменяется от до , то

Пример 4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью и одной полуволной синусоиды .

Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой , то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, . Ордината центра тяжести находится по формуле .

Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке .

Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды .

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой , следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому . Найдем по формуле .

Площадь данной фигуры была вычислена раньше, она равна . Следовательно,

Центр тяжести данной фигуры находится в точке .

Видео:Найдите центр тяжестиСкачать

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

002.gif» />=<img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

002.gif» />(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

а координаты центра масс <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

009.gif» /> и <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

011.gif» /> — по формулам

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

где l— масса дуги, т. е.

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох

и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.

1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

◄ Имеем: <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.

◄ Имеем: <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

В приложениях часто оказывается полезной следующая

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

◄Вследствие симметрии <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

026.gif» />. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

028.gif» />, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Отсюда <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

032.gif» />, т.е. центр масс C имеет координаты C<img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.

Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

036.gif» /> (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

038.gif» />(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

<img src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?