. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Видео:Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать
Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать
Задача 60727 Дано комплексное число a . Требуется: 1).
Условие
Дано комплексное число a . Требуется: 1) записать
число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни
уравнения z^(3) + a= 0 и изобразить их на комплексной плоскости
a=(2sqrt(2))/(1-i)
Решение
Умножаем и числитель и знаменатель на[m] (1+i)[/m]
[m]a=2cdot (cosfrac+icdot sin frac)[/m] — тригонометрическая форма
Извлекаем кубический корень из числа (-а).
Для этого применяем формулу Муавра.
Представляем число ( -a) в тригонометрической форме:
Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (-π/4)
Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (-π/4)+(2π/3)=5π/12
Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (5π/12)+(2π/3)=13π/12
Три точки делят окружность 360 ° на [b]три[/b] равные части ( потому что корень третьей степени)
по 120 ° между ними . 
💡 Видео
Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать
Комплексные корни квадратного уравненияСкачать
Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Извлечение корня из комплексного числаСкачать
Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать
Решение уравнений на комплексной плоскостиСкачать
11 класс, 10 урок, Извлечение корней из комплексных чиселСкачать
Решение, найти корни уравнения z^4 +81=0 и изобразить их на комплексной плоскости, пример 10Скачать
Решение, найти и изобразить на комплексной плоскости корни уравнения z^2+9=0. пример 12Скачать
Решение, найти корни уравнения z^4 +16=0 и изобразить их на комплексной плоскости, пример 6Скачать
Построение областей по заданным условиямСкачать
Линии и области на комплексной плоскостиСкачать
Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числаСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
