Найдите все корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Найдите все корни уравнения и изобразите их на комплексной плоскости

. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Видео:Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Задача 60727 Дано комплексное число a . Требуется: 1).

Условие

Дано комплексное число a . Требуется: 1) записать
число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни
уравнения z^(3) + a= 0 и изобразить их на комплексной плоскости
a=(2sqrt(2))/(1-i)

Решение

Умножаем и числитель и знаменатель на[m] (1+i)[/m]

[m]a=2cdot (cosfrac+icdot sin frac)[/m] — тригонометрическая форма

Извлекаем кубический корень из числа (-а).

Для этого применяем формулу Муавра.

Представляем число ( -a) в тригонометрической форме:

Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (-π/4)

Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (-π/4)+(2π/3)=5π/12

Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (5π/12)+(2π/3)=13π/12

Три точки делят окружность 360 ° на [b]три[/b] равные части ( потому что корень третьей степени)

по 120 ° между ними .

🎥 Видео

Извлечение корня из комплексного числаСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Решение, найти корни уравнения z^4 +81=0 и изобразить их на комплексной плоскости, пример 10Скачать

Решение уравнений на комплексной плоскостиСкачать

11 класс, 10 урок, Извлечение корней из комплексных чиселСкачать

Решение, найти корни уравнения z^4 +16=0 и изобразить их на комплексной плоскости, пример 6Скачать

Решение, найти и изобразить на комплексной плоскости корни уравнения z^2+9=0. пример 12Скачать

ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числаСкачать

Линии и области на комплексной плоскостиСкачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Построение областей по заданным условиямСкачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать