Видео:Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать
Математика, 9 класс
Видео:Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать
, ДВГГУ
Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать
Решение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач.
Алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, имеющее более одного неизвестного, когда стоит задача найти его целые или рациональные решения называется неопределенным или диофантовым, по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался проблемой решения таких уравнений. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н. э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку: «Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».
Цель настоящей статьи рассмотреть методы решения некоторых диофантовых уравнений. Многие из этих методов предполагают применение некоторых понятий и алгоритмов теории делимости, в связи с этим, напомним их.
Определение 1. Наибольшим общим делителем (НОД) целых чисел a1, a2,…, an называется такой их положительный общий делитель, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.
Теорема 2. Если 
, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство 
.
Замечание. Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением НОД через эти числа.
Определение 3. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД этих чисел равен 1.
Теорема 4. (теорема о делении с остатком) Для любого целого а и целого 
существуют и единственные целые q и r, такие что 
.
Замечание. Если 
то q называется неполным частным, а r – остатком от деления a на b. В частности, если 
, то 
и 
делится на 
.
Из теоремы 4 следует, что при фиксированном целом m > 0 любое целое число а можно представить в одном из следующих видов:
При этом если 
то будем иметь 
, если 
и
, если 
.
На следующей теореме основан способ нахождения наибольшего общего делителя целых чисел.
Теорема 5. Пусть a и b – два целых числа, 
0 и 
, 
тогда 
.
Этот способ называется алгоритмом Евклида. Задача нахождения НОД чисел a и b сводится к более простой задаче нахождения НОД b и r, 
. Если r = 0, то 
. Если же 
, то рассуждения повторяем, отправляясь от b и r. В результате получаем цепочку равенств:
, 
,
, 
,
, 
, ……………………(**)
, 
,
.
Мы получим убывающую последовательность натуральных чисел
которая не может быть бесконечной. Поэтому существует остаток, равный нулю: пусть 
. На основании теоремы 10 из (**) следует, что 
.
1. Решение неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах
Рассмотрим два метода решения диофантовых уравнений первой степени от двух переменных.
Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретного уравнения. Шаги алгоритма, которые необходимо применять при решении любого такого уравнения выделим курсивом.
Пример 1. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.
1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выразим его через другое неизвестное: 
.
2. Выделим целую часть: 
. Очевидно, что х будет целым, если выражение 
окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3y без остатка делится на 5.
3. Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.
4. Решаем его уже относительно переменной y, рассуждая точно также как в п.1, 2: 
. Выделяя целую часть, получим:
5. Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u = 1 – 2z.
6. Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: 
= 
. Требуя, чтобы 
было целым, получим: 1 – u = 2v, откуда u = 1 – 2v. Дробей больше нет, спуск закончен (процесс продолжаем до тез пор, пока в выражении для очередной переменной не останется дробей).
7. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:
z = = 
= 3v – 1; = 
3 – 5v.
= 
= 3+8v.
8. Формулы x = 3+8v и y = 3 – 5v, где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.
Замечание. Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.
Это уравнение и любое другое линейное уравнение с двумя неизвестными может быть решено и другим методом, с использованием алгоритма Евклида, более того можно доказать, что уравнение, рассмотренное выше всегда имеет единственное решение. Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.
Теорема 1.1. Если в уравнении 
, 
, то уравнение имеет, по крайней, мере одно решение.
Теорема 2.2. Если в уравнении 
, 
и с не делится на 
, то уравнение целых решений не имеет.
Теорема 3.3. Если в уравнении , и 
, то оно равносильно уравнению 
, в котором 
.
Теорема 4.4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: 
где х0, у0 – целое решение уравнения , 
— любое целое число.
Как уже отмечалось выше, сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .
1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b,
если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;
если и , то
2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .
3. Найти целое решение (х0, у0) уравнения 
путем представления 1 как линейной комбинации чисел 
и 
;
4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения
где х0, у0 – целое решение уравнения , — любое целое число.
Пример 2. Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.
Воспользуемся составленным алгоритмом.
1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:
2816 = 407·6 + 374;
33 = 11·3. Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11
2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1
3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.
Выразим 1 из последнего равенства, затем, последовательно поднимаясь по цепочке равенств, будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.
1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =
– 83·37 – 256·(–12). Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.
4. Запишем общие формулы решений первоначального уравнения
где t — любое целое число.
Замечание. Можно доказать, что если пара (х1,y1) — целое решение уравнения , где , то все целые решения этого уравнения находятся по формулам: 
.
2. Методы решения некоторых нелинейных диофантовых уравнений
Общие подходы к решению нелинейных диофантовых уравнений достаточно сложны и предполагают серьезную подготовку по теории чисел. Мы рассмотрим здесь некоторые уравнения и элементарные методы их решения.
Метод разложения на множители
Первоначальное уравнение путем группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения. Проводится исследование, в котором каждый сомножитель, стоящий в правой части уравнения приравнивается к соответствующему делителю числа, стоящего в правой части уравнения.
Пример 3. Решить уравнение в целых числах y3 — x3 = 91.
Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:
2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число
следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:
; 
; 
; 
4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.
Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Пример 4. Решить в целых числах уравнение x + y = xy.
Решение. 1) Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1): x + y – xy – 1 = – 1
Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: (x — 1)(y — 1) = 1
2) Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1).
3) Записав соответствующие системы уравнений и решив их, получим решение исходного уравнения. Ответ: (0,0) и (2,2).
Пример 5. Доказать, что уравнение (x — y)3 + (y — z)3 + (z — x)3 = 30 не имеет решений в целых числах.
Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:
2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Метод испытания остатков
Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число.
Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.
Пример 6. Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y.
Решение. 1) Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.
2) Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.
По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.
Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.
Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.
Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.
Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, притом, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.
Пример 7. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0.
Решение. 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).
2) Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду
Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т. е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y³ + 9z³, откуда
следовательно, y³ делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m³ + 3z³, откуда
В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3.
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.
Контрольное задание №1
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием №1 для учащихся 9 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 8, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 15 баллов (каждая правильно решенная задача оценивается в 3 балла).
М.9.1.1. Решив задачу, помещенную вначале статьи, определить сколько лет прожил Диофант.
М.9.1.2. Решить уравнения в целых числах
М.9.1.3. Найдите день моего рождения, если сумма чисел равных произведению даты рождения на 12 и номера месяца рождения на 31 равна 380.
М.9.1.4. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см, так чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?
М.9.1.5. Решить уравнения в целых числах
М.9.1.6. Докажите, что уравнение x2 – y2 = 30 не имеет решений в целых числах.
М.9.1.7. Существуют ли целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению m2 + 1994 = n2
1. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972.
2. Фоминых, Ю. Ф. Диофантовы уравнения //Математика в шк. – 1996. — №6.
3. Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией – М.: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.
4. Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад. – М., 1975.
5. Васильев, Н. Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998.
6. Курляндчик, Л. Метод бесконечного спуска // Приложение к журналу «Квант». 1999. – №3.
7. Яковлев, Г. Н. Всесоюзные математические олимпиады школьников. М., 1992.
8. Серпинский, В. О решении уравнений в целых числах. – М, 1961.
9. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1975.
Видео:Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать
Найдите все решения уравнения 26x 39y 91 в целых числах
А) Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.
Б) Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.
В) Может ли разность каких‐либо N − х (N > 3) степеней двух целых чисел равняться 91?
а) Требуется решить в целых числах уравнение 
Перепишем его в виде: 
Заметим, что 91 можно разложить на множители восемью способами: 
Получаем восемь различных пар (x;y): (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3).
б) Требуется решить в целых числах уравнение 
Перепишем его в виде: 
Аналогично пункту а), получаем 8 систем: 
и еще 7 аналогичных систем. Решая их в целых числах, получаем четыре пары (x,y): (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4).
в) Будем искать только неотрицательные решения 
(1), поскольку:
— если n-четно, то пара (|x|,|y|) — тоже решение (1)
— если x 1, так как уравнения 
не имеют целочисленных решений при n>1. Так же 
поэтому 
Сначала разберем случай n=4.
Учитывая, что 
то возможен только один вариант разложения числа 91 на три различных множителя: 
Легко убедиться, что в этом случае решений в целых числах нет.
Пусть n>4, тогда: 
Функция 
где 
является возрастающей, так как после раскрытия скобок останется сумма возрастающих функций. Тогда, с учетом того, что 
имеем: 
Таким образом, , при 
решений нет
Ответ: а) (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3). б) (6,5); (-5,-6); (4,-3); (3,-4). в) не может.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); Видео:Решите уравнение в целых числах: y²+1=2^x ➜ Как решать диофантовы уравненияСкачать  Как решить в целых числах уравнение по математикеПрименение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Целые уравнения представляют собой уравнения, у которых в левой и правой части выражения целого типа. Данного рода уравнения являются одними из самых простых, поскольку решаются одним способом. Пример уравнения данного вида — [2x + 16= 8x — 4]. Приведенный пример решается довольно просто, поскольку все, что необходимо сделать для его решения — перенести числа из одной части в другую. Выполнив эти простые действия, у вас должно получиться уравнение, где в одной части находятся все переменные, а в другой — все числа. Однако выполнять перенос необходимо с учетом правила — переносить числа с [div] и [cdot ] нельзя, если же вы переносите числа с «+/-«, то после переноса вы меняете знак на противоположный. Вернувшись к нашему примеру и придерживаясь вышеописанных правил, решение данного управления сводится к следующему: До переноса: [-2x + 16 = 8x — 4] После переноса: [-6x = -20] Далее производим деление правой стороны на левую и получаем следующий результат: [x = sim 3.3] Приведенный выше пример относится к базовому уровню, однако в уравнения данного типа входят и другие уравнения, сложность которых намного выше, например, квадратные, биквадратные, линейные уравнения. Видео:Решите уравнение в целых числах ★ √x+√y=√50 ★ Как решать диофантовы уравнения?Скачать  Где можно решить целое уравнение онлайн?Решить в целых числах уравнение онлайн любого вида вы можете с помощью нашего сайта https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам. Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды. Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь! 🎦 ВидеоАлгебра 10 класс (Урок№9 - Решение уравнений в целых числах.)Скачать  Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать  Решите уравнение ➜ 3^x+27^x=10Скачать  УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степениСкачать  Метод неопределенных коэффициентовСкачать  Математика 2 класс (Урок№26 - Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа.)Скачать  Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать  ЭТОТ метод поможет на уроках ХИМИИ / Химия 9 классСкачать  Математика 4 класс (Урок№27 - Решение уравнений вида:х ∙ 8 = 26+70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46–30.)Скачать  6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать  Арккосинус. Решение уравнения cos t = а | Алгебра 10 класс #26 | ИнфоурокСкачать  Метод неопределенных коэффициентов. 10 класс.Скачать  Найдите cos9°Скачать  Как решать такие уравнения 2^x+4^x+8^x=39Скачать  |
