Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей
Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения
Кудрявцева Татьяна Юрьевна, преподаватель
ФГБОУ ВО «ХГУ им. Н.Ф. Катанова
Институт непрерывного педагогического образования,
Колледж педагогического образования, информатики и права
Использование свойств четности функции при решении задач с параметром
В данной статье рассмотрен один из способов решения уравнений с параметрами, основанный на использовании свойств четных функций. Параметрические уравнения являются одним из наиболее сложных заданий ЕГЭ профильного уровня. Описанный способ решения является наименее затратным по времени и оптимальным при решении уравнений, левая часть которых является четной функцией.
Функция y = f ( x ) называется четной, если она удовлетворяет условиям:
1) ее область определения симметрична относительно начала координат,
График четной функции симметричен относительно оси ОУ, значит, точки пересечения с осью ОХ симметричны относительно нуля. Если х= а является корнем уравнения f ( x )=0, то и х= —а корень уравнения. Следовательно, уравнение f ( x ) имеет четное число корней, если х=0 не является корнем уравнения и нечетное число корней, только если одним из них является х=0. Это свойство можно использовать при решении задач с параметрами, которые встречаются в ЕГЭ профильного уровня.
Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
Рассмотрим функцию 
. Ее областью определения является промежуток (-∞; +∞). Найдем f (- x )
значит, функция f ( x ) четная, следовательно, нечетное число корней уравнение f ( x )=0 может иметь только если х=0 является корнем уравнения. При подстановке значения х=0 в уравнение, получим уравнение, 
которое имеет корни a = ±2.
Найдем корни уравнения при a = ±2.
Уравнение 
не имеет действительных корней, так как 
. Значит, решением уравнения является корень уравнения 
.
Ответ: При a = ±2 уравнение имеет единственное решение.
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно три решения.
Рассмотрим функцию 
.
Эта функция определена для всех значений переменной х. Найдем f (- x ).
Значит, функция является четной и уравнение f ( x )=0 имеет нечетное число корней, только если х=0 является его корнем.
При х=0 уравнение запишется в виде 
. Найдем его решение.
Найдем решение уравнения при а= -3
Значит, при а= -3 уравнение имеет три решения.
Найдем решение уравнения при а= -1
Рассмотрим три случая
1) если 
, значит, уравнение не имеет действительных корней.
3) если 
, значит, уравнение не имеет действительных корней.
Значит, при а= -1 уравнение имеет единственное решение х=0.
Найдем решение уравнения при а=-5
Это уравнение было рассмотрено выше, и оно имеет единственное решение.
Ответ: При а= -3 уравнение имеет три решения.
При каких значениях параметра а уравнение 
имеет ровно три различных решения.
Рассмотрим функцию 
. Эта функция определена на множестве действительных чисел. 
, то есть функция является четной. Следовательно, уравнение имеет нечетное число корней, только если х=0 является его корнем. Найдем значения параметра а, при котором х=0 является корнем уравнения.
Найдем решение уравнения при а=1.
Значит, при а=1 уравнение имеет единственное решение.
Найдем решение уравнения при а=-1.
Значит, при а= -1 уравнение имеет единственное решение.
Найдем решение уравнения, при а=2.
Значит, при а= 2, уравнение имеет три корня.
Найдем решение уравнения, при а= -4.
Значит, при а= -4, уравнение имеет три корня.
Ответ: при а=2 и а=-4 уравнение имеет три корня.
Решение №2306 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x^2–a^2|=|x+a|*√(x^2-4ax+5a) имеет ровно один корень.
Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.2 / 5. Количество оценок: 37
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время
В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x−4ax+4+x−1x−a=1 имеет единственный корень
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $ / + / =1$ имеет единственный корень.
Преобразуем данное уравнение.
Решим уравнение $x^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0$.
1. При $D 0$ уравнение имеет два корня.
Проверим при каких значениях $a$ значения $x = -4$ и $x = a$ являются корнями уравнения $x^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0$.
При $x = -4$ должно выполняться равенство $16 + 4(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0, a^2 + 5a + 4 = 0, a = -4, a = -1$.
При $x = a$ должно выполняться равенство $a^2 — 4a^2 — a + 4a^2 + 4a — 4 = 0, a^2 + 3a — 4 = 0, a = 1, a = -4$.
При $a = -1, a = 1$ исходное уравнение имеет единственный корень.
При $а=-4$, $D>0$ и корни $х=-4$ и $х=а$ совпадают, поэтому это значение параметра также подходит
Ответ: -4$;$-1$;$1$;$2.125