Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку 3п 2 3п

Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение sin^4(x/4) — cos^4(x/4) = cos(x — П/2)

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3П/2; П].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: R

Для преобразования левой части уравнения воспользуемся

формулой разности квадратов a 2 – b 2 = (a – b)(a + b).

Для преобразования правой части воспользуемся тем, что функция косинус – чётная,

тогда cos(x – П/2) = cos(П/2 – x). Преобразуем cos(π/2 – x), воспользуемся формулами приведения. Так как под знаком преобразуемой функции содержится выражение (π/2 – x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус – на синус.

Так как (π/2 – x) – аргумент из первой четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак плюс. Получим cos(π/2 – x) = sinx.

В первом множителе поменяем местами слагаемые, а для второго множителя воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin 2 x + cos 2 x = 1, получим

Используя формулу косинуса двойного угла cos2α = cos 2 α – sin 2 α

и формулу синуса двойного угла sin2α = 2sinα·cosα, получим

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3П/2; П].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Видео:Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

Задания по теме «Тригонометрические уравнения»

Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Задание №1179

Условие

а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left[ frac2;,3pi right].

Решение

а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x neq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tg x=1, x=fracpi 4+pi n, n in mathbb Z;

2) 1-2 cos x=0, cos x=frac12, x=pm fracpi 3+2pi n, n in mathbb Z.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку left[ frac2;, 3pi right].

Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку 3п 2 3п

x_1=fracpi 4+2pi =frac4,

x_2=fracpi 3+2pi =frac3,

x_3=-fracpi 3+2pi =frac3.

Ответ

а) fracpi 4+pi n, pmfracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;

б) frac3, frac3, frac4.

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

Задание №1178

Условие

а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку left( 0;,frac2right] ;

Решение

а) ОДЗ: begin tgxgeqslant 0\xneq fracpi 2+pi k,k in mathbb Z. end

Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

left[!!begin 2 sin ^2 4x-3 cos 4x=0,\tg x=0. endright.

Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену cos 4x=t, t in [-1; 1]. Тогда sin^24x=1-t^2. Получим:

t_1=frac12, t_2=-2, t_2notin [-1; 1].

4x=pm fracpi 3+2pi n,

x=pm fracpi +frac2, n in mathbb Z.

Решим второе уравнение.

tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.

При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.

Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку 3п 2 3п

Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.

Получим: x=pi k, k in mathbb Z; x=fracpi +pi n, n in mathbb Z; x=frac+pi m, m in mathbb Z.

б) Найдём корни, принадлежащие промежутку left( 0;,frac2right].

Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку 3п 2 3п

Ответ

а) pi k, k in mathbb Z; fracpi +pi n, n in mathbb Z; frac+pi m, m in mathbb Z.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Задание №1177

Условие

а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2fracpi 6=cos ^22x+sin ^2fracpi 3;

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку left( frac2;,frac2right].

Решение

а) Так как sin fracpi 3=cos fracpi 6, то sin ^2fracpi 3=cos ^2fracpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.

Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и

cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид

(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,

(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.

Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:

(cos x)_=frac4=frac4. Поэтому либо cos x=1, либо cos x=-frac12. Если cos x=1, то x=2kpi , k in mathbb Z. Если cos x=-frac12, то x=pm frac3+2spi , s in mathbb Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=frac12. Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=frac12, то x=pm fracpi 3+2npi , n in mathbb Z.

Объединим полученные решения:

x=mpi , m in mathbb Z; x=pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.

Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку 3п 2 3п

Получим: x_1 =frac3, x_2=4pi , x_3 =frac3.

Ответ

а) mpi, m in mathbb Z; pm fracpi 3 +spi , s in mathbb Z;

б) frac3, 4pi , frac3.

Видео:ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАНИЕ-12Скачать

ЕГЭ-ПРОФИЛЬ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАНИЕ-12

Задание №1176

Условие

а) Решите уравнение 10cos ^2frac x2=frac<11+5ctgleft( dfrac2-xright) >.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу left( -2pi ; -frac2right).

Решение

а) 1. Согласно формуле приведения, ctgleft( frac2-xright) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что cos x neq 0 и tg x neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 cos ^2 frac x2=1+cos x. Получим уравнение: 5(1+cos x) =frac.

Заметим, что frac= frac= 5+frac, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 cos x=5 +frac. Отсюда cos x =frac, cos x+sin x =frac65.

2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(fracpi 2-xright), cos x+sin x= cos x+cos left(fracpi 2-xright)= 2cos fracpi 4cos left(x-fracpi 4right)= sqrt 2cos left( x-fracpi 4right) = frac65.

Отсюда cos left(x-fracpi 4right) =frac5. Значит, x-fracpi 4= arccos frac5+2pi k, k in mathbb Z,

или x-fracpi 4= -arccos frac5+2pi t, t in mathbb Z.

Поэтому x=fracpi 4+arccos frac5+2pi k,k in mathbb Z,

или x =fracpi 4-arccos frac5+2pi t,t in mathbb Z.

Найденные значения x принадлежат области определения.

б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=fracpi 4+arccos frac5 и b=fracpi 4-arccos frac5.

1. Докажем вспомогательное неравенство:

Заметим также, что left( frac5right) ^2=frac значит frac5

2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:

Отсюда fracpi 4+0

Аналогично, -fracpi 4

0=fracpi 4-fracpi 4 fracpi 4

При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.

Bigg( a-2pi =-frac74pi +arccos frac5,, b-2pi =-frac74pi -arccos frac5Bigg). При этом -2pi

-2pi Значит, эти корни принадлежат заданному промежутку left( -2pi , -frac2right).

При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.

Действительно, если kgeqslant 1 и tgeqslant 1, то корни больше 2pi. Если kleqslant -2 и tleqslant -2, то корни меньше -frac2.

Ответ

а) fracpi4pm arccosfrac5+2pi k, kinmathbb Z;

б) -frac4pm arccosfrac5.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

Задание №1175

Условие

а) Решите уравнение sin left( fracpi 2+xright) =sin (-2x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; pi ];

Решение

а) Преобразуем уравнение:

cos x+2 sin x cos x=0,

x =fracpi 2+pi n, n in mathbb Z;

x=(-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z.

б) Корни, принадлежащие отрезку [0; pi ], найдём с помощью единичной окружности.

Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку 3п 2 3п

Указанному промежутку принадлежит единственное число fracpi 2.

Ответ

а) fracpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^cdot fracpi 6+pi k, k in mathbb Z;

б) fracpi 2.

Видео:Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежуткуСкачать

Нахождение корней уравнения, принадлежащих промежутку

Задание №1174

Условие

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку left[ -frac; -frac2 right].

Решение

а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x neq -1, cos (pi +x) neq -1; Отсюда ОДЗ: x neq frac pi 2+pi k,

k in mathbb Z, x neq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=frac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.

Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.

Значит, sin x neq 1.

Разделим обе части уравнения на множитель (sin x-1), отличный от нуля. Получим уравнение frac 1=frac 1, или уравнение 1+cos 2x=1+cos (pi +x). Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 cos ^2 x=1-cos x. Это уравнение с помощью замены cos x=t, где -1 leqslant t leqslant 1 сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0, корни которого t_1=-1 и t_2=frac12. Возвращаясь к переменной x , получим cos x = frac12 или cos x=-1, откуда x=frac pi 3+2pi m, m in mathbb Z, x=-frac pi 3+2pi n, n in mathbb Z, x=pi +2pi k, k in mathbb Z.

б) Решим неравенства

1) -frac2 leqslant frac3+2pi m leqslant -frac pi 2 ,

2) -frac2 leqslant -frac pi 3+2pi n leqslant -frac pi

3) -frac2 leqslant pi+2pi k leqslant -frac pi 2 , m, n, k in mathbb Z.

1) -frac2 leqslant frac3+2pi m leqslant -frac pi 2 , -frac32 leqslant frac13+2m leqslant -frac12 -frac6 leqslant 2m leqslant -frac56 , -frac leqslant m leqslant -frac5.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left [-frac;-frac5right] .

2) -frac 2 leqslant -frac3+2pi n leqslant -frac, -frac32 leqslant -frac13 +2n leqslant -frac12 , -frac76 leqslant 2n leqslant -frac1, -frac7 leqslant n leqslant -frac1.

Нет целых чисел, принадлежащих промежутку left[ -frac7 ; -frac1 right].

3) -frac2 leqslant pi +2pi kleqslant -frac2, -frac32 leqslant 1+2kleqslant -frac12, -frac52 leqslant 2k leqslant -frac32, -frac54 leqslant k leqslant -frac34.

Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.

Ответ

а) frac pi 3+2pi m; -frac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;

Видео:N 35 Алгебра 11 класс КолягинСкачать

N 35 Алгебра 11 класс Колягин

Решение №2308 Решите уравнение 2sin^3(π + x) = 1/2cos(x – 3π/2).

а) Решите уравнение 2sin 3 (π + x) = frac cos(x – frac ).
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-frac;-frac] .

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку 3п 2 3п

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 3.7 / 5. Количество оценок: 59

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

📺 Видео

N 36 Алгебра 11 класс Колягин ГДЗ Тригонометрические неравенства КосинусСкачать

N 36 Алгебра 11 класс Колягин ГДЗ Тригонометрические неравенства Косинус

Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 классСкачать

Находим решение тригонометрического уравнения на интервале Алгебра 10 класс

Математика а) Решите уравнение log2 (Cosx+Sin2x+8)=3 б) Найдите все корни этого уравненияСкачать

Математика а) Решите уравнение  log2 (Cosx+Sin2x+8)=3 б) Найдите все корни этого уравнения

Математика а) Решите уравнение 2Sin^2 (3П/2+x)=(3^(1/2)) Cosx б) Найдите все корни этого уравненияСкачать

Математика а) Решите уравнение 2Sin^2 (3П/2+x)=(3^(1/2)) Cosx б) Найдите все корни этого уравнения

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor online

Математика ЕГЭ. C1. Тригонометрические уравнения | Решение задачи № 4Скачать

Математика ЕГЭ. C1. Тригонометрические уравнения | Решение задачи № 4

Математика а) Решите уравнение Cosx+(3)^(1/2) Sin(3П/2-x/2)+1=0 б) Укажите корни этого уравненияСкачать

Математика а) Решите уравнение Cosx+(3)^(1/2) Sin(3П/2-x/2)+1=0 б) Укажите корни этого уравнения

Математика а) Решите уравнение tg(П-x)Cos(3П/2-2x)=Sin(5П/6) б) Укажите корни этого уравненияСкачать

Математика а) Решите уравнение tg(П-x)Cos(3П/2-2x)=Sin(5П/6) б) Укажите корни этого уравнения

а) Решите уравнение sin2x-2sin(-x)-cos(-x)-1=0.б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезкуСкачать

а) Решите уравнение sin2x-2sin(-x)-cos(-x)-1=0.б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

Математика а) Решите уравнение 8(Sinx)^2 +2√3 Cos(3П/2-x)=9. б) Найдите все корни этого уравненияСкачать

Математика а) Решите уравнение 8(Sinx)^2 +2√3 Cos(3П/2-x)=9. б) Найдите все корни этого уравнения

Задание 12 ЕГЭ профиль, номер 20.1 (однородное тригонометрическое уравнение)Скачать

Задание 12 ЕГЭ профиль, номер 20.1 (однородное тригонометрическое уравнение)

Задание №13 из профильного ЕГЭ 2018 года sinx+2sin(2x+π/6)=√3 sin2x+1Скачать

Задание №13 из профильного ЕГЭ 2018 года sinx+2sin(2x+π/6)=√3 sin2x+1
Поделиться или сохранить к себе: