Найти координаты точек пересечения уравнения х в квадрате

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где 0″ title=»a0″/> называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .

Если старший коэффициент a , то ветви параболы напрaвлены вниз .

Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

3 . Если 0″ title=»D>0″/>,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,

Если 0″ title=»a>0″/>,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как 0″ title=»a=2>0″/>,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

0″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/>

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

,

3. Координаты вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид — в этом уравнении — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

• сначала построить график функции ,
• затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
• затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Видео:98 Алгебра 9 класс Найдите координаты точек пересечения графиков функцииСкачать

Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений x в квадрате минус yв квадрате = 13 и x + y = — 5?

Алгебра | 5 — 9 классы

Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений x в квадрате минус yв квадрате = 13 и x + y = — 5.

Посчитай х сама).

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x (в квадрате) и y = 2x — 3 ?

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x (в квадрате) и y = 2x — 3 .

Выполните графическую иллюстрацию.

Видео:280 (а,б) Алгебра 9 класс. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функцииСкачать

Найдите координаты точек пересечения графиков функции игрек равен минус икс в квадрате и игрик равен два икс минус 3?

Найдите координаты точек пересечения графиков функции игрек равен минус икс в квадрате и игрик равен два икс минус 3.

Видео:693 (а) Алгебра 8 класс. Найдите координаты точек пересечения графиков функцииСкачать

Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений : х ^ 2 — y ^ 2 = 13 и х + у = — 5?

Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений : х ^ 2 — y ^ 2 = 13 и х + у = — 5.

Видео:691 Алгебра 8 класс Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функцииСкачать

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = — x в квадрате и y = 2x — 3?

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = — x в квадрате и y = 2x — 3.

Видео:8 класс. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координатСкачать

Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции : а) у = 7х + 1, 4 ; б) у = 2х(в квадрате) + 9х — 5?

Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции : а) у = 7х + 1, 4 ; б) у = 2х(в квадрате) + 9х — 5.

Видео:№975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3x-4y + 12 = 0 с осями координатСкачать

Координаты точек пересечения графиков функций 1) у = минус одна третья х в квадрате + 3 и у = х в квадрате + 3х?

Координаты точек пересечения графиков функций 1) у = минус одна третья х в квадрате + 3 и у = х в квадрате + 3х.

Видео:№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

Найти координаты точек пересечения графиков функций : y = xв квадрате ; y = x P?

Найти координаты точек пересечения графиков функций : y = xв квадрате ; y = x P.

S построением пожалуйста.

Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Постройте график функций у = минус 2 / x и у = — — 2х?

Постройте график функций у = минус 2 / x и у = — — 2х.

Укажите координаты точек пересечения этих графиков.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Срочно?

Найти координаты точек пересечения графиков функций у = 4 — 2х у = 4 — х в квадрате.

Видео:Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.Скачать

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x ^ 2 (x в квадрате) и y = 7x — 12?

Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x ^ 2 (x в квадрате) и y = 7x — 12.

На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос Вычислите координаты точек пересечения графиков уравнений x в квадрате минус yв квадрате = 13 и x + y = — 5?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

2) 9y — y ^ 2 + 45 — 5y = — y ^ 2 + 4y + 45 4) 2b — b ^ 2 + 6 — 3b = — b ^ 2 — b + 6 6) d ^ 2 + 3d + 11d + 33 = d ^ 2 + 14d + 33.

Ответ 4 — ый задачи «сравнить числа».

X + 3 / 3 + х + 4 / 4 — 3, 5 = x — 3 / 6 x + x — x = — 3 / 6 — 3 / 3 — 4 / 4 — 3, 5 1х = — 1 х = — 1 : 1 х = — 1 Ответ : — 1.

1. 10а руб. — стоят 10 мячей 5b руб. — стоят 5 ракеток 10а + 5b — стоимость всей покупки. 2. 2n руб. — стояли 2 тетради 100% — 3% = 97% ; 2n * 97% = 2n * 0, 97 = 1, 94n руб. — стали стоить 2 тетради 3m руб. — стояли 3 ручки 100% — 2% = 98% ; 3m..

3у = 24 — 2х у = (24 — 2х) : 3 2х = 24 — 3у х = (24 — 3у) : 2.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна х, тогда по течению х + 1, против течения х — 1. Катер проплыл по течению (х + 1) * 3, а против течения(х — 1) * 5 (х + 1) * 3 = (х — 1) * 5 3х + 3 = 5х — 5 2х = 8 х = 4 скорость катера в стоячей воде 4 км ..

1) x17 × x23 = x40 2) (x8)3 = x24 3) (x2)5 = x10 4) x24 × x5 × x10 = x39 5) x = x40 / x39 = 104.

Действия в скобке 1 выполняется в скобках справа — 0, 04 дробь в неправильную — 11 / 6 = 0, 11 Ответ — 2, 75.

А 4 49 121 0, 25 3600 2 0, 4 5 99 √а 2 7 11 0, 5 60 √2 √0, 4 √5 √99 = √9 * 11 = 3√11.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Пересечение с осями онлайн

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.

Найти точки пересечения функции с осями координат:

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось — в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат .

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Другие полезные разделы:

Видео:Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координатСкачать

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

🌟 Видео

Задача №322. Алгебра 7 класс Макарычев.Скачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Координаты точек пересечения парабол. ОГЭ математика.Скачать

Координаты точки пересечения графиков линнейной функции и функции квадратного корняСкачать

Алгебра 7 класс. 12 октября. Находим точку пересечения графиков!Скачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать