О чем эта статья:
- Понятие функции
- Понятие линейной функции
- Свойства линейной функции
- Построение линейной функции
- Решение задач на линейную функцию
- Пересечение с осями онлайн
- Другие полезные разделы:
- Оставить свой комментарий:
- K больше 0 b меньше 0 график
- Как построить график линейной функции « y = kx + b »
- Как решать задачи на линейную функцию « y = kx + b »
- Как проверить, проходит ли график через точку
- Как найти точки пересечения графика с осями
- Ответ
- Проверено экспертом
- 💡 Видео
Видео:Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать
Понятие функции
| Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. |
|---|
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
| График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. |
|---|
Видео:№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать
Понятие линейной функции
| Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. |
|---|
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
| х | 0 | 2 | 4 |
| y | -2 | -1 | 0 |
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
| Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.
Видео:23. Точка пересечения прямой и плоскости / Проекция точки на плоскость / Проекция точки на прямуюСкачать
Пересечение с осями онлайн
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.
Найти точки пересечения функции с осями координат:
При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:
График данной функции представлен на рисунке:
Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось — в одной.
Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:
Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.
Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:
Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат .
Видео:Занятие 1. График линейной функции y=kx+bСкачать
Другие полезные разделы:
Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
Видео:Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.Скачать
K больше 0 b меньше 0 график
•Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
•Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:
2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
• если k>0, то функция y=kx+b возрастает
• если k 0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
• если b ½ x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
• График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
• График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) – начале координат.
• График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):
Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.
Буквенные множители « k » и « b » называют числовыми коэффициентами .
Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.
Примеры функций типа « y = kx + b ».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y =
2 3
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты « k » и « b » .
| Функция | Коэффициент « k » | Коэффициент « b » |
|---|---|---|
| y = 5x + 3 | k = 5 | b = 3 |
| y = −x + 1 | k = −1 | b = 1 |
| y = |
| 2 |
| 3 |
Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».
Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.
Числовый коэффициент « b » присутствет в функции типа « y = kx + b » всегда. В функции « y = 0,5x » числовый коэффициент « b » равен нулю .
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Как построить график линейной функции
« y = kx + b »
Графиком линейной функции « y = kx + b » является прямая .
Так как графиком функции « y = kx + b » является прямая линия , функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.
Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».
Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».
Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет « y = −2x + 1 » |
|---|---|
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » (абсцисса) | Координата по оси « Оy » (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».
Видео:ЕГЭ задание 9 Функции y=k|x|+b и y=|kx+b|Скачать
Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »
Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:
- значение « y » соответствующее значению « x » равному −1; 2; 3; 5 ;
- значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » | Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».
Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».
Требуется найти значение « y », соответствующее значению « x »,
которое равно −1; 2; 3; 5 .
Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси « Ox » (ось абсцисс) из заданного числового значения « x » до пересечения с графиком функции;
- из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси « Oy » (ось ординат);
- полученное числовое значение на оси « Oy » и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции « y = 2x + 3 » необходимые значения функции « y » для « x » равным −1; 2; 3; 5 .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « x » | Полученное с графика значение « y » |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение « x », если значение « y » равно 1; 4; 0; −1 .
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси « Oy » .
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « y » | Полученное с графика значение « x » |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
», выяснить, проходит ли график через точки с координатами (0; −
| 1 |
| 3 |
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» координаты точки (0; −
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
(верно)
Это означает, что график функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» проходит через точку с координатами (0; −
| 1 |
| 3 |
) . Проверим точку с координатами (1; −2) . Также подставим координаты
в функцию « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
(неверно)
Это означает, что график функции « y = 2x −
| 1 |
| 3 |
» не проходит через точку с координатами (1; −2) .
Как найти точки пересечения графика с осями
Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.
Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».
Выберем два произвольных числовых значения для « x » и рассчитаем значение « y » по формуле функции. Например, для x = 0 и x = 1 .
| Точка | Координата по оси « Оx » | Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».
Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:
- приравнять координату точки по оси « Ox » к нулю (x = 0) ;
- подставить вместо « x » в формулу функции ноль и найти значение « y »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .
Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:
- приравнять координату точки по оси « Oy » к нулю (y = 0) ;
- подставить вместо « y » в формулу функции ноль и найти значение « x »;
- записать полученные координаты точки пересечения с осью « Oy » .
Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью « Ox » , то приравниваем « y » к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью « Oy » , то приравниваем « x » к нулю.
- Попроси больше объяснений
- Следить
- Отметить нарушение
Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать
Ответ
Проверено экспертом
График функции вида является прямой.
Где k – угловой коэффициент. Если k > 0, то прямая имеете острый угол с ось ОХ; если k 0 , то отрезок лежит выше оси Ох; если b 0, b > 0
💡 Видео
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ прямых | ТОЧКА пересечения | Линейные функцииСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Excel если ячейка содержит определенный текст, то..найти задать условие. Если есть искомые слова v.2Скачать
✓ Четыре способа решить новую задачу из ЕГЭ | Задание 10. Демоверсия ЕГЭ-2023 | Борис ТрушинСкачать
Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координатСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№14 - Функция y = k/x и её график.)Скачать
Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать
