Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.
- Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
- Уравнение с угловым коэффициентом
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
- Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно
- Контрольная работа: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- 🎦 Видео
Видео:Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать
Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой
Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси О х с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат О х на плоскости.
Угол наклона прямой к оси О х , расположенный в декартовой системе координат О х у на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления О х к прямой против часовой стрелки.
Когда прямая параллельна О х или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 0 . Тогда угол наклона заданной прямой α определен на промежутке [ 0 , π ) .
Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона заданной прямой.
Стандартное обозначение буквой k . Из определения получим, что k = t g α . Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.
Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.
Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.
Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120 ° .
Из условия имеем, что α = 120 ° . По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k = t g α = 120 = — 3 .
Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если k > 0 , тогда угол прямой острый и находится по формуле α = a r c t g k . Если k 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π — a r c t g k .
Определить угол наклона заданной прямой к О х при угловом коэффициенте равном 3 .
Из условия имеем, что угловой коэффициент положительный, а это значит, что угол наклона к О х меньше 90 градусов. Вычисления производятся по формуле α = a r c t g k = a r c t g 3 .
Ответ: α = a r c t g 3 .
Найти угол наклона прямой к оси О х , если угловой коэффициент = — 1 3 .
Если принять за обозначение углового коэффициента букву k , тогда α является углом наклона к заданной прямой по положительному направлению О х . Отсюда k = — 1 3 0 , тогда необходимо применить формулу α = π — a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π — a r c t g — 1 3 = π — a r c t g 1 3 = π — π 6 = 5 π 6 .
Ответ: 5 π 6 .
Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Уравнение с угловым коэффициентом
Уравнение вида y = k · x + b , где k является угловым коэффициентом, а b некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси О у .
Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид y = k · x + b . В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки М , M 1 ( x 1 , y 1 ) , в уравнение y = k · x + b , тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.
Задана прямая с угловым коэффициентом y = 1 3 x — 1 . Вычислить, принадлежат ли точки M 1 ( 3 , 0 ) и M 2 ( 2 , — 2 ) заданной прямой.
Необходимо подставить координаты точки M 1 ( 3 , 0 ) в заданное уравнение, тогда получим 0 = 1 3 · 3 — 1 ⇔ 0 = 0 . Равенство верно, значит точка принадлежит прямой.
Если подставим координаты точки M 2 ( 2 , — 2 ) , тогда получим неверное равенство вида — 2 = 1 3 · 2 — 1 ⇔ — 2 = — 1 3 . Можно сделать вывод, что точка М 2 не принадлежит прямой.
Ответ: М 1 принадлежит прямой, а М 2 нет.
Известно, что прямая определена уравнением y = k · x + b , проходящим через M 1 ( 0 , b ) , при подстановке получили равенство вида b = k · 0 + b ⇔ b = b . Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку 0 , b . Она образует угол α с положительным направлением оси О х , где k = t g α .
Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду y = 3 · x — 1 . Получим, что прямая пройдет через точку с координатой 0 , — 1 с наклоном в α = a r c t g 3 = π 3 радиан по положительному направлению оси О х . Отсюда видно, что коэффициент равен 3 .
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) .
Равенство y 1 = k · x + b можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что y — y 1 = k · ( x — x 1 ) . Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 ) .
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М 1 с координатами ( 4 , — 1 ) , с угловым коэффициентом равным — 2 .
Решение
По условию имеем, что x 1 = 4 , y 1 = — 1 , k = — 2 . Отсюда уравнение прямой запишется таким образом y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — ( — 1 ) = — 2 · ( x — 4 ) ⇔ y = — 2 x + 7 .
Ответ: y = — 2 x + 7 .
Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, которое проходит через точку М 1 с координатами ( 3 , 5 ) , параллельную прямой y = 2 x — 2 .
По условию имеем, что параллельные прямые имеют совпадающие углы наклона, отсюда значит, что угловые коэффициенты являются равными. Чтобы найти угловой коэффициент из данного уравнения, необходимо вспомнить его основную формулу y = 2 x — 2 , отсюда следует, что k = 2 . Составляем уравнение с угловым коэффициентом и получаем:
y — y 1 = k · ( x — x 1 ) ⇔ y — 5 = 2 · ( x — 3 ) ⇔ y = 2 x — 1
Видео:УЧИМСЯ ПОНИМАТЬ ЛИНЕЙНУЮ ФУНКЦИЮ. Уравнения прямой с угловым коэффициентом, по точкам и в отрезкахСкачать
Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно
Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида y = k · x + b не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.
Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем x — x 1 a x = y — y 1 a y . Необходимо слагаемое b перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида y = k · x + b ⇔ y — b = k · x ⇔ k · x k = y — b k ⇔ x 1 = y — b k .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.
Привести уравнение прямой с угловым коэффициентом y = — 3 x + 12 к каноническому виду.
Вычислим и представим в виде канонического уравнения прямой. Получим уравнение вида:
y = — 3 x + 12 ⇔ — 3 x = y — 12 ⇔ — 3 x — 3 = y — 12 — 3 ⇔ x 1 = y — 12 — 3
Ответ: x 1 = y — 12 — 3 .
Общее уравнение прямой проще всего получить из y = k · x + b , но для этого необходимо произвести преобразования: y = k · x + b ⇔ k · x — y + b = 0 . Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.
Дано уравнение прямой вида y = 1 7 x — 2 . Выяснить, является ли вектор с координатами a → = ( — 1 , 7 ) нормальным вектором прямой?
Для решения необходимо перейти к другому виду данного уравнения, для этого запишем:
y = 1 7 x — 2 ⇔ 1 7 x — y — 2 = 0
Коэффициенты перед переменными являются координатами нормального вектора прямой. Запишем это так n → = 1 7 , — 1 , отсюда 1 7 x — y — 2 = 0 . Понятно, что вектор a → = ( — 1 , 7 ) коллинеарен вектору n → = 1 7 , — 1 , так как имеем справедливое соотношение a → = — 7 · n → . Отсюда следует, что исходный вектор a → = — 1 , 7 — нормальный вектор прямой 1 7 x — y — 2 = 0 , значит, считается нормальным вектором для прямой y = 1 7 x — 2 .
Решим задачу обратную данной.
Необходимо перейти от общего вида уравнения A x + B y + C = 0 , где B ≠ 0 , к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим A x + B y + C = 0 ⇔ — A B · x — C B .
Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется — A B .
Задано уравнение прямой вида 2 3 x — 4 y + 1 = 0 . Получить уравнение данной прямой с угловым коэффициентом.
Исходя из условия, необходимо решить относительно у, тогда получим уравнение вида:
2 3 x — 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Ответ: y = 1 6 x + 1 4 .
Аналогичным образом решается уравнение вида x a + y b = 1 , которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида x — x 1 a x = y — y 1 a y . Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 — x a ⇔ y = — b a · x + b .
Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x — a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x — a y a x · x 1 + y 1
Имеется прямая, заданная уравнением x 2 + y — 3 = 1 . Привести к виду уравнения с угловым коэффициентом.
Исходя из условия, необходимо преобразовать, тогда получим уравнение вида _formula_. Обе части уравнения следует умножить на — 3 для того, чтобы получить необходимо уравнение с угловым коэффициентом. Преобразуя, получим:
y — 3 = 1 — x 2 ⇔ — 3 · y — 3 = — 3 · 1 — x 2 ⇔ y = 3 2 x — 3 .
Ответ: y = 3 2 x — 3 .
Уравнение прямой вида x — 2 2 = y + 1 5 привести к виду с угловым коэффициентом.
Необходимо выражение x — 2 2 = y + 1 5 вычислить как пропорцию. Получим, что 5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) . Теперь необходимо полностью его разрешить, для этого:
5 · ( x — 2 ) = 2 · ( y + 1 ) ⇔ 5 x — 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x — 12 ⇔ y = 5 2 x
Ответ: y = 5 2 x — 6 .
Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.
Найти угловой коэффициент прямой, если она задана параметрическими уравнениями x = λ y = — 1 + 2 · λ .
Необходимо выполнить переход от параметрического вида к угловому коэффициенту. Для этого найдем каноническое уравнение из заданного параметрического:
x = λ y = — 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Теперь необходимо разрешить данное равенство относительно y , чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. для этого запишем таким образом:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · ( y + 1 ) ⇔ y = 2 x — 1
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой равен 2 . Это записывается как k = 2 .
Видео:Угловой коэффициент прямойСкачать
Контрольная работа: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры
Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры
Найти скалярное произведение 
.
При каком значении α векторы 
и 
ортогональны?
;
;
;
;
;
;
Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.
Для прямой М 1 М 2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М 1 (0,-3) М 2 (2,1).
Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
значит для прямой М 1 М 2
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
значит для прямой М 1 М 2
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:
,
Уравнения прямой в отрезках для прямой М 1 М 2
;
В треугольнике М 0 М 1 М 2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М 0 , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М 1 М 2 .(М 0 (-1,-2); М 1 (0,-3); М 2 (2,1)).
Найдём координаты точки М 3 , координаты середины стороны М 1 М 2 :
уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
уравнение для высоты М 0 М 3 :
Найдём уравнение прямой М 1 М 2 :
Из условия перпендикулярности (k 2 =-1/k 1 ) следует, что k 2 =1/2.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
тогда уравнение для высоты примет вид:
Расстояние от точки М(x 0 ,y 0 ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М 0 (-3,-5) до прямойМ 1 М 2 , уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):
Найдём координаты точек Е иF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).
Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).
Уравнение прямой EF:
y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.
По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
(1)
Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))
(2)
Подставим (2) в (1), получим
кривая второго порядка является эллипсом.
т.к.
Координаты центра: O’(-3,-1).
Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.
1)
2) 
Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:
Ответы на вопросы
Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную 
.
Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: 
.
Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:
Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;
система приводится к лестничному виду.
Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.
Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.
т.к. detA
0, то матрица является невырожденной.
А 11 =3;А 12 = -1;А 13 = -10;А 21 =0;А 22 =0;А 23 = -1;А 31 =0;А 32 = -1;А 33 = -1.
;
.
.
.
5. Найти скалярное произведение .
При каком значении α векторы и ортогональны?
;
;
;
;
;
;
Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.
Для прямой М 1 М 2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М 1 (2,-2) М 2 (1,0).
Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
значит для прямой М 1 М 2
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
значит для прямой М 1 М 2
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:
,
здесь
Уравнения прямой в отрезках для прямой М 1 М 2
;
В треугольнике М 0 М 1 М 2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М 0 , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М 1 М 2 .(М 0 (-3,-5); М 1 (2,-2); М 2 (1,0)).
Найдём координаты точки М 3 , координаты середины стороны М 1 М 2 :
уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
уравнение для высоты М 0 М 3 :
Найдём уравнение прямой М 1 М 2 :
Из условия перпендикулярности (k 2 =-1/k 1 ) следует, что k 2 =-1/2.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
тогда уравнение для высоты примет вид:
Расстояние от точки М(x 0 ,y 0 ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М 0 (-3,-5) до прямойМ 1 М 2 , уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):
Найдём координаты точек Е иF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).
Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).
Уравнение прямой EF:
y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.
По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
(1)
Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))
(2)
Подставим (2) в (1), получим
кривая второго порядка является эллипсом.
т.к.
Координаты центра: O’(-2,2).
Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.
1) 
2) 
Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:
Ответы на вопросы
Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .
Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:
.
Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:
Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;
система приводится к лестничному виду.
Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.
Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.
r=2; система совместима.
х 3,x 4 – свободные переменные
;
.
т.к. detA0, то матрица невырождена.
А 11 =-1; А 12 =-3; А 13 =-1;А 21 =-3;А 22 =1;А 23 =2;А 31 =2;А 32 =-1;А 33 = -3.
.
Видео:Уравнение прямой на плоскостиСкачать
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости, где имеется прямоугольная декартова система координат, прямая l проходит через точку М0 параллельно направляющему вектору а (рис. 96).
Если прямая l пересекает ось Ох (в точке N), то под углом прямой l с осью Ох будем понимать угол α, на который необходимо повернуть ось Ох вокруг точки N в направлении, обратном вращению часовой стрелки, чтобы ось Ох совпала с прямой l. (Имеется в виду угол, меньший 180°.)
Этот угол называют углом наклона прямой. Если прямая l параллельна оси Ох, то угол наклона принимается равным нулю (рис. 97).
Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обычно обозначается буквой k:
Если α = 0, то и k = 0; это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю.
Если α = 90°, то k = tg α не имеет смысла: это означает, что прямая, перпендикулярная оси Ох (т. е. параллельная оси Оу), не имеет углового коэффициента.
Угловой коэффициент прямой можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой. Пусть даны две точки прямой: M1(x1; у1) и M2(x2; у2) и пусть, например, 0 x1, у2 > у1 (рис. 98).
Тогда из прямоугольного треугольника M1РM2 находим
Аналогично доказывается, что формула (2) верна и в случае 90° 3 х + 3у — 7 = 0.
Приведем данное уравнение к виду
Следовательно, k = tg α = — 1 /√ 3 , откуда α = 150°
Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; -4), с угловым коэффициентом k = 2 /5
Задача 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q (-3; 4) и составляющей с положительным направлением оси Ох угол 30°.
Если α = 30°, то k = tg 30° = √ 3 /3. Подставив в уравнение (4) значения x1, y1 и k, получим
🎦 Видео
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Угловой коэффициент прямой. Решение задач.Скачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом проходящей через точкуСкачать
Видеоурок "Общее уравнение прямой"Скачать
§11 Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскостиСкачать
Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Уравнение прямой на плоскости. Решение задачСкачать
Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать
