Найдите все пары чисел m и n для которых уравнение

Найдите все пары натуральных чисел, являющихся решениями уравнения

3 n − 2 m = 1.

Решение:

1 способ.

При n = 1 и m = 1, при n = 2 и m = 3 это равенство верно, других решений при n = 1 и n = 2 нет.

Предположим, что найдётся такое натуральное число n ≥ 3, что справедливо равенство 3 n − 1 = 2 m . Тогда 2 m делится на 8.

Так как при делении на 8 числа 3 n остатки равны 3, 1, 3, 1, . а числа 3 n − 1 — равны 2, 0, 2, 0, . то 3 n − 1 делится на 8 только при чётных n. Обозначим n = 2k, где k — натуральное число. Тогда равенство 3 n − 1 = 2 m можно записать так:

(3 k − 1)(3 k + 1) = 2 m ,

откуда следует, что каждый из множителей (3 k − 1) и (3 k + 1) является степенью числа 2, т.е.

где p и q натуральные числа, p > q. Вычитая из первого равенства второе, получим, что

2 = 2 q · (2 p − q − 1),

а это равенство справедливо лишь при p = 2 и q = 1 (с увеличением q число 2 q будет больше 2, а наименьшее значение второго множителя 1). Тогда k = 1, n = 2. Мы получили противоречие с условием n > 3, следовательно, других значений n не существует.

2 способ.

Предположим, что найдётся такое чётное натуральное число n = 2k, что справедливо равенство

Тогда справедливо равенство

(3 k − 1)(3 k + 1) = 2 m .

Множители в левой части этого равенства отличаются на 2 и являются степенями двойки:

3 k − 1 = 2 p , 3 k + 1 = 2 p + 2.

2 p + 1 (2 p − 1 + 1) = 2 m

справедливо лишь при р = 1, тогда m = 3 и n = 2 отвечают условиям задачи, а при р > 1 второй множитель — нечётное число, поэтому равенство неверно.

Так как m = n = 1 отвечают условиям задачи, то предположим, что найдётся другое нечётное натуральное число

для которого справедливо равенство

3 2k + 1 − 2 m = 1.

Тогда справедливо равенство

3 2k + 1 − 3 = 2 m − 2

3(3 k − 1)(3 k + 1) = 2(2 m − 1 − 1).

В левой части этого равенства есть два чётных множителя, т.е. левая часть равенства делится на 4, а правая часть равенства делится на 2, но не делится на 4, так как второй множитель — нечётное число при любом m > 1 (при m = 1 равенство неверно).

Следовательно, для нечётных n > 1 исходное равенство неверно.

Ответ: n = 1, m = 1 и n = 2 и m = 3.

Видео:Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых нужен репетитор математика ЕГЭСкачать

Задача 52797 найдите все пары целых неотрицательных.

Условие

найдите все пары целых неотрицательных чисел (m;n), которые являются решениями уравнения 2m^2+3m=2nm+n+41.
Пожалуйста, решите всё чётко и подробно.

Решение

Это задание на решение уравнений в целых числах.
Для решения нужно представить левую часть в виде произведения выражений, правую — в виде произведения чисел.

Прибавляем 1 слева и справа:

Вот и представили левую часть в виде произведения выражений, правую — в виде произведения чисел.
(m-n+1)*(2m+1)=2*3*7

Видео:202 Алгебра 8 класс Найдите все пары целых чисел удовлетворяющие уравниниюСкачать

Найдите все такие пары натуральных чисел m и n, чтобы было выполнено равенство 3 ^ m + 112 = n ^ 2?

Алгебра | 10 — 11 классы

Найдите все такие пары натуральных чисел m и n, чтобы было выполнено равенство 3 ^ m + 112 = n ^ 2.

Перепишем уравнение $3^m — 3^2 = (n-11)(n+11)$

$9*(3^-1) = (n-11)(n+11) \ m textgreater 2$

Сделаем замену $(n-11)(n+11) = x*(9x+22)$ , потому что число слева делится нацело на число$9$

Теперь так как квадратное уравнение

$9x^2+22x+1 = f(x) \ 9 textgreater 0 \$

а показательное функция имеет вид одной ветви гиперболы , то функция имеет максимально две точки пересечение

Значит наше уравнение имеет максимум два решения , очевидно это $n=11;29 \ m=2;6$.

Видео:202 Алгебра 8 класс, Найдите все пары целых чисел удовлетворяющие уравнениюСкачать

Известно что для чисел c и d выполнено равенствоНайдите значение выражения?

Известно что для чисел c и d выполнено равенство

Найдите значение выражения.

Видео:Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3n − 2m = 1Скачать

Найдите все пары натуральных чисел (х, у), удовлетворяющих равенству 1 / х + 1 / у = 7 / 13?

Найдите все пары натуральных чисел (х, у), удовлетворяющих равенству 1 / х + 1 / у = 7 / 13.

Видео:Найдите все пары натуральных чисел x y удовлетворяющих равенству xy 38x + 38yСкачать

Существуют ли 2 таких последовательных натуральных числа , что сумма цифр каждого из них делится на 49?

Существуют ли 2 таких последовательных натуральных числа , что сумма цифр каждого из них делится на 49?

Если да, то найдите наименьшую пару таких чисел.

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Найдите все пары натуральных чисел х, у таких, что 2х + 1 делится на у и 2у + 1 делится на х?

Найдите все пары натуральных чисел х, у таких, что 2х + 1 делится на у и 2у + 1 делится на х.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а для всех других пар чисел такого свойства не было?

Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а для всех других пар чисел такого свойства не было?

Видео:Найти все пары целых чисел для которых верны неравенстваСкачать

ПОЖАЛУЙСТА?

Найдите все пары натуральных чисел удовлетворяющих уравнению xy — 2x — y = 11.

Видео:✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков | Ботай со мной #034 | Борис ТрушинСкачать

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x2 — y2 = 69?

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x2 — y2 = 69.

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решением уравнения x * y = 8?

Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решением уравнения x * y = 8.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Пожаалуйста, очень срочно нужно?

Пожаалуйста, очень срочно нужно!

X ^ 2 — 8x + y ^ 2 + 2y = — 7

найти все пары натуральных чисел х и у такие, что верно данное равенство.

В ответе указать сумму всех таких чисел.

Видео:ЕГЭ математика С6. Пары натуральных чиселСкачать

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнениюxy + 3x = y + 8?

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Найдите все такие пары натуральных чисел m и n, чтобы было выполнено равенство 3 ^ m + 112 = n ^ 2?, относящийся к категории Алгебра. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Составим пропорцию 4500 — 100 х — 30 х = 4500 * 30 / 100 = 1350 руб на сколько изменилась цена 4500 — 1350 = 3150 руб это цена после понижения на 30 процентов 3150 — 100 х — 40 х = 3150 * 40 / 100 = 1260 руб на сколько изменилась цена 3150 + 1260 = 4..

4500 / 100% = 45(руб) цена 1% 45 * (100% — 30%) = 3150(руб) цена во время распродажи 3150 * 1. 4 = 4410(руб) цена после распродажи.

6 / 10÷6 / 5 = 6 / 10 * 5 / 6 = 30 / 60 = 0, 5.

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 45° + 21° = 66°.

1)∠АОС = ∠АОВ + ∠ВОС = 21° + 45° = 66° 3) ∠DВС = 26° + ∠АВД ∠АВС = ∠АВД + ∠ДВС = 72° ∠АВД + 26° + ∠АВД = 72° 2 ∠АВД = 72° — 26° 2 ∠АВД = 46° ∠АВД = 46° / 2 = 23° ∠DВС = 26° + 23° = 49° 4) ∠АВД = ∠АВС + ∠СВД = 100° ∠СВД = 4∠АВС ∠АВС + 4∠АВС = 100° 5∠А..

Закачай приложение и вычисляй.

Приведем к общему знаменателю, здесь это 180 30 * 6 = 180 36 * 5 = 180 .

— 19 — 2х — 7х + 11 = 25 — 19 — 5х + 11 = 25 — 8 — 5х = 25 — 5х = 25 + 8 — 5х = 33 5х = — 33 х = 6, 6 удачи я старался.

— 19 — 2x — 7x + 11 = 25 ; — 2x — 7x = 25 — 11 + 19 ; — 9x = 33 ; x = 33 / ( — 9) = — 11 / 3 = — 2 2 / 3. Ответ : x = — 2 2 / 3.

Видео:ЕГЭ математика С6.Пары натуральных чисел. Видео урок.Скачать

Математика

от садика до вуза

Home » ЕГЭ » Решение задач C6 (Часть 4. Показательные уравнения)

Страницы

Подборка задач

Количество рукопожатий

Числа Фибоначчи

Подборка занимательных математических задач для 5-6 класса

Реклама

Последние комментарии

• Ваня на Русский крестьянский способ умножения
• Григорий Петрович на Онлайн тесты ОГЭ (ГИА-9) и ЕГЭ
• Григорий Петрович на Значения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов
• Григорий Петрович на Ковбой Джон попадает в муху…
• mathi на Ответы на веселые задачи

Видео:9 класс, 26 урок, Комбинаторные задачиСкачать

Решение задач C6 (Часть 4. Показательные уравнения)

7. Показательные уравнения

7.1. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения
2 m − 3 n = 1.
Решение. При любом k число 3 2k +1 при делении на 8 дает остаток 3, а число 3 2k+1 +1 при делении на 8 дает остаток 4. Так как при m ≥ 3 число 2 m делится на 8 без остатка, то равенство
3 n +1 = 2 m возможно при m = 1 или m = 2. Если m = 1, то получаем n = 0. Если m = 2 , то получаем n = 1.
Ответ: m = 2 , n = 1.

7.2. Решите в натуральных числах уравнение 2 x −15 = y 2 .
Решение. Рассмотрим два случая.
1) x = 2k +1 (х – нечетное число). Поскольку 22 при делении на 3 дает в остатке 1, то и
2 2k = (2 2 ) k дает в остатке 1, а 2 2k +1 = 2 ⋅ 2 2k дает в остатке 2. Число 15 делится на 3, следовательно, левая часть уравнения при делении на 3 дает в остатке 2. Правая часть (квадрат числа) дает при делении на 3 в остатке 0 или 1 (докажите). Таким образом, равенство невозможно (левая и
правая части дают при делении на 3 разные остатки).
2) x = 2k. Тогда 2 2k − y 2 = 15, откуда
(2 k − y)(2 k + y)= 15. Оба множителя слева целые и положительные (так как второй множитель положителен), второй больше первого. Возможны два варианта:
i) 2 k -y=1; 2 k +y=15
ii) 2 k -y=3; 2 k +y=5
Разрешая эти системы, получаем ответ.
Ответ: (4;1); (6;7).

7.3. Решите уравнение 3 m + 4 n = 5 k в натуральных числах.
Решение. Правая часть уравнения при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, т.е. 1 (см. теорему ниже). Поэтому k четное число (см. модельную задачу ниже). Аналогично, левая часть уравнения делится на 4 с остатком 1, поэтому число m тоже четное. Итак,
4 n = 5 k − 3 m = 5 2k₀ − 3 2m₀ , т.е. 2 2n = (5 k₀ − 3 m₀ )(5 k₀ + 3m0). Поэтому
5 k₀ − 3 m₀ = 2 p и 5 k₀ + 3 m₀ = 2 q , где p и q – целые неотрицательные числа
p + q = 2n. Таким образом 5 k₀ =1/2( 2 p +2 q ) и
3 m₀ = 1/2(2 q −2 p ) = 2 q−1 −2 p−1 . Значит, число
2 q−1 − 2 p−1 нечетно, поэтому p = 1. Значит,
2 p = 2 и 3 m₀ = 2 q−1 −1. Следовательно, число
q −1 четно, q −1 = 2s (иначе левая часть не делится на 3). Тогда
3 m₀ = (2 s −1)(2 s +1) – произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющиеся степенями тройки. Ясно, что эти множители равны 1 и 3. Тогда
s = 1, l = 2s +1 = 3. Теперь получаем m = n = k = 2 .
Ответ: m = n = k = 2 .

Теорема. Если остаток от деления a₁ на b равен r₁ , а остаток от деления a₂ на b равен r₂ , то остаток от деления a₁ + a₂ на b равен остатку от деления r₁ + r₂ на b.
Модельная задача. Докажите, что остаток от деления на 3 числа 5 k равен 1, если k четно, и 2, если k нечетно.

Связанные статьи

Рекомендую прочесть статьи, связанные с данной:

📽️ Видео

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать

Наименьшее общее кратное. 5 класс.Скачать