Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Задача 62613 Найти уравнение траектории точки M(x,y).

Условие

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Найти уравнение траектории точки M(x,y) , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке А(0,1), чем к точке В(-2,0) .

Решение

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

BM вдвое больше АМ

Возводим в квадрат
(x+2)^2+y^2=4(x^2+(y-1)^2

Упрощаем и получаем о т в е т.

[b]3x^2-4x=3y^2-8y[/b] Это гипербола со смещенным центром.

Парабола

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а, а уравнение директрисы Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Число p – называется фокальным параметром параболы.

Пусть Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а– произвольная точка параболы. Пусть Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а– фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

По определению параболы Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а. Следовательно

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Возведем это уравнение в квадрат

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аНаписать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а(20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Так как для параболы Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а, а для эллипса и гиперболы Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а, то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

Фокус этой параболы находится в точке Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а. Уравнение ее директрисы Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а. Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Если q > 0 (q 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = 0.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = (х 2 – 4х + 4) – 4 + (у 2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2) 2 + (у + 3) 2 = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а) и имеет эксцентриситет Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аНаписать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Видео:10.1.04. Уравнение траекторииСкачать

10.1.04. Уравнение траектории

Фокусы находятся на оси Ох, следовательно

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а 2 и в 2 :

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аНаписать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а, Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Þ r1 = а + eх = Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а= 8 – 3 = 5,

r2 = а – eх = Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а= 8 + 3 = 11.

Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Пусть М (х, у). Тогда çMNú = 2 çMFú, çMNú = ç–4 – xú, çMFú= = Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а, Þ ç– (4 + х)ú = Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Возведем в квадрат: (4 + х) 2 = 4 ((х + 1) 2 + у 2 ),

Þ 16 + 8х + х 2 = (х 2 + 2х + 1 + у 2 ) · 4 = 4х 2 + 8х + 4 + 4у 2 ,

Þ 3х 2 + 4у 2 = 12 Þ Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аÞ Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Видео:ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.Скачать

ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.

Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.

Следовательно, Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аПоэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F1(–с; 0) = (–4; 0), F2(4; 0).

Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а,

причем F1(–5; 0), F2(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с1 = 5. Найдем а1 и в1.

Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а1 = с = 4. Следовательно:

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

Пусть точка М (х, у) – принадлежит данному множеству точек.

Следовательно çFMú = çNMú , çFMú == Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а, çNMú = 2 – у, Þ 2 – у = Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а.

Видео:Курс «Баллистика и орбитальная механика» — «Уравнения движения тела в центральном поле»Скачать

Курс «Баллистика и орбитальная механика»  — «Уравнения движения тела в центральном поле»

Возведем в квадрат:

Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а

– парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох.

у = 0 Þ Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аÞ Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аÞ х1 = 0; х2 = 4.

Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).

Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 Þ Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а= = 2 – 1 = 1, т. е.

Вершиной параболы будет точка (2; 1).

На параболе у 2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.

Так как у 2 = 2рх Þ 2р = 6, р = 3. Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аÞ Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а= = Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке аЗначит у 2 = 6 · 3 = 18 Þ у = ± Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а= ±Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а. Þ (3; ±Написать уравнение траектории точки м которая при своем движении остается вдвое ближе к точке а) – две таких точки.

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

Видео:Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.

📺 Видео

Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать

Способы описания движения. Траектория. Путь. Перемещение

Естественный способ задания движенияСкачать

Естественный способ задания движения

Тема: Путь и перемещениеСкачать

Тема: Путь и перемещение

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Путь. Перемещение. Траектория.Скачать

Путь. Перемещение. Траектория.

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать

Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорение

Урок 37. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (начало)Скачать

Урок 37. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (начало)

Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать

Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.

Поступательное и вращательное движенияСкачать

Поступательное и вращательное движения

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.

Естественный способ задания движенияСкачать

Естественный способ задания движения
Поделиться или сохранить к себе: