. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать
Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать
Задача 60727 Дано комплексное число a . Требуется: 1).
Условие
Дано комплексное число a . Требуется: 1) записать
число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни
уравнения z^(3) + a= 0 и изобразить их на комплексной плоскости
a=(2sqrt(2))/(1-i)
Решение
Умножаем и числитель и знаменатель на[m] (1+i)[/m]
[m]a=2cdot (cosfrac+icdot sin frac)[/m] — тригонометрическая форма
Извлекаем кубический корень из числа (-а).
Для этого применяем формулу Муавра.
Представляем число ( -a) в тригонометрической форме:
Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (-π/4)
Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (-π/4)+(2π/3)=5π/12
Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=sqrt[3] [/m] на луче (5π/12)+(2π/3)=13π/12
Три точки делят окружность 360 ° на [b]три[/b] равные части ( потому что корень третьей степени)
по 120 ° между ними . 
💡 Видео
Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать
Извлечение корня из комплексного числаСкачать
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать
Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
Комплексные корни квадратного уравненияСкачать
Решение, найти корни уравнения z^4 +81=0 и изобразить их на комплексной плоскости, пример 10Скачать
Решение уравнений на комплексной плоскостиСкачать
Решение, найти корни уравнения z^4 +16=0 и изобразить их на комплексной плоскости, пример 6Скачать
Решение, найти и изобразить на комплексной плоскости корни уравнения z^2+9=0. пример 12Скачать
11 класс, 10 урок, Извлечение корней из комплексных чиселСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числаСкачать
Построение областей по заданным условиямСкачать
Линии и области на комплексной плоскостиСкачать
Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
