Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а (3 видео)

Задача 62613 Найти уравнение траектории точки M(x,y).

Содержание

Условие
Решение
Парабола
🎬 Видео

Условие

Найти уравнение траектории точки M(x,y) , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке А(0,1), чем к точке В(-2,0) .

Решение

BM вдвое больше АМ

Возводим в квадрат
(x+2)^2+y^2=4(x^2+(y-1)^2

Упрощаем и получаем о т в е т.

[b]3x^2-4x=3y^2-8y[/b] Это гипербола со смещенным центром.

Парабола

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы .

Число p – называется фокальным параметром параболы.

Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда

По определению параболы . Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

(20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой .

Если q > 0 (q 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = 0.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = (х 2 – 4х + 4) – 4 + (у 2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2) 2 + (у + 3) 2 = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; ) и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению

Видео:10.1.04. Уравнение траекторииСкачать

Фокусы находятся на оси Ох, следовательно

Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а 2 и в 2 :

Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:

Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, , .

Þ r₁ = а + eх = = 8 – 3 = 5,

r₂ = а – eх = = 8 + 3 = 11.

Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.

Пусть М (х, у). Тогда çMNú = 2 çMFú, çMNú = ç–4 – xú, çMFú= = , Þ ç– (4 + х)ú = .

Возведем в квадрат: (4 + х) 2 = 4 ((х + 1) 2 + у 2 ),

Þ 16 + 8х + х 2 = (х 2 + 2х + 1 + у 2 ) · 4 = 4х 2 + 8х + 4 + 4у 2 ,

Þ 3х 2 + 4у 2 = 12 Þ Þ .

Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

Видео:Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать

Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.

Следовательно, Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F₁(–с; 0) = (–4; 0), F₂(4; 0).

Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)

причем F₁(–5; 0), F₂(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с₁ = 5. Найдем а₁ и в₁.

Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а₁ = с = 4. Следовательно:

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.