Часто требуется найти сумму квадратов (x1 2 +x2 2 ) или сумму кубов (x1 3 +x2 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:
Помочь в этом может теорема Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
Выразим через p и q:
1) сумму квадратов корней уравнения x 2 +px+q=0;
2) сумму кубов корней уравнения x 2 +px+q=0.
Решение.
1) Выражение x1 2 +x2 2 получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;
Видео:Не решая квадратное уравнение, найдите сумму кубов его корнейСкачать
(x1+x2) 2 =(-p) 2 ; раскрываем скобки: x1 2 +2x1x2+ x2 2 =p 2 ; выражаем искомую сумму: x1 2 +x2 2 =p 2 -2x1x2=p 2 -2q. Мы получили полезное равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.
2) Выражение x1 3 +x2 3 представим по формуле суммы кубов в виде:
Еще одно полезное равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q).
Примеры.
3) x 2 -3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения x1 2 +x2 2 .
Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения
x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:
x1 2 +x2 2 =p 2 -2q. У нас -p=x1+x2=3 → p 2 =3 2 =9; q=x1x2=-4. Тогда x1 2 +x2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
4) x 2 -2x-4=0. Вычислить: x1 3 +x2 3 .
Видео:Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравненияСкачать
Решение.
По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
Ответ: x1 3 +x2 3 =32.
Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.
5) 2x 2 -5x-7=0. Не решая, вычислить: x1 2 +x2 2 .
Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x 2 -2,5x-3,5=0.
По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.
Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.
x1 2 +x2 2 =p 2 -2q=2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Ответ: x1 2 +x2 2 =13,25.
Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
6) x 2 -5x-2=0. Найти:
Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x1 2 +x2 2 =p 2 -2q.
В нашем примере x1+x2=-p=5; x1∙x2=q=-2. Подставляем эти значения в полученную формулу:
7) x 2 -13x+36=0. Найти:
Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.
У нас x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:
Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!
💡 Видео
Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
Математика Один из корней уравнения 3x^2 +5x +2m =0 равен -1. Найдите второй корень.Скачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 классСкачать
При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения x² + ax + a - 2 = 0 минимальна?Скачать
Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Найдите корни уравнения: cosπ(x−7)/3=1/2 В ответ запишите наибольший отрицательный корень.Скачать
🔴 Найдите корень уравнения 2+9x=4x+3 | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 7 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 5. Найдите корень уравненияСкачать
САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиетаСкачать
🔴 Найдите корень уравнения (x-8)^2=(x-2)^2 | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 7 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
#67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!Скачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
