Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

Особые решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения

называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).

Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение

Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.

Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.

б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).

в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение

Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .

Полагая , находим, что условия (7) принимают вид

Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.

Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).

г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).

Огибающей семейства кривых

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.

Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.

Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:

1) существуют ограниченные по модулю частные производные

где и — постоянные;

Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.

Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .

б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).

в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке

где — область допустимых значений .

Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==» />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).

Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.

В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.

Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;

3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.

Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).

Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.

В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.

Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).

Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства

являющегося общим интегралом для (18).

Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.

Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).

Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Дифференцируем (23) по

Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.

Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).

Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).

Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем

Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .

Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь

Итак, из (26) и (27) имеем

Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.

Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .

Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).

Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде

Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь

Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает

Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .

Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).

Содержание
  1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
  2. 3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.
  3. 3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.
  4. 3.4. Задача Коши.
  5. 3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.
  6. Дифференциальные уравнения первого порядка
  7. I. Уравнения с разделяющимися переменными
  8. II. Уравнения, однородные относительно переменных
  9. III. Уравнения в полных дифференциалах
  10. IV. Линейные дифференциальные уравнения
  11. 3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.
  12. 3.7. Уравнение Бернулли.
  13. 3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
  14. 3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.
  15. 3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  16. 3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.
  17. 3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
  18. 3.15. Метод вариации произвольных постоянных.
  19. Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка
  20. 🎬 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).
Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

С другой стороны, по условию задачи имеем

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ‘ и (1.2) tg α = 2x получим

Решением дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x даются формулой

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x 2 + С координаты x и y координатами точки M0

и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5) y = x 2 + С . Выполняя указанные выкладки, имеем:

С = y0Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, y = x 2 – Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ y0.

Таким образом, искомой кривой будет парабола

y = x 2 – Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ y0.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t0 точка занимает положение x0, так что x(t0) = x0. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t). (1.7)

Равенство (1.7) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t) , найдем закон движения в конечной форме.

Интегрирование уравнения (1.7) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

x = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойf (t) dt + C. (1.8)

Выделим решение (движение), в котором

Для этого положим в формуле (1.8) x = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойf (t) dt + C t = t0, x = x0. Получим

x0 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойf (t) dt + C,

откуда C = x0; следовательно, искомым решением (движением) будет

x = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойf (t) dt + x0. (1.10)

Формула (1.10) x = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойf (t) dt + x0 дает искомый закон движения материальной точки. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (1.7) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t) и условием (1.9) x = x0 при t = t0 , нет.

Условие (1.9) x = x0 при t = t0 называется начальным условием, а числа t0 и x0начальными данными решения (движения).

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

x Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Например, все решения уравнения

y’ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdx + C.

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

Если его возможно разрешить относительно производной y ‘, то оно приводится к виду y ‘ = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида (3.1) y ‘ = f (x, y) .

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ‘ — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p. (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M0 (x0, y0), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M0 (x0, y0).

Установим связь между уравнением (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p определена и непрерывна в области G , и пусть

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3) y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.
Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

Таким образом, если через точку M(x, y) проходит интегральная кривая (3.3) y = y (x) , то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке M области G отрезок (для определенности — единичной длины) с центром в точке M, составляющий с положительным направлением оси Ox угол α, тангенс которого определяется формулой (3.4) tg α = f (x, y) . Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p . Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p в этой точке.
Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p y = 0, и получим тангенс угла α:

Например, интегральные кривые уравнения

Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= x 2 + y 2 . (3.5)

пересекают ось x под углом α, тангенс которого равен x 2 . Аналогично интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p в точках их пересечения с осью y образуют с осью x угол α:

Вообще, если надо узнать, какой угол с осью x образуют интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p в точках их пересечения с заданной кривой y = φ(x), то достаточно подставить y = φ(x) в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p . Получим

Например, для интегральных кривых уравнения

Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= yx

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

Кривая ω (x, y) = 0, в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p , одно и то же, называется изоклиной этого уравнения.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p имеют вид

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= x 2 + y 2 изоклинами будут окружности

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.
Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (3.6)

Таким образом, во всякой точке M(x, y), в которой правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p имеет конечное значение или обращается в бесконечность, это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3.6) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, которое всегда будем рассматривать наряду с уравнением (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p в окрестности точек, где f (x, y) обращается в бесконечность, будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3.2) y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= p .

3.4. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y0 искомой функции при некотором значении x0 независимого переменного — это значит задать начальное условие

Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= y0.

С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0 (x0, y0) на плоскости XOY.

Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано уравнение y’ = f (x, y) с начальным условием Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= y0, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:

    В прямоугольнике R, определенном неравенствами

функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) ∈ R | f (x, y)| ≤ M.

  • В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y1) – f (x, y2)| ≤ A|y1y2|.
  • Обозначим через h меньшее из двух чисел a, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x0hxx0 + h, удовлетворяющее начальному условию Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= y0.

    3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    I. Уравнения с разделяющимися переменнымиII. Уравнения, однородные относительно переменныхIII. Уравнения в полных дифференциалахIV. Линейные дифференциальные уравненияy’ = f (x) g ( y)y’ = f (x, y), где f (x, y) — однородная функция нулевого порядкаM(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

    где Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойy’ + P(x) y = Q(x)

    1. y’ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.
    2. Разделить переменные.
    3. Проинтегрировать.
    1. Замена Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= u, где u = u(x).
    2. После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными.
    3. Решив его, заменим u = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.
    1. Проверяем

      Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.
      Решением дифференциального уравнения является u(x, y), где

      Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= M(x, y),

      Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= N(x, y).

      y’ + P(x) y = 0 — линейное однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

    1. y’ + P(x) y = Q(x)
    • метод вариации произвольной постоянной;
    • метод Бернулли:
      y = u(x) · v(x).

    I. Уравнения с разделяющимися переменными

    Дифференциальное уравнение вида y’ = f (x) g ( y) или M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.

    Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdx + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdy = 0,

    где Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdx — дифференциал некоторой функции от x,

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdy — дифференциал некоторой функции от y.

    Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdx + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdy = C.

    Частный интеграл, удовлетворяющий условию Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= y0, выражается

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdx + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdy = 0.

    Если работать с уравнением y’ = f (x) g ( y), то Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

    Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

    Действительно, всякое решение, например y = y0, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

    Значит решения y = y0, x = x0 являются интегралами уравнения (5.1) M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy , даже если они не содержатся в общем решении.

    II. Уравнения, однородные относительно переменных

    Пусть имеем дифференциальное уравнение y’ = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойв тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой1, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

    Обозначив f Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой1, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= φНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= φНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Как интегрируется уравнение y’ = φНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой?

    Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого делают замену

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= u,

    где u — новая искомая функция от независимой переменной x, т.е. u = u(x).

    Дифференцируя по x, имеем:

    тогда данное уравнение примет вид:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойx = φ(u) – u.

    Это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, преобразовав которое, получим:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C,

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= ln x + ln C

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= ln Cx,

    причем |x| не пишем, т.к. –1 войдет в постоянную C.

    После взятия квадратуры, подставляем u = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Замечание. Мы делили на φ(u) – u, предполагая, что оно отлично от нуля.

    1. Если φ(u) ≡ u, то уравнение y’ = φ(u) примет вид: y’ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой— уравнение с разделяющимися переменными.
    2. Если φ(u) = u при некоторых значениях u = u0, то функция y = u0x — решение уравнения y’ = φ(u), которое может и не вытекать из общего.

    y’ = u0 и φНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= φ(u0) равны, тогда u0 = φНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, xdx = [φ(u) – u] dx.

    III. Уравнения в полных дифференциалах

    Если существует функция u(x, y) такая, что

    M(x, y) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, N(x, y) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    то дифференциальное уравнение

    можно переписать в форме

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdx + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойdy = 0, т.е. d[u(x, y)] = 0.

    В этом случае, данное уравнение имеет решение

    Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?

    Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.

    Т.к. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= M(x, y), то

    u(x, y) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойM(x, y) dx + C(y), (5.3)

    где C(y) — функция, зависящая только от y и пока нам неизвестная. Будем ее искать из условия, что Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= N(x, y), но

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойM(x, y) dx + C(y)Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойM(x, y) dx Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C’(y) = N(x, y).

    Отсюда находим C’(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (5.3) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (5.2) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 имеет вид

    IV. Линейные дифференциальные уравнения

    Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y’ + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= – P(x) y

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= – P(x) dx.

    Проинтегрируем последнее уравнение:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= – Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойP(x) dx + C,

    ln y = ln CНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойP(x) dx.

    Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

    y = CНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

    его общее решение y = CНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.
    Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде

    y = C(x)Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, (5.4)

    где C(x) — искомая функция от x.

    Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y’:

    y’ = C’(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(– P(x))

    и, подставив в данное уравнение, получим

    C’(x) = Q(x)Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Интегрированием находим C(x):

    C(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойQ(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C.

    Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) y = C(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

    2. Методом Бернулли.

    На примере решения уравнения y’Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= x.

    Пусть решение имеет вид:

    u’v + v’uНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= x.

    u’v + uНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойv’Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. ( ∗ )

    Пусть v’Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= 0.

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    v = x 3 , подставим в уравнение ( ∗ ),

    u’ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Интегрированием находим u:

    u = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= – Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C,

    y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойx 3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

    3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.

    Решение y = y(x), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения y = φ(x, C) (6.1) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C (но может быть получено при C = C(x)).

    Если правая часть уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (x, y) (6.2) удовлетворяет во всей области задания условиям теоремы Пикара, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений. Если функция f (x, y), стоящая в правой части уравнения , непрерывна относительно x и y во всей области задания и имеет частную производную по y (ограниченную или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые y = φ(x), во всех точках которых Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойобращается в бесконечность:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойy = φ(x) = ∞.

    Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть иногда найдены по уравнению семейства интегральных кривых.

    Огибающая семейства интегральных кривых уравнения (6.2) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (x, y) всегда является особым решением этого уравнения, ибо, во-первых, она является решением (интегральной кривой) уравнения (6.2) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (x, y) , так как в каждой ее точке направление касательной совпадает с направлением поля, направлений, определяемого дифференциальным уравнением (6.2) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (x, y) в этой точке, и, во-вторых, в каждой ее точке, очевидно, нарушается единственность решения задачи Коши.

    Отметим, наконец, что особые решения всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Дело в том, что когда делим обе части данного дифференциального уравнения на некоторую функцию ω(x, y), то получаем уравнение, вообще говоря, не равносильное данному, ибо можем при этом потерять решения вида y = φ(x) при x = ψ(y), при которых делитель ω(x, y) обращается в нуль, если эти решения не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него ни при каких числовых значениях произвольной постоянной (включая ± ∞). Решения, о которых идет речь, очевидно, являются особыми.

    Вообще всегда при интегрировании дифференциального уравнения нужно иметь в виду следующее замечание Н. М. Гюнтера: «Внимательно относясь к процессу, переводящему дифференциальное уравнение в его общий интеграл, можно без всяких интегрирований найти все особые решения, ни одного не пропустив». В дальнейшем будем систематически пользоваться этим указанием для нахождения особых решений всех уравнений, общий интеграл которых удается построить в элементарных функциях или в квадратурах.

    Рассмотрим случай полного уравнения (6.3) F(x, y, y’) = 0 , в котором функция F линейно зависит от y и x. Такое уравнение можно, разрешив относительно y, записать в виде

    Если φ(y’) ≠ y’, то уравнение (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) называется уравнением Лагранжа. Найдем его общее решение в параметрической форме.

    Воспользуемся основным соотношением:

    приняв y’ за параметр, который на этот раз (по традиции) обозначим буквой p (y’ = p). Тогда уравнение Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) будет равносильно системе двух уравнений

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(6.4, а)

    Пользуясь основным соотношением (6.5) dy = y’dx с учетом (6.4, а) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, получим (вычисляя dy как дифференциал функции от двух аргументов p и x)

    Это есть дифференциальное уравнение с неизвестной функцией x от независимой переменной p. Замечая, что искомая функция x входит в коэффициент при dp линейно, перепишем его в виде

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Это есть линейное уравнение с искомой функцией x. Интегрируя его, получим

    Подставляя эту функцию в первое из уравнений (6.4, а) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойвыразим y через p. Общим решением уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) в параметрической форме будет

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Если уравнение φ(p) – p = 0 имеет действительные решения p = pi (i = 1, 2 , …, n), то, подставляя их в первое из уравнений (6.4, а) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи принимая во внимание, что φ(pi) = pi, получим

    Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) .

    Это уравнение называется уравнением Клеро.

    Применяя тот же алгоритм, что и при интегрировании уравнения Лагранжа, имеем

    Это уравнение распадается на два:

    Первое из них дает p = C = const. Подставляя это значение в первое из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p , получим

    Это семейство прямых линий и есть общее решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) . Заметим, что оно получается из (6.6) y = xy’ + ψ(y’) формальной заменой y’ на C.

    Второе из уравнений (6.8) dp = 0 и x + ψ’(p) = 0 вместе с первым из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p дает решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) в параметрической форме:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(6.10)

    которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9) y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

    Действительно, разыскивая кривую, подозрительную на огибающую семейства (6.9) y = xC + ψ(C) , по правилу, указанному выше, имеем систему

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Но эти уравнения отличаются от (6.10) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойтолько обозначением параметра.

    Таким образом, приходим к очень простому алгоритму интегрирования уравнения Клеро:

    1. Общее решение получается заменой у’ на C.
    2. Особое решение ищется как огибающая семейства прямых, образующих общее решение.

    В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.

    3.7. Уравнение Бернулли.

    Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

    Для приведения уравнения Бернулли к линейному уравнению избавимся сначала в правой части от множителя y m , разделив на него обе части уравнения. Получим

    Это уравнение можно переписать в виде

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой( y 1 – m ) + p(x)y 1 – m = q(x).

    Введя новую неизвестную функцию z:

    придем к уравнению

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойz’ + p(x)z = q(x),

    Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

    y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 (8.2) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

    Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой), зависящей от времени t, положения x и скорости Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойв момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

    m Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= F (t, x, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой), (8.3)

    где Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойесть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) m Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= F (t, x, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) в виде

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t, x, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой), (8.4)

    где f = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5) x = x(t) называют движением, определяемым уравнением (8.5) x = x(t) . Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t, x, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (t, x, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

    Для уравнения n-го порядка

    (n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

    удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

    y = y0, y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, y (n – 1) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри x = x0, (8.8)

    где x0, y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой— заданные числа (начальные данные решения (8.7) y = y(x) . В отличие от уравнения первого порядка здесь при заданном значении независимой переменной задается значение не только искомой функции, но и ее производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

    В частности, для уравнения второго порядка (8.1) F (x, y, y ‘, y ») = 0 начальные условия (8.8) y = y0, y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, y (n – 1) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри x = x0 принимают вид

    y = y0, y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри x = x0.

    Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M0 (x0, y0) и имеющей в этой точке касательную M0T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α0:

    tg α0 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

    Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

    Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

    Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

    Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

    Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

    Предположим, что все коэффициенты p1, …, pn и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x0, y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой), где x0 ∈ (a, b), а y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой— любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

    Теорема. Если функции p1, …, pn и f (x) непрерывны в интервале (a, b), то уравнение (8.10) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) имеет единственное решение (8.7) y = y(x) , удовлетворяющее начальным условиям (8.8) y = y0, y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, y (n – 1) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри x = x0 , причем y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойможно задавать произвольно, а x0 можно брать любым из интервала (a, b).

    Можно доказать, что решение (8.7) y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

    В частности, если функции p1, …, pn и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойможно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

    Если функции p1, …, pn, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(8.11)

    то при постановке задачи Коши начальные значения y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойможно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x0, не содержащей нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1.

    3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

    Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

    Если уравнение (9.1) F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0 разрешимо относительно старшей производной y (n) , то оно примет вид

    Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

    Уравнение вида y (n) = f (x).Уравнение вида
    F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно неизвестную функцию y.Уравнение вида
    F (x, y (k) , y (k + 1) , …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных.Уравнение вида
    F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно независимую переменную x.Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ‘ и находим y.Производим замену y (k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y.
    Например, в дифференциальном уравнении вида F ( y, y ‘, y » ) делается замена y ‘ = z, тогда
    y » = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойz.
    Заменяя y ‘ = z, y » = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойz, получим дифференциальное уравнение первого порядка
    F Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойy, z, y ‘, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойz Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= 0.

    3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

    Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

    Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

    и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

    Будем предполагать, что функции p1, …, pn, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y0 (x0) = 0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x0) = 0, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x0) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

    Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

    Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y , а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойна заданные функции p1, …, pn, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

    LНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ p1 (x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ pn – 1 (x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ pn (x)

    и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

    LНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ p1 (x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ p2 (x).

    Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

    1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

    2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

    Из этих основных свойств оператора L следует, что

    LНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk yk Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk L(yk).

    т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

    Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) L(y) = f (x) или (10.5) L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

    Функции cos x и sin x являются действительной и мнимой частями комплексной функции e ix . Так как они определены при всех значениях x, то и функция e ix определена при всех значениях x.

    Аналогично определяется показательная функция более общего вида e αx , где α = a + ib; причем a и b — действительные числа:

    Здесь действительная и мнимая части e ax cos bx, ie ax sin bx, а вместе с ними и функция e αx определены при всех значениях x.

    Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

    Используя формулу (10.7) y (k) (x) = u (k) (x) + iv (k) (x) , можем вычислить значение оператора L от комплексной функции действительной независимой переменной. При этом получим

    т. е. значение оператора L от комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) является комплексной функцией действительной переменной x; причем действительной и мнимой частями этой функции являются значения оператора L от действительной и мнимой частей функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) .

    Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

    откуда вытекает, что

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой≠ const (a (11.2) y1, y2, …, ym (a линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

    α1, α2, …, αn (a (11.3) α1, α2, …, αn (a однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

    W(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Этот определитель называется определителем Вронского решений y1, y2, …, yn.

    Теорема. Для того чтобы решения (11.3) α1, α2, …, αn (a были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

    Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

    W(x) = W(x0) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (11.4)

    Из формулы (11.4) W(x) = W(x0) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойвидно, что определитель Вронского n решений уравнения L(y) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

    1. Если W(x) обращается в нуль в одной точке из интервала (a, b), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
    2. Если W(x) не равен нулю в одной точке из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

    Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3) α1, α2, …, αn (a составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x0 ∈ (a, b).

    Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

    Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

    a (n – 1) | (11.5) a (n – 1) | имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkyk удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

    1. Система уравнений

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(11.6)

    разрешима в области (11.5) a (n – 1) | относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn так как определитель этой системы, будучи равен определителю Вронского для фундаментальной системы решений (11.3) α1, α2, …, αn (a , отличен от нуля.

    2. Функция (11.1) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkyk по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn.

    Поэтому функция (11.1) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkyk является общим решением уравнения L(y) = 0 в области (11.5) a (n – 1) | .

    Формула (11.1) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkyk содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

    y = y0, y ‘ = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, y (n – 1) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри x = x0 (11.7)

    где y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойможно задавать произвольно, а x0 брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойвместо x, y, y ‘, …, y (n – 1) начальные данные x0, y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи разрешить полученную систему

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(11.8)

    относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. Так как определитель системы (11.8) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойесть W(x0) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

    C1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, C2 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Cn = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (11.1) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkyk , получим искомое решение:

    y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойyk.

    Таким образом, фундаментальная система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.

    3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

    Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

    где коэффициенты a1, a2, …, an суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

    Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

    Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ‘ + an y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

    Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

    Рассмотрим уравнение второго порядка

    где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в виде

    где λ — подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4) y = e λx будет решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , если λ выбрано так, что функция (12.4) y = e λx обращает это уравнение в тождество

    Вычисляя L(e λx ), т. е. подставляя функцию (12.4) y = e λx в левую часть уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , и принимая во внимание, что

    Из формулы (12.7) L(e λx ) = (λ 2 + pλ + q)e λx следует, что интересующее нас тождество (12.5) L(e λx ) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

    Заметим, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 заменой y », y ‘ и y на λ 2 , λ и 1, т. е. степень λ совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y (0) ≡ y.

    Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 .

    Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

    Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ1 и λ2. Тогда, подставляя в формулу (12.4) y = e λx вместо λ числа λ1 и λ2, получим два частных решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0

    y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (12.9)

    Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9) y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойможно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

    W(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(λ2λ1) ≠ 0.

    Следовательно, частные решения y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойобразуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

    y = C1 Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C2 Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

    Подставляя корень λ1 = a + bi в формулу (12.4) y = e λx , получим комплексное решение

    поэтому решение (12.10) y = e (a + bi)x можно записать так:

    Отделяя в комплексном решении (12.11) y = e ax cos ax + i e ax sin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

    Эти решения, очевидно, независимы, так как

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой≠ const.

    Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ2 = abi соответствуют действительные частные решения

    Решения (12.13) e ax cos ax, – e ax sin bx , очевидно, линейно зависимы с решениями (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx .

    Таким образом, паре сопряженных комплексных корней λ1, 2 = a ± bi соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx .

    Решения (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 . Поэтому

    будет общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 .

    Если корни λ1 и λ2 чисто мнимые, т. е. λ1 = ib и λ2 = – ib, то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

    Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , а

    есть общее решение этого уравнения.

    Случай кратных корней характеристического уравнения

    Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ1 = λ2 = – Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

    y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(12.15)

    y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (12.15, а)

    Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в том, что

    y2 = x Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(12.16)

    есть второе частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , линейно независимое с решением (12.15) y1 = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойxНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= – p Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойxНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (12.17)

    L(xНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой) = – px Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойx Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ px Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойx Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ qx Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ q Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойx Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой≡ 0 (12.18)

    так как Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойq = 0.

    Общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

    y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(C1 + C2x).

    3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

    Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

    Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    z = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk zk (13.5)

    Подставляя это значение z в формулу (13.3) y = y1 + z , получим

    y = y1 + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk zk (13.6)

    Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) . Функция (13.6) y = y1 + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk zk , как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4) L(z) = 0 .

    Общее решение (13.6) y = y1 + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk zk дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x0, y0, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, …, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойиз области (11.5) a (n – 1) | за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

    Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

    и известно, что y1 есть частное решение уравнения

    а y2 — частное решение уравнения

    3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

    Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

    Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

    Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

    где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

    Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

      Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

    где Qm (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.
    Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

    т. е. частное решение приобретает множитель xk .

    Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

    где α и b — действительные числа, P1 и P2 — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

    Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

    где Q1 и Q2 — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P1 и P2 тождественно равен нулю.
    Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

    т. е. частное решение приобретает множитель xk .

    3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

    Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

    где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

    Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

    W(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой≠ 0 (15.4)

    Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 имеет вид

    Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C1(x) и C2(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C1(x) и C2(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) L(C1(x)z1 + C2(x)z2) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

    Дифференцируя обе части равенства (15.5) z = C1(x)z1 + C2(x)z2 , имеем y’ = C1(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C2(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x)z1 + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x)z2.

    Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от C1(x) и C2(x), положим

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x)z1 + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x)z2 = 0.

    Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C1(x) и C2(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y’ примет вид

    y’ = C1(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C2(x)Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (15.7)

    Вычисляя теперь , получим

    = C1(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C2(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x)Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (15.8)

    Подставим выражения для y, y’ и из формул (15.5) z = C1(x)z1 + C2(x)z2 , (15.7) y’ = C1(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C2(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи (15.8) = C1(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ C2(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойв уравнение (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на q, p и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Получим

    C1(x)L(z1) + C1(x)L(z2) + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (x).

    Здесь в силу (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой+ Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= f (x).

    Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Эта система в силу (15.4) W(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой≠ 0 однозначно разрешима относительно Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) и Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x). Решая ее, получим

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) = φ1(x) и Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(x) = φ2(x),

    где φ1(x) и φ2(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z1, z2, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойнепрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4) W(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой≠ 0 функции φ1(x) и φ2(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

    C1(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ1(x)dx + C1, C2(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ2(x)dx + C2,

    y = z1Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ1(x)dx + z2Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ2(x)dx + C1z1 + C2z2. (15.9)

    Полагая здесь C1 = C2 = 0, получим частное решение

    y1 = z1Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ1(x)dx + z2Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ2(x)dx

    так что формулу (15.9) y = z1Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ1(x)dx + z2Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 можно записать в виде

    откуда в силу теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения следует, что формула (15.9) y = z1Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ1(x)dx + z2Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 дает общее решение уравнения (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Все решения, входящие в формулу (15.9) y = z1Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ1(x)dx + z2Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 , заведомо определены в интервале (a, b).

    Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

    где коэффициенты p1 (x), …, pn (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

    Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

    Пусть z1, z2, …, zn — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

    z = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkzk

    Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

    y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk(x)zk, (15.11)

    где функции Ck(x) определяются из системы уравнений

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Решая эту систему относительно Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(k = 1, 2, …, n), находим

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой= φk(x) (k = 1, 2, …, n),

    Ck(x) = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφk(x)dx + Ck (k = 1, 2, …, n).

    Подставляя найденные значения Ck(x) в формулу (15.11) y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCk(x)zk , получаем

    y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойzkНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφk(x)dx + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkzk. (15.12)

    Это и есть общее решение уравнения. Все решения, входящие в формулу (15.12) y = Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойzkНайти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойφk(x)dx + Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойCkzk , заведомо определены в интервале (a, b).

    Видео:Практика 1 ИзоклиныСкачать

    Практика 1  Изоклины

    Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

    4.1 Линейное однородное дифференциальное уравнение

    § Линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    где коэффициенты аk являются непрерывными функциями от х (в частности они могут быть постоянными или нулями). Полагая коэффициент а0(х) не равным нулю в некотором интервале Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, мы можем разделить уравнение на него и получим

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (1)

    В дальнейшем говоря о линейном однородном уравнении мы будем подразумевать, что оно приведено к виду (1) с коэффициентом при старшей производной равным единице.

    § Для уравнения (1) справедливы следующие теоремы:

    Т е о р е м а 1. Если у1 и у2 суть два (частных) решения уравнения (1), то у1 + у2

    есть также решение этого уравнения.

    Т е о р е м а 2. Если у1 есть решение уравнения (1), то С у1 есть также решение этого уравнения (С – любая постоянная).

    Следствие. Если у1, у2,…,уп суть частные решения линейного однородного уравнения п – гопорядка, то выражение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойесть решение.

    § Вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять частные решения, чтобы это

    выражение являлось общим решением однородного уравнения, разрешается в связи с понятием линейной зависимости функций. Функции Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойопределенные в интервале (а,b) , называются линейно зависимыми в этом интервале, если существуют постоянные Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, не все равные нулю, такие, что для всех значений х в рассматриваемом интервале выполняется тождественно соотношение:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Если не существует таких постоянных Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, чтобы это равенство имело место для всех рассматриваемых значений х (причем предполагается, что не все Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойравны нулю), то функции называются линейно независимыми (в данном интервале). В последующем мы часто будем иметь дело с интервалом Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    § Пусть мы имеем п функций от х, имеющих непрерывные производные до

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    называется определителем Вронского этих функций.

    Т е о р е м а 3. Если функции у1 , у2 , … , уп линейно зависимы, то определитель

    Вронского тождественно равен нулю.

    Т е о р е м а 4. Если решения у1 , у2 , … , уп линейно независимы [в интервале

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой], то Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойне обращается в нуль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

    Теоремы 3 и 4 можно объединить в следующей формулировке: определитель

    Вронского, составленный для системы п решений линейного уравнения п-го порядка (1), или тождественно равен нулю, или не обращается в нуль ни в одной точке того интервала, где коэффициенты уравнения непрерывны.

    Любая система из п линейно независимых частных решений линейного однород-

    ного уравнения (1) называется фундаментальной системой.

    Т е о р е м а 5. Для всякого линейного однородного дифференциального уравнения

    существует фундаментальная система.

    Т е о р е м а 6. Если у1 , у2 , … , уп образуют фундаментальную систему решений

    уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, то общее решение дается формулой:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    П р и м е р 13. Уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет, как легко проверить, два частных решения: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойДля выяснения вопроса об их линейной зависимости или независимости составляем определитель Вронского:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Следовательно, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойсоставляют фундаментальную систему, и общее решение напишется так: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Т е о р е м а 7. Если мы имеем п + 1 частных решений уравнения (1)

    то между ними необходимо существует линейная зависимость.

    Т е о р е м а 8. Фундаментальная система вполне определяет линейное

    однородное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице.

    Решим теперь такую задачу:

    Дана фундаментальная система (в интервале Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой): у1 , у2 , … , уп ; построить

    соответствующее дифференциальное уравнение.

    Для этой цели приравниваем нулю следующий определитель, в котором у обозна-

    чает искомую функцию:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (2)

    Разлагая его по элементам последнего столбца, мы убеждаемся в том, что равенство (2) представляет собой однородное дифференциальное уравнение п-го порядка относительно функции у. При подстановке вместо у функций уi (i = 1, 2, …, п) мы получаем определитель с двумя равными столбцами. Он тождественно равен нулю; следовательно, уравнение (2) допускает частные решения у1 , у2 , … , уп .

    П р и м е р 14. Построить уравнение, имеющее в качестве фундаментальной системы функции х, х 2 , х 3 . Строим уравнение по формуле (2):

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Раскрывая определитель по элементам последнего столбца, получаем:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Здесь Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи не обращается в нуль в интервалах Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Для этих интервалов имеем дифференциальное уравнение:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    § Понижение порядка линейного однородного уравнения

    1. Для линейного однородного уравнения (1) справедлива формула Остроградского –

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Применим ее к нахождению общего решения уравнения второго порядка:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    у которого нам известно одно частное решение у1.

    Пусть у есть любое решение этого уравнения, отличное от у1. Составляем

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи записываем его значение по формуле Остроградского – Лиувилля:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Раскрывая определитель, имеем линейное уравнение первого порядка:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой;

    делим обе части на Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, находим:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    откуда у определяется квадратурой:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Полученное решение содержит два произвольных постоянных и, следовательно, является общим.

    Итак, если известно одно частное решение линейного однородного уравнения

    второго порядка, общее решение находится квадратурами.

    Примечание. При решении задач пользоваться готовой квадратурой не рекоменду-

    ется. Следует повторить ход решения.

    П р и м е р 15. Проинтегрировать уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Легко убедиться, что частным решением этого уравнения является у1 = х. В нашем случае Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Применяем формулу Остроградского – Лиувилля:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Теперь раскрываем выражение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойОткуда Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Получилось линейное уравнение первого порядка, интегрируя которое, находим:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    2. Понижение порядка в уравнении (1) при известном частном решении у1(х) можно

    произвести с помощью подстановки у = у1z , где z – новая неизвестная функция.

    В результате этой подстановки для z получим опять уравнение порядка п ,

    которое не будет содержать неизвестной функции z , и, как следует из раздела 3.1, подстановка Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпонижает порядок в уравнении для и на единицу.

    П р и м е р 16. Найти общее решение уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Легко находим частное решение у1 = х. Подстановка у = хz приводит к уравнению третьего порядка для z : Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, которое легко интегрируется последовательным понижением порядка, в результате чего находим

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Так как у = хz , то окончательно Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    4.2 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

    Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение вида:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (3)

    Однородное линейное уравнение с теми же коэффициентами, но с правой частью,

    равной нулю, называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (3).

    Т е о р е м а 1. Если известно какое-нибудь частное решение Y неоднородного уравнения (3), то общее его решение есть сумма этого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Здесь Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойфундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения.

    П р и м е р 17. Найти общее решение уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Легко видеть, что его частным решением будет у = 3х. Соответствующее однородное уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет фундаментальную систему решений: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. В силу вышеприведенной теоремы, общим решением исходного уравнения будет

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Т е о р е м а 2. Если известна фундаментальная система решений соответствую-

    щего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения может быть найдено при помощи квадратур (методом вариации произвольных постоянных).

    Решение неоднородного уравнения (3) ищется в виде:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой,

    где Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойбудут функциями независимого переменного х, которые определяются из следующей системы уравнений:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. (4)

    П р и м е р 18. Решить уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Решая однородное уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, получим: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Составляем систему (4), учитывая, что канонический вид уравнения есть Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, т.е. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    и, следовательно, по формуле Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, окончательно находим:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Последнее слагаемое в правой части есть не что иное, как частное решение исходного неоднородного уравнения.

    4.3 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

    4.3.1 Линейные однородные уравнения

    Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными

    коэффициентами п-го порядка имеет вид

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(1)

    Общее решение этого уравнения определяется корнями характеристического уравнения

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойгде Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(2)

    Возможны следующие случаи:

    § Все корни Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойхарактеристического уравнения (2) действительны и различны. Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (1) имеет вид

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    § Имеется т равных действительных корней: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойдругие корни действительны и различны. В этом случае общее решение определяется формулой

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    § Имеется т равных комплексно сопряженных корней: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойдругие корни действительны и различны. В этом случае общее решение имеет вид

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    где Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпроизвольные постоянные.

    § В общем случае, когда имеются r различных корней Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойс кратностями Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, левую часть характеристического уравнения (2) можно представить в виде произведения:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    где Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойОбщее решение исходного уравнения дается формулой

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    где Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпроизвольные постоянные.

    Если имеются комплексно сопряженные корни уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, то в указанном решении следует выделить действительную часть с учетом формулы: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    П р и м е р 19. Решить уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Его характеристическое уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет корни

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Теперь записываем общее решение

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    П р и м е р 20. Решить уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Его характеристическое уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет корни Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи окончательно общее решение:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    П р и м е р 21. Решить уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Его характеристическое уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, которое можно переписать в виде Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет корни Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    4.3.2 Линейные неоднородные уравнения

    Когда найдено решение соответствующего однородного уравнения, т.е. известна

    его фундаментальная система решений, то решение неоднородного уравнения согласно теореме 2 (разд. 4.2) находится в квадратурах.

    Если правая часть неоднородного уравнения принадлежит к одному из указанных в

    нижеследующей таблице типов, то решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами может быть найдено вообще без интегрирования методом неопределенных коэффициентов.

    В предлагаемой таблице перечислены типы правых частей уравнений и соответст-

    вующие типы частных решений.

    Вид частных решений неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойдля правой части специального вида

    Вид правой части Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойКорни характеристического уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойВид частного решения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойЧисло 0 не является корнем характеристического уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Число 0 является корнем характеристического уравнения (кратности r) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой( Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой— действительное число)Число Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойне является корнем характеристического уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Число Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойявляется корнем характеристического уравнения (кратности r) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойЧисло Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойне является корнем характеристического уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Число Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойявляется корнем характеристического уравнения (кратности r) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойЧисло Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойне является корнем характеристического уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Число Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойявляется корнем характеристического уравнения (кратности r) Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой
    Обозначения: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямоймногочлены степени т и п с заданными коэффициентами; Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямоймногочлены степени т и v, коэффициенты которых определяются в результате подстановки данного частного решения в исходное уравнение; v = max (m, n).

    П р и м е р 22. Найти частное решение неоднородного уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Характеристическое уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет корни Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойПравая часть уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, где а = 2 не совпадает ни с одним из корней. Следовательно, Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное уравнение, приравняв друг другу коэффициенты при первых степенях х и свободные члены в левой и правой частях полученного уравнения, имеем Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, откуда А = 4/5 и В = -28/25.

    Таким образом, искомое частное решение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    П р и м е р 23. Найти частное решение неоднородного уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Характеристическое уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет двукратный корень Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойПравая часть уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Здесь а = 1 совпадает с двукратным корнем Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи, следовательно, т = 2. Таким образом, частное решение нужно искать в виде Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Повторяя процедуру, описанную в предыдущем примере, А= 1/6 , В = 0. Следовательно, частное решение имеет вид Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    П р и м е р 24. Найти частное решение неоднородного уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Характеристическое уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет корни Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойПравая часть уравнения имеет вид, указанный последним в левом столбце таблицы. Следовательно, частное решение нужно искать в виде Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Дифференцируя эту функцию два раза, подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при cos x, x cos x, sin x, x sin x получим четыре уравнения: Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Отсюда находим Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Поэтому частное решение

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    П р и м е р 25. Теперь рассмотрим пример с комбинированной правой частью:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Обозначим Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи будем искать частное решение в виде Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, т.е. находим частное решение двух уравнений:

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойи Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Характеристическое уравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет корни Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Рассматривая каждое из последних уравнений изложенными выше методами, получим Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой; Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой. Окончательно

    Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Если правая часть линейного уравнения с постоянными коэффициентами не имеет вида, приведенного в таблице и не является их линейной комбинацией, то для нахождения частного решения следует применить метод вариации произвольных постоянных.

    ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

    ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

    Предлагается 25 вариантов индивидуальных заданий, включающих в себя

    различные дифференциальные уравнения и две задачи на составление дифференциальных уравнений. Каждый вариант состоит из 8 заданий. Если в задании не указаны начальные условия, то следует найти общее решение заданного уравнения, а если к уравнению добавлены начальные условия, то следует решить задачу Коши. В седьмом и восьмом задании следует составить дифференциальное уравнение (исходя из условий задачи) и решить его.

    Вариант 1

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Два одинаковых груза подвешены к кольцу пружины. Найти закон движения одного из грузов, если другой оборвется. Дано, что удлинение пружины под влиянием одного из грузов равно а см.

    8. Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс, если известно, что кривая обращена выпуклостью к оси ординат.

    Вариант 2

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Последовательно включены источники тока, напряжение каждого меняется по закону Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).

    8. Найти плоские кривые, радиус кривизны которых пропорционален кубу длины отрезка нормали.

    Вариант 3

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти кривые, у которых радиус кривизны равен нормали.

    8. Материальная точка массы т движется прямолинейно к неподвижному центру, притягивающему ее силой, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В начальный момент точка находится в покое и стоит от центра на расстоянии х0 . Определить время, по истечении которого точка достигает центра.

    Вариант 4

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от некоторой точки, пропорциональна угловому коэффициенту касательной в конечной точке дуги.

    8. Материальная точка массы т движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной расстоянию от точки до центра (k1 > 0). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости (k2 > 0). В начальный момент времени точка находится на расстоянии а от центра, скорость равна v0 и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения, если (k2 2 0).

    Вариант 8

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой;

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти кривые постоянного радиуса кривизны.

    8. Найти закон прямолинейного движения материальной точка массы т под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстоянии х0 .

    Вариант 9

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось Оу есть величина постоянная, равная 7.

    8. Моторная лодка весом 300 кг движется прямолинейно с начальной скоростью

    66 м/с . Сопротивление воды пропорционально скорости и равно 10 кг при скорости 1 м/с. Через какое время скорость лодки будет 8 м/с ?

    Вариант 10

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой;

    7. При каких k и Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойуравнение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеет хотя бы одно периодическое решение?

    8. Материальная точка массы т движется прямолинейно под действием силы отталкивания от неподвижного центра, пропорциональной расстоянию от точки до центра (k1 > 0). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости (k2 > 0). В начальный момент точка находится на расстоянии а от центра, скорость равна v0 и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения точки.

    Вариант 11

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Составить дифференциальное уравнение семейства плоских кривых Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    8. Цепь длиной 6м соскальзывает со стола. В момент начала движения со стола свисал 1м цепи. В течении какого времени со стола соскользнет вся цепь (трением пренебрегаем).

    Вариант 12

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти интегральную кривую уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, проходящую через точку (0, 1) и касающуюся в этой точке прямой х + у = 1 (почему получается одна интегральная кривая?).

    8. Частица массы т движется по оси Ох, отталкиваясь от точки х = 0 с силой 3mr0 и притягиваясь к точке х = 1 с силой 4mr1 , где r0 и r1 – расстояние до этих точек. Определить движения частицы с начальными условиями х(0) = 2, v(0) = 0.

    Вариант 13

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти уравнение кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вниз.

    8. Тело массы т движется прямолинейно под действием постоянной силы р. Найти скорость движения и пройденный им путь как функцию времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

    Вариант 14

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти кривые, у которых проекции радиуса кривизны на ось постоянны.

    8. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, а коэффициент трения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    Указание: сила трения равна Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой, где N – сила реакции плоскости.

    Вариант 15

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. При каких а и b изо всех решений уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойимеется хотя бы одно решение Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой?

    8. Груз массой 4кг подвешен на пружине и увеличивает ее длину на 1см . Найти закон движения груза, если верхний конец пружины совершает гармоническое вертикальное колебание Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(см) и в начальный момент груз находился в покое (сопротивлением среды пренебречь).

    Вариант 16

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити под действием силы тяжести (цепная линия).

    8. Найти закон движения тела, падающего без начальной скорости. Допуская, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и что скорость имеет своим пределом при Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойвеличину 75м/с.

    Вариант 17

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Определить формулу равновесия нерастяжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного листа). Весом самой нити пренебречь.

    8. Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения.

    Вариант 18

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая вогнута вверх.

    8. Мяч массой 400г падает с высоты 16,7м без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча и равно 0,0048Н при скорости 1м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Принять g = 10м/с 2 .

    Вариант 19

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше нормали.

    8. Балка длины l , встроенная правым концом в стену, изгибается силой р , приложенной к левому концу и равномерно распределенной нагрузкой q. Найти уравнение изогнутой балки и ее максимальный прогиб.

    Вариант 20

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. При каких а и b все решения уравнения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойпри Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой?

    8. Если тело медленно погружается в воду, то его скорость v и ускорение w приближенно связаны уравнением Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой(q и k – const). Установить закон движения тела, если при t = 0, S = 0, v = 0.

    Вариант 21

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорционален длине отрезка нормали. Рассмотреть случаи, когда коэффициент пропорциональности k равен +1 , +2.

    8. Найти скорость, с которой тело падает на поверхность Земли, если считать, что оно падает с бесконечно большой высоты и движение происходит только под влиянием притяжения Земли. Радиус Земли считать равным 6400км.

    Вариант 22

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс.

    8. Материальная точка массы т отталкивается от центра О с силой, пропор-циональной расстоянию. Сопротивление среды пропорционально скорости движения. Найти закон движения.

    Вариант 23

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс в начале координат, если ее кривизна в любой точке равна Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой.

    8. Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости.

    Вариант 24

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорционален кубу нормали.

    8. Балка длины l, лежащая концами на двух опорах, находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q. Найти уравнение прогнутой оси балки и ее максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине нагруженной балки.

    Вариант 25

    1. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    2. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    3. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    4. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    5. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    6. Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямой

    7. Найти кривые, у которых радиус кривизны пропорционален модулю радиус-вектора из начала координат до точки кривой.

    8. Груз массы т покоится на упругой рессоре. На груз действуют восстанав-ливающая сила пропорциональная отклонению Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойжесткость рессоры) и сила сопротивления, направленная в сторону против движения и пропорциональная скорости движения Найти интегральную кривую уравнения касающуюся прямойамортизатор). Записать уравнение движения.

    Список литературы

    1. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. – Физматлит, 2005.

    2. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Издание 3 – URSS: 2009.

    3. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов под редакцией Б.П. Демидовича. – М: «Интеграл – пресс», 1997.

    4. Бабиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М: «Высшая школа», 1991.

    5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: «РХД», 2000.

    6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М:Наука, 1980.

    7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

    🎬 Видео

    18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

    Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

    Составляем уравнение прямой по точкам

    Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривыеСкачать

    Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривые

    Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения I - Уравнения не разрешённые относительно производнойСкачать

    Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения I - Уравнения не разрешённые относительно производной

    2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

    2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

    Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

    Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

    ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

    ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производной

    Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

    Дифференциальные уравнения. 11 класс.

    Семинар 1 изоклиныСкачать

    Семинар 1 изоклины

    1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

    1. Что такое дифференциальное уравнение?

    §31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

    §31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

    Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения - Введение в дифференциальные уравненияСкачать

    Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения - Введение в дифференциальные уравнения

    Построить интегральную кривуюСкачать

    Построить интегральную кривую

    Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

    Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)

    Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

    Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

    Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

    Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

    Мат. анализ. Практика 5.1: изоклины. Филиппов 8, 17, 19, 24, 30Скачать

    Мат. анализ. Практика 5.1: изоклины. Филиппов 8, 17, 19, 24, 30
    Поделиться или сохранить к себе: