Условие
Найти уравнение траектории точки M(x,y) , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке А(0,1), чем к точке В(-2,0) .
Решение
BM вдвое больше АМ
Возводим в квадрат
(x+2)^2+y^2=4(x^2+(y-1)^2
Упрощаем и получаем о т в е т.
[b]3x^2-4x=3y^2-8y[/b] Это гипербола со смещенным центром.
Парабола
Видео:10.1.04. Уравнение траекторииСкачать
Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.
Построим уравнение параболы.
Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы
.
Число p – называется фокальным параметром параболы.
Пусть – произвольная точка параболы. Пусть
– фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда
По определению параболы . Следовательно
Возведем это уравнение в квадрат
(20)
– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.
Точка (0; 0) – вершина параболы.
Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.
Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы
, то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).
Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать
Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением
Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы
. Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой
.
Если q > 0 (q 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = 0.
Выделим полные квадраты в данном уравнении:
х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = (х 2 – 4х + 4) – 4 + (у 2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0
Þ (х – 2) 2 + (у + 3) 2 = 16.
Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.
Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; ) и имеет эксцентриситет
. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Фокусы находятся на оси Ох, следовательно
Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а 2 и в 2 :
Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:
Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, ,
.
Þ r1 = а + eх = = 8 – 3 = 5,
r2 = а – eх = = 8 + 3 = 11.
Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.
Пусть М (х, у). Тогда çMNú = 2 çMFú, çMNú = ç–4 – xú, çMFú= = , Þ ç– (4 + х)ú =
.
Возведем в квадрат: (4 + х) 2 = 4 ((х + 1) 2 + у 2 ),
Þ 16 + 8х + х 2 = (х 2 + 2х + 1 + у 2 ) · 4 = 4х 2 + 8х + 4 + 4у 2 ,
Þ 3х 2 + 4у 2 = 12 Þ Þ
.
Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.
Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .
Видео:ФИЗИКА 10 класс : Механическое движение | Материальная точка, траектория, перемещение.Скачать
Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.
Следовательно, Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F1(–с; 0) = (–4; 0), F2(4; 0).
Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)
,
причем F1(–5; 0), F2(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с1 = 5. Найдем а1 и в1.
Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а1 = с = 4. Следовательно:
.
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид
Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.
Пусть точка М (х, у) – принадлежит данному множеству точек.
Следовательно çFMú = çNMú , çFMú == , çNMú = 2 – у, Þ 2 – у =
.
Видео:Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать
Возведем в квадрат:
– парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох.
у = 0 Þ Þ
Þ х1 = 0; х2 = 4.
Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).
Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 Þ = = 2 – 1 = 1, т. е.
Вершиной параболы будет точка (2; 1).
На параболе у 2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.
Так как у 2 = 2рх Þ 2р = 6, р = 3. Þ
= =
Значит у 2 = 6 · 3 = 18 Þ у = ±
= ±
. Þ (3; ±
) – две таких точки.
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.
Видео:Курс «Баллистика и орбитальная механика» — «Уравнения движения тела в центральном поле»Скачать
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.
🌟 Видео
Естественный способ задания движенияСкачать
Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать
1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Путь. Перемещение. Траектория.Скачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Тема: Путь и перемещениеСкачать
Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать
Кинематика точки. Три способа задания движения. Скорость, ускорениеСкачать
Урок 37. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (начало)Скачать
Поступательное и вращательное движенияСкачать
Основное уравнение динамики вращательного движения. 10 класс.Скачать
Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать
Естественный способ задания движенияСкачать
Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать