Найдите координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы y 2 12x (5 видео)

Содержание

Задача 31453 Пожалуйста помогите 1)определить.
Условие
Решение
Найдите координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы y 2 12x
Глава 20. Парабола
Практическая работа по высшей математике на тему: «Парабола. Решение задач»
Тема: «Кривые второго порядка. Парабола»
Парабола, заданная квадратичной функцией
Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:
Общее уравнение параболы
В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:
Краткое описание документа:
🎥 Видео

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Задача 31453 Пожалуйста помогите 1)определить.

Условие

Пожалуйста помогите
1)определить величину параметра расположение относительно координатных оси следующих парабол: y^2=6x x^2=5y

2)найти фокус и уравнение директрисы параболы y^2=24x

Решение

Канонические уравнения параболы:
x^2=2py cимметрична относительно оси Оу, ветви направлены в сторону оси Оу
Фокус F(0;p/2)
Уравнение директрисы:
y=-p/2

x^2=-2py cимметрична относительно оси Оу, ветви направлены в сторону противоположную оси Оу
Фокус F(0;-p/2)
Уравнение директрисы:
y= p/2

y^2=2px cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону оси Ох
Фокус F(p/2;0)
Уравнение директрисы:
x=-p/2

y^2=-2px cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону противоположную оси Ох
Фокус F(-p/2;0)
Уравнение директрисы:
x=p/2

[b]Решение[/b]:
1) y^2=6x ⇒ 2p=6;
p=3
cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону оси Ох

x^2=5y 2p=5 ⇒ 2p=5;
p=2,5
cимметрична относительно оси Оу, ветви направлены в сторону оси Оу

2)
y^2=24x ⇒ 2p=24;
p=12
cимметрична относительно оси Ох, ветви направлены в сторону оси Ох

Фокус F(12;0)
Уравнение директрисы:
x=-12

см. рис.3

Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

Найдите координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы y 2 12x

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

Видео:Фокус и директриса параболы 1Скачать

Практическая работа по высшей математике на тему: «Парабола. Решение задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Дисциплина – «Элементы высшей математики»

Видео:Фокус и директриса параболы 2Скачать

Тема: «Кривые второго порядка. Парабола»

Цель: формирование умений составлять уравнения параболы, исследовать форму и расположение параболы;

формирование общих компетенций, включающими в себя способность:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Парабола — геометрическое место точек , равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой , парабола является коническим сечением . Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом .

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

(или , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

где — дискриминант квадратного трёхчлена.

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант равен нулю.

Пример 1. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением .

Решение. Из данного канонического уравнения параболы следует, что , т.е. ,откуда .Значит, точка — фокус параболы, а — уравнение ее директрисы.

Пример 2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты .

Решение. Согласно условию, фокус параболы расположен на отрицательной полуоси , т.е. ее уравнение имеет вид: x 2 = — 2 py

Так как , то , откуда .Итак, уравнение параболы есть , а уравнение ее директрисы .

Пример 3. Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной оси Ох и проходящей через точку .

Решение. Из условия заключаем, что уравнение параболы следует искать в виде .

Так как точка принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: 36= — 2р*(-3); 2р=12.

Итак, уравнение параболы имеет вид .

Пример 4. Парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку

A (4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

Решение. Так как парабола проходит через точку A (4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox , то уравнение параболы следует искать в виде y 2 = 2 px . Подставляя в это уравнение координаты точки A , будем иметь

искомым уравнением будет

Эскиз этой параболы показан на рисунке

Пример 5. Парабола y 2 = 2 px проходит через точку A (2, 4). Определить ее параметр p .

Решение. Подставляем в уравнение параболы вместо текущих координат координаты точки A (2, 4). Получаем

4 2 = 2 p *2; 16 = 4 p ; p = 4.

Пример 6. Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы

y = 2 x 2 + 4 x + 5 и найти координаты ее вершины.

Решение. Уравнение y = 2 x 2 + 4 x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:

пусть теперь x ₁ = x + 1, y ₁ = y — 3. Из сравнения с формулами

координаты нового начала: x ₀ = -1; y ₀ = 3. Уравнение параболы примет вид

Эскиз параболы показан на рисунке.

Пример 7. Упростить уравнение параболы y = x 2 — 7 x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.

Решение. Выделим в правой части уравнения y = x 2 — 7x + 12 полный квадрат по способу, указанному выше в задаче , и получим

Отсюда из сравнения с формулами

координаты нового начала, т. е. вершины параболы, будут . После переноса начала координат в точку уравнение параболы примет наиболее простой вид . Эскиз кривой представлен на рисунке.

Пример 8. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения и . Точки пересечения и . Так как парабола проходит через точку и симметрична относительно оси , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид . Так как парабола проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: , ,

Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисы или , откуда

Ответ. ;

Пример 9. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота

Решение. В ыберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид , а концы хорды арки и . Подставив координаты одного из концов хорды (например, ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно , получим

Ответ.

а) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у 2 =16р .

б) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением

а) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -7).

б) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; 4).

а) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (-2; — 4) . Начертить эскиз данной кривой.

б) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (3; — 5) . Начертить эскиз данной кривой.

а) Парабола y 2 = 2 px проходит через точку A (4; 8). Определить ее параметр p .

б) Парабола y 2 = — 2 px проходит через точку A (-4; -8). Определить ее параметр p .

а) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 2 x 2 + 8 x + 5 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

б) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 4 x 2 + 16 x +10 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

Задание 6. а) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 2х + 2у=0 и окружности х 2 +у 2 – 4х=0 и симметрична относительно оси Оу.

б) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 3х + 3у=0 и окружности 2х 2 + 2у 2 — 8х=0 и симметрична относительно оси Ох .

Задание 7. а) Арка здания имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 12 м, а высота 4 м.

б) Арка дома имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 14 м, а высота 6 м.

Отчет о практической работе

Тема практической работы

Цель практической работы

В ходе выполнения практической работы я научился (закрепил умения) вычислять…

Я получил (совершенствовал) практические навыки…

В ходе практической работы я получил новые знания. Узнал, что …

Мне было сложно выполнять…, потому, что…

Мне было несложно выполнять…, потому, что…

Краткое описание документа:

Практическая работа по высшей математике на тему: «Парабола. Решение задач». В работе представлены краткие теоретические сведения и методические указания для выполнения практической работы. Работа предназначена студентам 2 курса СПО. Может быть использована для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов 2 курса СПО.