Напишите уравнение плоскости которая проходит через точку e и перпендикулярна вектору ef

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пусть дана некоторая точка M₀ и ненулевой вектор n. Через точку M₀ можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow<M_M>) перпендикулярен вектору n. Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде

Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть точка M₀ и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:

Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор (overrightarrow<M_M>) имеет координаты х — х₀, у — у₀ и z — z₀, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 4, z₀ = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение

3адачa 2. Даны точки M₁ (2; -1; 3) и M₂(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₂ перпендикулярно вектору (overrightarrow<M_M_2>).

За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = (overrightarrow<M_M_2>) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М₀ = М₂(4; 5; 0) в уравнение (2) получим

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А₁<-5; 2; 7), А₂(5; 0; 6), А₃(0; -1; 2) проведена медиана А₁М₀. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно медиане А₁М₀.

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = (overrightarrow<A_M_0>). Определим его координаты. Точка М₀ — середина отрезка А₂А₃, поэтому, если (х₀; у₀; z₀) — ее координаты, то

Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны

A = 5 /₂ + 5 = 15 /₂, В = — 1 /₂ — 2 = — 5 /₂, С = 4 — 7 = — 3.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Математический портал

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Аналитическая геометрия
• Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Видео:2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать

Плоскость в пространстве, всевозможные уравнения, расстояние от точки до плоскости.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Существуют такие формы записи уравнения плоскости:

1) $Ax+By+Cz+D=0 -$ общее уравнение плоскости $P,$ где $overline=(A, B, C) -$ нормальный вектор плоскости $P.$

2) $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$ уравнение плоскости $P,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $overline=(A, B, C).$ Вектор $overline N$ называется нормальным вектором плоскости.

4) $beginx-x_1&y-y_1&z-z_1\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\x_3-x_1&x_2-x_1&x_3-x_1end=0 — $ уравнение плоскости, которая проходит через три точки $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ и $C(x_3, y_3, z_3).$

5) $xcosalpha+ycosbeta+zcosgamma-p=0 -$ нормальное уравнение плоскости, где $cosalpha, cosbeta$ и $cosgamma -$ направляющие косинусы нормального вектора $overline,$ направленного из начала координат в сторону плоскости, а $p>0 -$ расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному, путем умножения на нормирующий множитель $mu=-frac<sqrt>.$

Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $P: Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Примеры:

2.180.

а) Заданы плоскость $P: -2x+y-z+1=0$ и точка $M(1, 1, 1).$ Написать уравнение плоскости $P’,$ проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $P$ и вычислить расстояние $rho(P, P’).$

Решение.

Так как п.лоскости $P$ и $P’$ параллельны, то нормальный вектор для плоскости $P$ будет также нормальным вектором для плоскости $P’.$ Из уравнения плоскости получаем $overline=(-2, 1, -1).$

Далее запишем уравнение плоскости по формуле ( 2): $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 -$ уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ перпендикулярно вектору $overline=(A, B, C).$

Ответ: $-2x+y-z+2=0.$

2.181.

а) Написать уравнение плоскости $P’,$ проходящей через заданные точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ перпендикулярно заданной плоскости $P: -x+y-1=0.$

Решение.

Из уравнения плоскости $P,$ находим ее нормальный вектор $overline=(-1, 1, 0).$ Плоскость, перпендикулярная плоскости $P,$ параллельна ее нормальному вектору. Отсюда следует, что можно выбрать точку $M_3(x, y, z)in P’$ такую, что что $overline||overline.$

Поскольку $z_N=0,$ то есть вектор $Nin XoY,$ то $z_=0.$

Мы нашли точку $M_3=(2, 1, 0).$

Так как точка $M_1in P’,$ то и $M_3in P’.$ Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(2, 1, 0).$

$(x-1)(-1)0+(-1)z+(y-2)-(-1)z-(-1)(x-1)-(y-2)0=0Rightarrow$ $Rightarrow-z+y-2+z+x-1=0Rightarrow x+y-3=0.$

2.182.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ параллельно векторам $a_1(0, 1, 2)$ и $a_2(-1, 0, 1).$

Решение.

Поскольку вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2$ (см. векторное произведение), то он будет также перпендикулярен искомой плоскости. То есть вектор $[a_1, a_2]$ является нормальным для плоскости $P.$ Найдем этот вектор:

Таким образом $overline=[a_1, a_2]=(1, -2, 1).$

Теперь можно найти уравнение плоскости $P,$ по формуле (2), как плоскости, проходящей через точку $M(1, 1, 1)$ перпендикулярно вектору $overline N=(1, -2, 1):$

Ответ: $x-2y+z=0.$

2.183.

а) Написать уравнение плоскости $P,$ проходящей через точки $M_1(1, 2, 0)$ и $M_2(2, 1, 1)$ параллельно вектору $a=(3, 0, 1).$

Решение.

Поскольку вектор $a$ параллелен плоскости $P,$ то для всякого вектора $overline,$ параллельного вектору $a,$ точка $M_3in P.$

Пусть $M_3=(x, y, z).$ Тогда $overline=(x-1, y-2, z).$ Так как $overline||a,$ то $frac<x_>=frac<y_>=frac<z_>.$ $y_a=0,$ то есть вектор $ain XoZ$ и всякий параллельный ему вектор так же будет принадлежать этой плоскости. Таким образом, $y_=y-2=0Rightarrow y=2.$

Из условия параллельности векторов имеем $frac=frac.$ Пусть $x=4,$ тогда $z=1.$

Мы получили точку $M_3=(4, 2, 1).$

Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три точки $M_1 (1, 2, 0), M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(4, 2, 1).$

$(x-1)(-1)1+1cdot zcdot 0+(y-2)3-3(-1)z-0cdot 1cdot(x-1)-1(y-2)1=0Rightarrow$

$Rightarrow -x+1+3y-6+3z-y+2=0Rightarrow -x+2y+3z-3=0.$

2.184.

а) Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(1, 2,0),$ $M_2(2, 1, 1)$ и $M_3(3, 0, 1).$

Решение.

Воспользуемся формулой (4):

$Rightarrow -x+1+-2z+2y-4+2z+2x-2-y+2=0Rightarrow x+y-3=0.$

Видео:Уравнение плоскости через точку и нормальСкачать

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой

Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат O x y z в нем. Заданы также точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , прямая a и плоскость α , проходящая через точку М 1 перпендикулярно прямой a . Необходимо записать уравнение плоскости α .

Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10 — 11 классов, которая гласит:

Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

Условием задачи нам заданы координаты x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , через которую проходит плоскость α . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α , то получим возможность записать искомое уравнение.

Нормальным вектором плоскости α , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной плоскости α , будет являться любой направляющий вектор прямой a . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a .

Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

или параметрическими уравнениями вида:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то направляющий вектор прямой будет иметь координаты а x , а y и а z . В случае, когда прямая a представлена двумя точками М 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) и М 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

— определяем координаты направляющего вектора прямой a : a → = ( а x , а y , а z ) ;

— определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a :

n → = ( A , B , C ) , где A = a x , B = a y , C = a z ;

— записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) в виде A ( x – x 1 ) + B ( y – y 1 ) + C ( z – z 1 ) = 0 . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

Полученное общее уравнение плоскости: A ( x – x 1 ) + B ( y – y 1 ) + C ( z – z 1 ) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

Задана точка М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой О z .

Решение

направляющим вектором координатной прямой O z будет координатный вектор k ⇀ = ( 0 , 0 , 1 ) . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты ( 0 , 0 , 1 ) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) , нормальный вектор которой имеет координаты ( 0 , 0 , 1 ) :

A ( x — x 1 ) + B ( y — y 1 ) + C ( z — z 1 ) = 0 ⇔ ⇔ 0 · ( x — 3 ) + 0 · ( y — ( — 4 ) ) + 1 · ( z — 5 ) = 0 ⇔ z — 5 = 0

Ответ: z – 5 = 0 .

Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

Плоскость, которая перпендикулярна прямой O z будет задана неполным общим уравнением плоскости вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Определим значения C и D : такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение С z + D = 0 , получим: С · 5 + D = 0 . Т.е. числа, C и D связаны соотношением — D C = 5 . Приняв С = 1 , получим D = — 5 .

Подставим эти значения в уравнение С z + D = 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой O z и проходящей через точку М 1 ( 3 , — 4 , 5 ) .

Оно будет иметь вид: z – 5 = 0 .

Ответ: z – 5 = 0 .

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x — 3 = y + 1 — 7 = z + 5 2

Решение

Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n → заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n → = ( — 3 , — 7 , 2 ) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О ( 0 , 0 , 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( — 3 , — 7 , 2 ) :

— 3 · ( x — 0 ) — 7 · ( y — 0 ) + 2 · ( z — 0 ) = 0 ⇔ — 3 x — 7 y + 2 z = 0

Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ: — 3 x — 7 y + 2 z = 0

Задана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, в ней – две точки А ( 2 , — 1 , — 2 ) и B ( 3 , — 2 , 4 ) . Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой А В . Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.

Решение

Плоскость α перпендикулярна к прямой А В , тогда вектор А В → будет нормальным вектором плоскости α . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В ( 3 , — 2 , 4 ) и А ( 2 , — 1 , — 2 ) :

A B → = ( 3 — 2 , — 2 — ( — 1 ) , 4 — ( — 2 ) ) ⇔ A B → = ( 1 , — 1 , 6 )

Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

1 · x — 2 — 1 · y — ( — 1 + 6 · ( z — ( — 2 ) ) = 0 ⇔ x — y + 6 z + 9 = 0

Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

x — y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x — y + 6 z = — 9 ⇔ x — 9 + y 9 + z — 3 2 = 1

Ответ: x — 9 + y 9 + z — 3 2 = 1

Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

Задана прямоугольная система координат O x y z , в ней – точка М 1 ( 2 , 0 , — 5 ) . Заданы также уравнения двух плоскостей 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0 , которые пересекаются по прямой a . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .

Решение

Определим координаты направляющего вектора прямой a . Он перпендикулярен как нормальному вектору n 1 → ( 3 , 2 , 0 ) плоскости n → ( 1 , 0 , 2 ) , так и нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 плоскости x + 2 z — 1 = 0 .

Тогда направляющим вектором α → прямой a возьмем векторное произведение векторов n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → — 6 · j → — 2 · k → ⇒ a → = ( 4 , — 6 , — 2 )

Таким образом, вектор n → = ( 4 , — 6 , — 2 ) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a . Запишем искомое уравнение плоскости:

4 · ( x — 2 ) — 6 · ( y — 0 ) — 2 · ( z — ( — 5 ) ) = 0 ⇔ 4 x — 6 y — 2 z — 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x — 3 y — z — 9 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — z — 9 = 0

🎥 Видео

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

11 класс, 8 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Уравнение плоскости. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать

Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать

Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать