Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
- Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
- Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
- Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
- Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
- Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
- Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
- Наклонные асимптоты графика функции: Да
- Четность и нечетность функции: Да
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Видео:Условный экстремум и функция ЛагранжаСкачать
Экстремумы функции онлайн
Экстремумом функции называется точка минимума или максимума функции. Рассмотрим функцию, график которой приведен на рисунке:
Из графика видно, что точки ( x 1 , y 1 ) , ( x 3 , y 3 ) являются точками максимума функции, точки ( x 2 , y 2 ) , ( x 4 , y 4 ) — точками минимума функции. Вместе эти точки, называются точками экстремума функции.
Характерной особенностью является тот факт, что касательная к функции в точках экстремума параллельна оси абсцисс (геометрический смысл точек экстремума). Отсюда немедленно следует, что производная функции в точках экстремума равна нулю (необходимое условие экстремума). Кроме того, в точках экстремума функция может быть не дифференцируемой.
Иногда, требуется найти минимальное (максимальное) значение функции на некотором интервале [ a , b ] . В этом случае необходимо найти точки экстремума функции принадлежащие этому интервалу, а также проверить значения функции на концах интервала.
Видео:Математика без Ху!ни. Экстремум функции 2х переменных.Скачать
Условные экстремумы и функция Лагранжа
В задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных 
при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением 
. В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.
Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера.
Итак, алгоритм, который разберём на примере самой распространённой задачи — нахождение условного экстремума функции двух переменных..
Шаг 1. Вводится функция Лагранжа
,
где первое слагаемое — сама исходная функция, а второе слагаемое со знаком минус — левая часть уравнения условия связи, умноженная на 
(лямбда) — множитель Лагранжа.
Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных 
, выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии 
, означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.
Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части:
.
Составим функцию Лагранжа:
.
Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума):
Решения этой системы уравнений являются точками возможного условного экстремума — стационарными точками или, как ещё говорят, критическими точками.
Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа:
Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции:
Получили 
и 
. Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку 
.
Шаг 3. Пусть 
является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа
и в полученном выражении подставить вместо «лямбды» её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2.
Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля (
), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (
), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.
Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом).
Решение. Найдём второй дифференциал функции Лагранжа:
В нашем случае, так как первое и третье составляющие равны нулю, нам не придётся подставлять в них значения множителя Лагранжа. Зато нужно найти отношения между дифференциалами dx и dy :
Так как полученные значения — противоположные по знаку, то получаем, что в любом случае 
.
Теперь можем найти значение условного экстремума исходной функции, являющееся максимумом:
.
Это заданная исходной функцией максимальная площадь прямоугольника, который можно ограничить верёвкой, длина которой равна 100.
Пример 2. Найти условные экстремумы функции двух переменных 
при условии 
.
Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:
.
Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:
Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции при двух значениях множителя Лагранжа:
Эти значения икса и игрека являются координатами двух стационарных точек. Таким образом, получили стационарные точки 
.
Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:
:
Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле
:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа 
:
Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точка 
— точка условного максимума:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа 
:
Получили значение, большее нуля, следовательно, точка 
— точка условного минимума:
.
Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.
Пример 3. Найти условные экстремумы функции двух переменных 
при условии 
.
Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:
.
Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:
Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :
Получаем, что 
, однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства 
равен нулю: 
. Отсюда получаем
Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа 
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что 
. Из третьего уравнения системы получаем:
Получили две стационарные точки:
Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа 
. Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что 
.
На основании вычислений двух первых стационарных точек получилаем ещё две стационарные точки:
Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:
:
Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле
:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :
Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точки — точки условного максимума:
.
Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :
Получили значение, большее нуля, следовательно, точки — точки условного минимума:
.
Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.
Аналогичным образом можно находить условные экстремумы функций трёх и более переменных.
📹 Видео
Метод множителей ЛагранжаСкачать
Найти условный экстремум функции двух переменных. Одно уравнение связи.Скачать
Нахождение условного экстремума функции двух переменных. Метод Лагранжа.Скачать
АЛГЕБРА С НУЛЯ — Точки Экстремума ФункцииСкачать
Семинар 3. Условный экстремум.Скачать
Экстремум функции двух переменныхСкачать
Необходимые и достаточные условия экстремума функции. 10 класс.Скачать
Семинар 2. Экстремумы функций многих переменных.Скачать
Условный экстремум - метод множителей Лагранжа (2): пример решения (начало)Скачать
Cимплексный метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать
Найти точки экстремума функцииСкачать
Шишкин А. А. - Математический анализ II - Локальный и условный экстремумы. Метод ЛагранжаСкачать
ПИВНОЙ АНАЛИЗ: Локальный и условный экстремумы функций нескольких переменных.Скачать
Свойства функции. Нули функции, экстремумы. 10 класс.Скачать
Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределённых множителей Лагранжа. 26 лекцияСкачать
Экстремум функции двух/трех переменных, задачиСкачать
Математический анализ, 34 урок, Экстремум функции двух переменныхСкачать
Многомерный анализ 24. Условные экстремумы функций многих переменныхСкачать
