Написать уравнение прямой проходящей через начало координат и точку а 2 3 и построить ее

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

4.Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.

5.Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

6. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Тема №2-4. Кривые 2 порядка: окружность, эллипс,гипербола,парабола.

Построение кривых 2 порядка. Составление уравнений кривых 2-го порядка.

Кривая второго порядка задана уравнением Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) — уравнение эллипса.

2) — уравнение “мнимого” эллипса.

3) — уравнение гиперболы.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y 2 = 2px – уравнение параболы.

6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – уравнение окружности.

Рассмотрим кривые 2 порядка: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О ( х₀ , у ₀ ) имеет вид:

( х – х₀ ) 2 + ( у – у ₀ ) 2 = R 2 .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и окружности х 2 + у 2 = R 2 :

k 2 / ( 1 + m 2 ) = R 2 .

Эллипс

Эллипсомназывается геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a

Отрезок F₁F₂ = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a , e 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 + b 2 .

Гипербола

Гиперболой( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F₁F₂ = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболев данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 – b 2 .

Парабола

Параболой( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы( рис.1 ) :

Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболев данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и параболы y 2 = 2 p x :

1.Найдите все параметры, характеризующие данные кривые второго порядка. Определите типы этих кривых, сделайте рисунки.
а) 9x² + 64y²=576
б) y²=6x

в) 9x 2 -16y 2 =144

Решение.

a) 9x²+ 64y² = 576 — уравнение эллипса

— каноническое уравнение эллипса
a = = 8 и b = = 3 — полуоси эллипса

Точки А(8,0), А'(-8,0), В(0,3), В'(0,-3) — вершины эллипса

с =

Точки F( ,0) и F'(- ,0) — фокусы эллипса

ε = с/а =( )/8 — эксцентриситет эллипса

б) y² = 6x — уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox,

т.е. прямая у = 0 — ось симметрии.
2р = 6
р = 3
Точка F(3/2,0) — фокус параболы.
Прямая х = -3/2 — директриса параболы

в) Приведем данное уравнение к каноническому виду (разделив его на 144):

Отсюда следует, что a 2 =16, b 2 =9. Следовательно, a=4 -действительная полуось, b=3 — мнимая полуось. Тогда Значит, фокусы имеют координаты F₁(-5,0), F₂(5,0). Находим эксцентриситет
Уравнения асимптот имеют вид у = , а уравнения директрис .

2. Определить вид и расположение кривой

Решение.

Дополним члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов:

Следовательно, кривая, заданная исходным уравнением, представляет собой эллипс с полуосями

Центр эллипса находится в точке щ .

3. Найти координаты центра и радиус окружности x 2 +y 2 -6x+10y-15=0.

Решение.

В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа. Получаем

Видео:Уравнение прямой проходящей через начало координат 7 - 8 клСкачать

4.13. Уравнения прямых на координатной плоскости

Давайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости.

Прямая, проходящая через начало координат

Построение графика по заданной функции

Пусть переменная (y) пропорциональна переменной (x) с коэффициентом пропорциональности (k) :

Давайте договоримся, что (x) здесь — это независимая переменная, а (y) — зависимая. Коэффициент (k) играет роль константы (параметра). В таких случаях говорят, что (y) является (однородной) линейной функцией от (x) . Графиком этой функции, как мы хорошо знаем, является прямая, проходящая через начало координат ((0, 0)) . Для построения этой прямой нам достаточно определить еще какую-либо одну ее точку ((x_1, y_1)) . Для этого положим, например, (x_1 = 1) . Тогда (y_1 = k cdot 1 = k) . Проводим через эту точку и начало координат прямую линию. Это и есть график функции (y) от (x) . Так, по крайней мере, обстоит дело в теории, а на практике точку ((x_1, y_1)) лучше брать настолько далеко от начала координат, насколько позволяет чертеж. В этом стучае прямую удается провести наиболее точно. Ниже приведен пример такого построения для функции (y=frac x) .

Восстановление функции по графику

Решим теперь обратную задачу. Пусть на координатной плоскости с осями (x) и (y) нам дана прямая, проходящая через начало координат. Спрашивается: графиком какой функции она является? При этом подразумевается, что функция должна быть задана в виде формулы, связывающей переменные (x) и (y) . Такая формула носит название уравнения графика функции. В данном случае речь идет об уравнении прямой, проходящей через точку ((0,0)) .

Заранее ясно, что это уравнение имеет вид

От нас фактически только требуется найти значение константы (k) . Для этого отметим на прямой произвольную точку, отличную от ((0,0)) , и определим ее координаты ((x_1, y_1).) Эти координаты, очевидно, связаны соотношением

При этом следует особо подчеркнуть, что константа (k) не зависит от выбора точки ((x_1, y_1).) Какую бы точку на прямой мы не выбрали в качестве ((x_1, y_1),) мы придем к одному и тому же значению (k) . Таким образом,

Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке.

Отметим два особых случая. Во-первых, прямая может совпасть с осью (x) . Тогда значение (y) остается постоянным и равным нулю на всем ее протяжении. Тем не менее наше общее решение остается в силе. При этом оказывается, что (k = 0) и переменную (y) можно всё еще формально считать функцией от (x) :

Во-вторых, прямая может совпасть с осью (y) . В этом случае в каждой ее точке (x = 0) . Формула для константы (k) оказывается неприменимой, потому что число (x_0) , стоящее в знаменателе, обращается в нуль. Приходится признать, что мы не можем подобрать такую функцию (y) от (x) , которая имела бы подобный график. Разве что, мы можем теперь принять (y) за независимую переменную и формально рассматривать (x) как функцию от (y)

Несложно убедиться, что всякая точка, лежащая на оси (y) , удовлетворяет этому равенству. Заметим, что если бы мы захотели написать уравнение прямой, проходящей через начало координат, в самом общем виде, то мы могли бы это сделать так:

Это соотношение между (x) и (y) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел ((x_1, y_1)) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой.

Произвольная прямая

Восстановление функции по графику

Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой?

Отметим на прямой две любые несовпадающие точки и обозначим их координаты через ((x_0, y_0)) и ((x_1,y_1)) . Поместим в точку ((x_0, y_0)) начало новой системы координат с осями (x’) и (y’) , сонаправленными с соответствующими осями (x) и (y) старой системы.

Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны

(begin x_1′ \ y_1′ end = begin x_1 \ y_1 end — begin x_0 \ y_0 end = begin x_1 — x_0 \ y_1 — y_0end.)

Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением

Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных:

Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем

Что и решает поставленную задачу.

При желании, можно еще выразить функцию (y) от (x) в явном виде:

(y = k,x — k,x_0 + y_0)

(y = k,x + b,) где (b = — k,x_0 + y_0.)

Значения констант (k) и (b) не зависят от выбора точек ((x_0, y_0)) и ((x_1,y_1)) . Какие бы точки на заданной прямой мы не взяли, мы всегда придем к одним и тем же значениям (k) и (b) . Заметим, что из-за дополнительного слагаемого (b) переменные (x) и (y) не пропорциональны друг другу. Поэтому константа (k) называется теперь не коэффициентом пропорциональности, как это было раньше, а угловым коэффициентом. Название это происходит от того, что значение (k) тесно связано с углом наклона прямой по отношению к оси (x) . Чем круче идет прямая, тем больше ее угловой коэффициент.

Константу (b) иногда называют свободным членом. Как легко видеть, переменная (y) равна (b) при (x = 0) . Иными словами, (b) — это точка на оси (y) , в которой эта ось пересекается с нашей прямой. Если (b = 0) , то прямая проходит через начало координат, и мы возвращаемся к частному случаю, рассмотренному ранее.

Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида

при подходящем выборе констант (k) и (b) . Единственным исключением является особый случай, когда в выражении для углового коэффициента (k = frac) знаменатель обращается в ноль. Это происходит, если (x_1 = x_0) . Это значит, что прямая перпендикулярна оси (x) (и соответственно параллельна оси (y) ). При таких обстоятельствах (x) неизбежно утрачивает роль независимой переменной, но может формально рассматриваться как функция от (y) :

(x = 0 cdot (y — y_0) + x_0.)

В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом:

((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).)

При этом, однако, выбор двух пар параметров ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен.

Построение графика по заданной функции

Теперь давайте выясним, как построить график неоднородной линейной функции (y) от (x) , которая определяется как

где (k) и (b) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси (y) ). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров (k) и (b) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом:

Если перейти в новую, штрихованную, систему координат с началом в точке ((0, b)) и с осями (x’) и (y’) , сонаправленными с соответствующими осями старой системы, то в новых координатах уравнение примет вид:

Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции

представляет собой прямую линию при любых значениях параметров (k) и (b) . Но для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две ее произвольные точки ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) . В качестве (x_0) и (x_1) можно взять, например, соответственно ноль и единицу. Тогда

(y_0 = b) (при (x_0 = 0) ),
(y_1 = k+b,) (при (x_1 = 1) ).

Проводим прямую через точки ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров (k = frac) и (b = 1) представлен на следующем рисунке.

Конспект

(1) . Линейная функция (y = k,x + b) называется однородной при (b = 0) и неоднородной при (b ne 0.) Ее график на координатной плоскости представляет собой прямую линию, которая строится по двум произвольным точкам.

(2) . Уравнение прямой, проходящей через начало координат: (y = frac x,) где ((x_1, y_1)) — координаты произвольной точки, принадлежащей этой прямой ((x_1 ne 0).) Исключение: прямая совпадает с осью (y) . Тогда уравнение прямой: (x = 0.)

(3) . Уравнение произвольной прямой: (y-y_0 = frac (x-x_0),) где ((x_0, y_0)) и ((x_1, y_1)) — координаты двух различных произвольных точек, принадлежащих этой прямой. Исключение: прямая проходит через точку ((x_0, y_0)) параллельно оси (y) . Тогда уравнение прямой: (x = x_0) .

Видео:Уравнение прямой, проходящей через начало координатСкачать

Написать уравнение прямой проходящей через начало координат и точку а 2 3 и построить ее

Вопрос по алгебре:

Составить уравнение прямой,проходящей через начало координат и через точку (-2,3), и построить ее!

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Уравнение прямой, проходящей через две точки онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через две точки. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

Уравнение прямой, проходящей через две точки − примеры и решения

Пример 1. Построить прямую, проходящую через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2).

(1)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (1), получим:

(Здесь 0 в знаменателе не означает деление на 0).

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(2, 1, 1), B(3, 1, -2) имеет следующий вид:

Пример 2. Построить прямую, проходящую через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2).

(2)

Подставив координаты точек A и B в уравнение (2), получим:

Составим параметрическое уравнение прямой:

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1/5, 1) и B(−2, 1/2, −2) имеет следующий вид:

📸 Видео

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 клСкачать

№972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2)Скачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Метод координат. Геометрия 9 классСкачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать