Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Какие уравнения имеют координатные прямые: а) Ох; б) Оу?
Содержание
  1. Ваш ответ
  2. решение вопроса
  3. Похожие вопросы
  4. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz
  5. Система координат в пространстве — определение с примерами решения
  6. Система координат в пространстве
  7. Декартова система координат в пространстве
  8. Расстояние между двумя точками
  9. Уравнение сферы и шара
  10. Координаты середины отрезка
  11. Векторы в пространстве и действия над ними
  12. Векторы в пространстве
  13. Действия над векторами в пространстве
  14. Свойства суммы векторов
  15. Правило треугольника сложения векторов
  16. Правило параллелограмма сложения векторов
  17. Правило многоугольника сложения векторов
  18. Коллинеарные и компланарные векторы
  19. Скалярное произведение векторов
  20. Свойства скалярного произведения векторов
  21. Преобразование и подобие в пространстве
  22. Геометрические преобразования в пространстве
  23. Движение и параллельный перенос
  24. Центральная симметрия в пространстве
  25. Симметрия относительно плоскости
  26. Поворот и симметрия относительно оси
  27. Симметрия в природе и технике
  28. Подобие пространственных фигур
  29. 💥 Видео

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Ваш ответ

Видео:КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯСкачать

КООРДИНАТНАЯ  ПРЯМАЯ

решение вопроса

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,414
  • гуманитарные 33,633
  • юридические 17,906
  • школьный раздел 608,054
  • разное 16,856

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О.
Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz.
Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Проведем через точку А три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через А1, А2 и А3.
Точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки А (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОА1, если А1 точка положительной полуоси: х = — ОА1, если А1 точка отрицательной полуоси: х = 0, если А1 совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки А2 определяется вторая координата (ордината) y точки А, а с помощью точки А3 третья координата (аппликата) z точки А. Координаты точки А записываются в скобках после обозначения точки: А (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей — аппликату.

Если точка А (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю.

Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Канонические уравнения прямой"

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оzосями координат, Охось абсцисс, Оуось ординат и Оzось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охzкоординатными плоскостями.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Поэтому Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzрасстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Ответ: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Координаты середины отрезка

Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Координаты середины отрезка NL:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzили Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzили кратко Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(или Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzили Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzс началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzбудет иметь те же координаты: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzзаписывают

такНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Длина вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, заданного координатами,

вычисляется по формуле Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzравны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Следовательно, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Докажите самостоятельно, что Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(b1; b2; b3); называют вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(рис. 20).

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, а груз относительно крана вдоль вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. В результате груз движется вдоль вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzимеют место следующие свойства:

a) Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz— переместительный закон сложения векторов;

b) Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), тоНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz​​​​​​= (Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оza1; Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оza2; Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оza3) — называют умножением вектора

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(a1; a2; a3) на число Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи чисел Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

а)Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz;

b)Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz;

c) Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи направление вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

совпадает с направлением вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, если Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz,

противоположно направлению вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, если Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Если векторы

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzсонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzимеет место равенство Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то они коллинеарны и наоборот.

Если Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то векторы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzсонаправлены Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, еслиНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то

противоположно направлены Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Свойство 2. Если векторы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(a1; a2; a3) и Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(х — 1 ;у — 1; — 1) и Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Откуда находим Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Итак,Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Векторы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(1; 0; 0), Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(0; 1; 0) и Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzможно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(рис. 29).

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то любой вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzможно единственным образом представить в виде:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Здесь Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzнекоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzназывают угол между направленными отрезками векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz= Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz=Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzобозначают так Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Скалярным произведением векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzназывают произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzили Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. По определению Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzравно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, под воздействием силы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(рис. 31), равна скалярному произведению силы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzна расстояниеНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Свойство. Если Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(b1; b2; b3), то (Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz) = Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Доказательство. Приложим векторы Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzк началу

координат О (рис.32). Тогда Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz= Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz= (b1; b2; b3).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Тогда Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Однако, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz,Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

и Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Следовательно,Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, также выполняется

это равенство. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Свойства скалярного произведения векторов

1. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz— переместительное свойство.

2. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz— распределительное свойство.

3. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, так как cos l80° = -1.

6. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

7. Если вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzперпендикулярен вектору Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Следствия: а) Длина вектора Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz; (1) b) косинус угла между векторами

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz; (2)

с) условие перпендикулярности векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(3)

Пример:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Решение:

Найдём длины векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz,

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz,

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пример:

Найдите угол между векторами Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Решение:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzИтак, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пример:

Найдите Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, если Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи угол между векторамиНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzравен Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Решение:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz; 2)Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, если Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzпо координатам:

1)Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Следовательно,Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

ТогдаНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

2)Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Следовательно, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Тогда Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пример:

Найдите произведениеНапишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, если угол между векторами Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzравен 30° и Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Учитывая, что Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz,

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzнайдём искомое произведение

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пусть в пространстве даны вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, если выполняется условие Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzпри помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzфигуры F перешла в точку Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Тогда по определению получим:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzили

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Ответ: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА1. Следовательно,

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Из этих уравнений получаем:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz.

Ответ: Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzотносительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzотносительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzотносительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Симметрия в природе и технике

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzи преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzкоэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzявляется преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzпри Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz= 1 отображает фигуру F в себя, а при Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оz=-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число Напишите уравнения которыми задаются координатные прямые ох оу оzраз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Иррациональные числа
  • Действительные числа
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💥 Видео

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Координатная прямая. Противоположные числа. 6 класс.Скачать

Координатная прямая. Противоположные числа. 6 класс.

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

№977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.Скачать

№977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 классСкачать

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости 8 и 9 класс

Координатная прямая. Математика. 5 класс.Скачать

Координатная прямая. Математика. 5 класс.

7 класс, 6 урок, Координатная прямаяСкачать

7 класс, 6 урок, Координатная прямая

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"

Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Общие уравнения прямой"

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось
Поделиться или сохранить к себе: