Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

найдите координаты точки пересечения прямых x+3y = 5 и x+7y = 1. Нужен только ответ​

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Для того, чтобы найти координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями x + 5y = -7 и 3x — 4y = -17 составим и решим систему из этих уравнений.

Выразим из первого уравнения переменную x через y.

Подставляем выраженное значение переменной во второе уравнение.

Найдем из второго уравнение переменную y:

-21 — 15y — 4y = -17;

-15y — 4y = -17 + 21;

x = -7 — 5 * 4/19 = -7 — 20/19 = 113/19 = 5 18/19.

Видео:Выделение ФУНКЦИИ из уравнений прямых. Найти точку пересечения прямых, заданных уравнениямиСкачать

Выделение ФУНКЦИИ из уравнений прямых. Найти точку пересечения прямых, заданных уравнениями

Точка пересечения прямых на плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых на плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический», «параметрический» или «общий»), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.

Точка пересечения прямых на плоскости − теория, примеры и решения

  • Содержание
  • 1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.
  • 2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
  • 3. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
  • 4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
  • 5. Примеры нахождения точки пересечения прямых на плоскости.

1. Точка пересечения прямых, заданных в общем виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

L1: A1x+B1y+C1=0,(1)
L2: A2x+B2y+C2=0(2)

Для нахождения точки пересечения прямых (1) и (2) нужно решить систему линейных уравнений (1) и (2) относительно переменных x,y. Для этого запишем систему (1),(2) в матричном виде:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(3)

Построим расширенную матрицу:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(4)

Приведем (4) к верхнему диагональному виду. Пусть A1≠0 . Тогда сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −A2/A1:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(5)
Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Если B’2=0 и С’2=0, то система линейных уравнений имеет множество решений. Следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если B’2=0 и С’2≠0, то система несовместна и, следовательно прямые параллельны и не имеют общей точки. Если же B’2≠0, то система линейных уравнений имеет единственное решение. Из второго уравнения находим y: y=С’2/B’2 и подставляя полученное значение в первое уравнение находим x: x=(−С1B1y)/A1. Получили точку пересечения прямых L1 и L2: M(x, y).

Подробнее о решении систем линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

2. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(6)
Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(7)

Приведем уравнение L1 к общему виду. Сделаем перекрестное умножение в уравнении (6):

p1(xx1)=m1(yy1)

Откроем скобки и сделаем преобразования:

p1xm1yp1x1+m1y1=0
A1x+B1y+C1=0(8)

Аналогичным методом получим общее уравнение прямой (7):

A2x+B2y+C2=0(9)

Терерь можно найти точку пересечения прямых L1 и L2 методом, описанным в параграфе 1.

3. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(10)
Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(11)

Приведем уравнение прямой L1 к каноническому виду. Для этого из уравнений (10) найдем параметр t:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(12)

Из уравнений (12) следует:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Аналогичным образом можно найти каноническое уравнение прямой L2:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Как найти точку пересечения прямых, заданных в каноническом виде описано выше.

4. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

L1: A1x+B1y+C1=0,(13)
Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(14)
A1(x2+mt)+B1(y2+pt)+C1=0,(15)
A1x2+A1mt+B1y2+B1pt+C1=0,
Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(16)

Если числитель и знаменатель в (16) одновременно равны нулю, то любое значение t удовлетворяет уравнению (15), следовательно прямые L1 и L2 совпадают. Если знаменатель равен нулю а числитель отличен от нуля, то прямые L1 и L2 не пересекаются, т.е. они параллельны.

Пусть знаменатель не равен нулю. Подставляя полученное значение t в (14), получим координаты точки пересечения прямых L1 и L2.

5. Примеры нахождения точки пересечения прямых на плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1: 2x+y+4=0,(17)
L2: x−3y+2=0.(18)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (17) и (18). Представим уравнения в матричном виде:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(19)

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y. Для этого воспользуемся методом Гаусса. Получим:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1: 2x+3y+4=0,(20)
Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(21)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (20) и (21). Представим уравнения в матричном виде:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(22)

Для решения (22) воспользуемся методом Гаусса. Получим:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

где λ− произвольное действительное число.

Имеем больше одного решения. Это означает, что прямые L1 и L2 совпадают.

Пример 3. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

L1: −5x+y+9=0,(23)
L2: −10x+2y−3=0,(24)

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (23) и (24). Представим уравнения в матричном виде:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(25)

Применив метод Гаусса получим, что система (25) несовместна. Следовательно эти прямые не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямые L1 и L2 не имеют общую точку, т.е. они параллельны.

Пример 4. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(26)
L2: x+2y−9=0,(27)

Приведем, сначала, уравнение прямой (26) к общему виду:

Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 нужно решить систему линейных уравнений (28) и (27). Представим уравнения в матричном виде:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5(29)

Решим систему линейных уравнений отностительно x, y:

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Видео:16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространстве

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.Образовательный

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k 1 = k 2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Найдите точку пересечения прямых заданных уравнениями x 3y 5

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

💥 Видео

Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ прямых | ТОЧКА пересечения | Линейные функцииСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ прямых | ТОЧКА пересечения | Линейные функции

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 68Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 68

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Найти координаты точки пересечения прямыхСкачать

Найти координаты точки пересечения прямых

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

№975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3x-4y + 12 = 0 с осями координатСкачать

№975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3x-4y + 12 = 0 с осями координат

14. Угол между прямыми в пространствеСкачать

14. Угол между прямыми в пространстве

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.Скачать

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.

Алгебра 7 класс. 12 октября. Находим точку пересечения графиков!Скачать

Алгебра 7 класс. 12 октября. Находим точку пересечения графиков!

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика
Поделиться или сохранить к себе: