Видео:§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как и
.
На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки и
, где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат — каноническое уравнение гиперболы:
Если — произвольная точка левой ветви гиперболы (
) и
— расстояния до этой точки от фокусов
, то формулы для расстояний — следующие:
.
Если — произвольная точка правой ветви гиперболы (
) и
— расстояния до этой точки от фокусов
, то формулы для расстояний — следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы,
— расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и
и
— расстояния этой точки до директрис
и
.
Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где
.
В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки
, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы
Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Определите характеристики (центр, полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот) гиперболы . Сделайте чертеж.
1.2. Составьте уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках A1(5, 0) и A2(5, 0), а расстояние между фокусами равно 14.
1.3. Составьте уравнение гиперболы, проходящей через точку М(2, 1) и имеющей асимптоты
1.4. Определите параметры гиперболы и сделайте чертеж.
II уровень
2.1. Определите параметры (полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот) гиперболы
2.2 Составьте уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус F(0, 1) и асимптоту x + y = 0.
2.3. Докажите, что уравнение определяет гиперболу, определите ее параметры и форму:
1) 16x 2 – 9y 2 – 64x – 54y – 161 = 0;
2) 9x 2 – 16y 2 + 90x + 32y – 367 = 0;
3) 16x 2 – 9y 2 – 64x – 18y + 199 = 0.
2.4. Убедившись, что точка A(–5; 9/4) лежит на гиперболе найдите фокальные радиусы этой точки и ее расстояние до директрис.
III уровень
3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе
1) проходящих через точку A(4, 1), B(5, 2) и C(5, 6);
2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;
3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
Параметры параболы:
Точка F(p/2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром, точка О(0, 0) – вершиной. При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.
|
Величина где M(x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = –p/2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина
называется эксцентриситетом параболы.
Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).
Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:
|
Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:
где t – произвольное действительное число.
Пример 1.Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:
1) 2)
Решение.1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0), симметричную относительно оси Оx. Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px, находим: 2p = 8, p = 4, p/2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F(–2; 0), уравнение директрисы D: x = 2 (рис. 26).
|
2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O(0; 0), симметричную относительно оси Oy. Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py, находим: 2p = 4, p = 2, p/2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F(0; –1), уравнение директрисы D: y = 1 (рис. 27).
Пример 2.Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
В результате получим
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх ( ), осью x = –4. Фокус находится в точке F(–4; –3 + p/2), т. е. F(–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p/2 или y = –7 (рис. 28).
|
Пример 3. Написать уравнение кривой, все точки которой равноудалены от прямой y = 3 и точки F(0; 3).
Решение. Точка F(0; 3) лежит на оси Oy и находится с прямой y = –3 по разные стороны от начала координат, причем на одинаковом расстоянии (d = 3). Это позволяет заключить, что искомой кривой является парабола x 2 = 2py с параметром p = 2 · 3 = 6, т. е. x 2 = 12y (рис. 29).
|
Пример 4.Составить уравнение параболы с вершиной в точке V(3; –2) и фокусом в точке F(1; –2).
Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p/2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение
(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Видео:Математический анализ, 15 урок, АссимптотыСкачать
Равносторонняя гипербола
Дата добавления: 2015-08-31 ; просмотров: 3872 ; Нарушение авторских прав
Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой
,
тогда уравнение равносторонней гиперболы имеет вид
(4.5)
Асимптотами равносторонней гиперболы являются прямые
. Таким образом, асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.
Из школьного курса известно, что уравнение гиперболы или
,
, и имеет график, изображенный ниже (рис.11).
Можно доказать, если систему координат OXY повернуть на 45 против часовой стрелки, то равносторонняя гипербола
займет положение гиперболы
, при этом асимптоты и оси координат поменяются ролями.
Поэтому про школьную гиперболу говорят – это равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам.
Задача 27Построить гиперболу . Найти координаты вершин и фокусов. Составить уравнения асимптот.
1 Запишем каноническое уравнение гиперболы, разделив обе части на 36, получим
2 Найдем полуоси гиперболы
.
A(-3;0), C(3;0) – действительные вершины
B(0;2), D(0;-2) – мнимые вершины
4 Составим уравнения асимптот по формулам (4.4)
.
Выполним построение ( выполнить все этапы построения в одной системе координат) (рис.30)
1 этап – построить «основной» прямоугольник, по координатам вершин
2 этап – провести асимптоты ( диагонали прямоугольника)
3 этап – поострить гиперболу
Задача 28 Построить гиперболу . Найти координаты вершин и фокусов. Составить уравнение асимптот.
1 Запишем каноническое уравнение гиперболы, разделив обе части на 225, получим
2 Найдем полуоси гиперболы
.
3 Координаты вершин:
A(-5;0), C(5;0) – мнимые вершины
B(0;3), D(0;-3) – действительные вершины
4 Уравнения асимптот:
🌟 Видео
Асимптоты функции. 10 класс.Скачать
ГиперболаСкачать
Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать
Фокусы гиперболыСкачать
Асимптоты функции. Наклонная асимптота. 10 класс.Скачать
182 Алгебра 9 класс. Найдите Асимптоты гиперболы.Скачать
Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать
§23 Построение гиперболыСкачать
Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать
Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать
Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать
Асимптоты графика функции. Практика. Пример 1.Скачать
ГиперболаСкачать
Задание 10. ЕГЭ профиль. Горизонтальные и вертикальные асимптоты гиперболы.Скачать
180 Алгебра 9 класс. Асимптоты. Укажите асимптоты гиперболыСкачать
§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать