Написать с помощью определителя третьего порядка уравнение прямой проходящей через точки

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a , проходящей через две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , задается прямоугольная система координат О х у с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a , которая пройдет через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) .

Прямая а имеет направляющий вектор M 1 M 2 → с координатами ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) , так как пересекает точки М 1 и М 2 . Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение с координатами направляющего вектора M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) и координатами лежащих на них точках M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) . Получим уравнение вида x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ .

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

Записать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки с координатами M 1 — 5 , 2 3 , M 2 1 , — 1 6 .

Каноническим уравнением для прямой, пересекающейся в двух точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 принимает вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . По условию задачи имеем, что x 1 = — 5 , y 1 = 2 3 , x 2 = 1 , y 2 = — 1 6 . Необходимо подставить числовые значения в уравнение x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 . Отсюда получим, что каноническое уравнение примет вид x — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) = y — 2 3 — 1 6 — 2 3 ⇔ x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

Ответ: x + 5 6 = y — 2 3 — 5 6 .

При необходимости решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки с координатами M 1 ( 1 , 1 ) и M 2 ( 4 , 2 ) в системе координат О х у .

Для начала необходимо записать каноническое уравнение заданной прямой, которая проходит через заданные две точки. Получим уравнение вида x — 1 4 — 1 = y — 1 2 — 1 ⇔ x — 1 3 = y — 1 1 .

Приведем каноническое уравнение к искомому виду, тогда получим:

x — 1 3 = y — 1 1 ⇔ 1 · x — 1 = 3 · y — 1 ⇔ x — 3 y + 2 = 0

Ответ: x — 3 y + 2 = 0 .

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k x + b . Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b , при которых уравнение y = k x + b определяет линию в системе О х у , которая проходит через точки M 1 ( x 1 , y 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x 1 ≠ x 2 . Когда x 1 = x 2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М 1 М 2 определена общим неполным уравнением вида x — x 1 = 0 .

Потому как точки М 1 и М 2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b . Следует решить систему уравнений y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b относительно k и b .

Для этого найдем k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 1 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или k = y 2 — y 1 x 2 — x 1 b = y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 1 или y = y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x + y 2 — y 2 — y 1 x 2 — x 1 · x 2 .

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки с координатами M 2 ( 2 , 1 ) и y = k x + b .

Для решения задачи применяем формулу с угловым коэффициентом, имеющую вид y = k x + b . Коэффициенты k и b должны принимать такое значение, чтобы данное уравнение соответствовало прямой, проходящей через две точки с координатами M 1 ( — 7 , — 5 ) и M 2 ( 2 , 1 ) .

Точки М 1 и М 2 располагаются на прямой, тогда их координаты должны обращать уравнение y = k x + b верное равенство. Отсюда получаем, что — 5 = k · ( — 7 ) + b и 1 = k · 2 + b . Объединим уравнение в систему — 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b и решим.

При подстановке получаем, что

— 5 = k · — 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = — 5 + 7 k 2 k — 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = — 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = — 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = — 1 3 k = 2 3

Теперь значения k = 2 3 и b = — 1 3 подвергаются подстановке в уравнение y = k x + b . Получаем, что искомым уравнением, проходящим через заданные точки, будет уравнение, имеющее вид y = 2 3 x — 1 3 .

Такой способ решения предопределяет траты большого количества времени. Существует способ, при котором задание решается буквально в два действия.

Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через M 2 ( 2 , 1 ) и M 1 ( — 7 , — 5 ) , имеющее вид x — ( — 7 ) 2 — ( — 7 ) = y — ( — 5 ) 1 — ( — 5 ) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Теперь переходим к уравнению в угловым коэффициентом. Получаем, что: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · ( x + 7 ) = 9 · ( y + 5 ) ⇔ y = 2 3 x — 1 3 .

Ответ: y = 2 3 x — 1 3 .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат О х у z с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , проходящая через них прямая M 1 M 2 , необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z и параметрические вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ способны задать линию в системе координат О х у z , проходящую через точки, имеющие координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y , a z ) .

Прямая M 1 M 2 имеет направляющий вектор вида M 1 M 2 → = ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) , где прямая проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , отсюда каноническое уравнение может быть вида x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 или x — x 2 x 2 — x 1 = y — y 2 y 2 — y 1 = z — z 2 z 2 — z 1 , в свою очередь параметрические x = x 1 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 1 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 1 + ( z 2 — z 1 ) · λ или x = x 2 + ( x 2 — x 1 ) · λ y = y 2 + ( y 2 — y 1 ) · λ z = z 2 + ( z 2 — z 1 ) · λ .

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве и уравнение прямой.

Написать уравнение прямой, определенной в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства, проходящей через заданные две точки с координатами M 1 ( 2 , — 3 , 0 ) и M 2 ( 1 , — 3 , — 5 ) .

Необходимо найти каноническое уравнение. Так как речь идет о трехмерном пространстве, значит при прохождении прямой через заданные точки, искомое каноническое уравнение примет вид x — x 1 x 2 — x 1 = y — y 1 y 2 — y 1 = z — z 1 z 2 — z 1 .

По условию имеем, что x 1 = 2 , y 1 = — 3 , z 1 = 0 , x 2 = 1 , y 2 = — 3 , z 2 = — 5 . Отсюда следует, что необходимые уравнения запишутся таким образом:

x — 2 1 — 2 = y — ( — 3 ) — 3 — ( — 3 ) = z — 0 — 5 — 0 ⇔ x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5

Ответ: x — 2 — 1 = y + 3 0 = z — 5 .

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

Задача C2: уравнение плоскости через определитель

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости. Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока — «Матрицы и определители». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ — подставить координаты в уравнение Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием обоснований и доказательств.

Видео:№972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2)Скачать

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала — теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

a = 1 · 1 · ( z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · ( z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (− x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − ( x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, рекомендуется — чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель — и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит а в какой — Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Видео:Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Метод координат. Геометрия 9 классСкачать

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

Берем любую точку из первой тройки (например, и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы — и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка как раз то, что мы искали.

Видео:Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2. Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Итак, рассматриваем 4 точки:

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

a = 0 · 1 · ( z − 1) + 1 · 0 · ( x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · ( x − 1) + 1 · (−1) · ( z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = ( x − 1) · 1 · (−1) + ( z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = ( z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + ( x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку но вполне можно было взять В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Применение определителей к решению некоторых задач аналитической геометрии

На плоскости уравнение прямой, проходящей через две данные точки, имеет вид:

– формула (3) в п. 4

Это же уравнение можно получить и с помощью определителя, а именно:

(10)

Чтобы убедиться, что это уравнение действительно определяет прямую, достаточно применить правило Сарруса к определителю.

С помощью формулы (10) легко получить условие принадлежности трех точек одной прямой, Если точки М₁(х₁, у₁), М₂(х₂, у₂) и М₃(х₃, у₃) лежат на одной прямой, то справедливо равенство

.

Без доказательства приведем формулу для вычисления площади треугольника по координатам его вершин:

или (11)

При вычислении определителя может получиться отрицательное число и, чтобы площадь S была положительным числом, следует взять либо абсолютную величину (модуль) определителя, либо выбрать нужный знак.

В векторной алгебре широко используются определители при рассмотрении таких операций как векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов и т. д. Не имея возможности остановиться подробно на этих вопросах, мы тем не менее приведем некоторые формулы, которые используются при решении геометрических задач.

Если известны координаты трех векторов , , , то объем V параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах, вычисляется по формуле:

. (12)

Тогда очевидно, что если векторы , и компланарны (т. е. лежат в одной или в параллельных плоскостях), то

При помощи этой формулы получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М₁(х₁, у₁, z₁), М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(х₃, у₃, z₃). Векторы будут компланарны, если точка М(х, у, z) – любая точка этой плоскости.

Запишем координаты этих векторов:

).

Используя условие компланарности, получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

(13)

Наконец, условие принадлежности четырех данных точек М₁, М₂, М₃ и М₄ одной плоскости имеет вид:

Даны вершины пирамиды А(0, 0, 2), В(3, 0, 5), С(1, 1, 0), D(4, 1, 2). Вычислить объем пирамиды и составить уравнение ее грани АВС.

Найдем координаты векторов, выходящих из одной вершины:

Эти векторы служат ребрами пирамиды, объем которой составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах. Поэтому объем V пирамиды:

Заметим, что поскольку определитель равен –3, следует в формуле для вычисления объема выбрать знак минус. Итак, объем V= куб. ед.

Грань АВС лежит в плоскости, проходящей через точки А(0, 0, 2), В(3, 0, 5), С(1, 1, 0).

Поэтому уравнение этой плоскости:

или

Итак, уравнение искомой плоскости 3z – 6 + 3у – 3х + 6у = 0 или

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки. Урок 3. Геометрия 8 класс.Скачать

Определители второго и третьего порядка. Цель курса Ознакомление учащихся с понятиями «определитель второго порядка», «определитель третьего порядка», — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемДенис Строкин

Похожие презентации

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Презентация на тему: » Определители второго и третьего порядка. Цель курса Ознакомление учащихся с понятиями «определитель второго порядка», «определитель третьего порядка»,» — Транскрипт:

1 Определители второго и третьего порядка

2 Цель курса Ознакомление учащихся с понятиями «определитель второго порядка», «определитель третьего порядка», с новыми методами решения систем 2-ух линейных уравнений с двумя неизвестными, решение систем 2-ух линейных уравнений с тремя неизвестными; систем 3-ех линейных уравнений с тремя неизвестными. Научить школьников решать геометрические задачи с применением определителей (на объем параллелепипеда, объема тетраэдра и др.). Ознакомление учащихся с понятиями «определитель второго порядка», «определитель третьего порядка», с новыми методами решения систем 2-ух линейных уравнений с двумя неизвестными, решение систем 2-ух линейных уравнений с тремя неизвестными; систем 3-ех линейных уравнений с тремя неизвестными. Научить школьников решать геометрические задачи с применением определителей (на объем параллелепипеда, объема тетраэдра и др.).

3 Основные задачи: — подготовить учащихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ; — подготовить учащихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ; — подготовить учащихся к поступлению в вуз; — подготовить учащихся к поступлению в вуз; — научить решать нестандартные задачи; — научить решать нестандартные задачи; — научить различным приемам, помогающим успешно справиться с заданиями централизованного тестирования; — научить различным приемам, помогающим успешно справиться с заданиями централизованного тестирования; — расширить представления учащихся о математике как науке. — расширить представления учащихся о математике как науке.

4 Курс состоит из трех частей: первая часть способствует формированию понятия определителей 2-го и 3-го порядка и изучение их свойств; первая часть способствует формированию понятия определителей 2-го и 3-го порядка и изучение их свойств; вторая часть отведена под решение систем 2-ух уравнений с тремя неизвестными и систем 3-ех уравнений с тремя неизвестными; вторая часть отведена под решение систем 2-ух уравнений с тремя неизвестными и систем 3-ех уравнений с тремя неизвестными; третья часть посвящена применению определителей при решении планиметрических и стереометрических задач. третья часть посвящена применению определителей при решении планиметрических и стереометрических задач. На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать умения по решению геометрических задач и систем уравнений, предложенных для самостоятельного решения. На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать умения по решению геометрических задач и систем уравнений, предложенных для самостоятельного решения.

5 Понятие определителя. Понятие определителя. Когда нам нужно записать сумму двух чисел а и b, мы используем знак «+» и пишем а + b, для записи разности двух чисел используется знак «-» и т.д. Большую роль в математике играет еще одна форма записи алгебраических действий, которая понадобиться для изучения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Выглядит эта форма записи так: а b с d с d

6 Итак, a b = ad – cb Итак, a b = ad – cb c d c d Числа a, b, c, d называются элементами определителя Числа a, b, c, d называются элементами определителя = 2*(-6) – (-5)*(-3) = -12 – 15 = = 2*(-6) – (-5)*(-3) = -12 – 15 = = -27 = -27

7 Определитель третьего порядка а) Определитель вида а) Определитель вида a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3 называется определителем третьего порядка. называется определителем третьего порядка. Его можно вычислить следующим образом Δ = a1b2c3 + a2b3c1 + a3c2b1 – a3b2c1 – b3c2a1 – a2b1c3 (2) Его можно вычислить следующим образом Δ = a1b2c3 + a2b3c1 + a3c2b1 – a3b2c1 – b3c2a1 – a2b1c3 (2) Для ее запоминания получено следующее правило Для ее запоминания получено следующее правило * * * * * * * * * * * *

8 . Вычислить определитель:. Вычислить определитель: Решение. Решение = 1*1*5 + 2*(-1)*0 + 3*2*2 – 3*1*0 – 2*(-1)*1 – 5*2*2 = -1. = 1*1*5 + 2*(-1)*0 + 3*2*2 – 3*1*0 – 2*(-1)*1 – 5*2*2 = -1.

9 Применение определителей к решению геометрических задач: -условие параллельности и пересечения прямых; -условие параллельности и пересечения прямых; -уравнение прямой, проходящей через две данные точки; -уравнение прямой, проходящей через две данные точки; -площадь треугольника, площадь многоугольника; -площадь треугольника, площадь многоугольника; -признак компланарности векторов; -признак компланарности векторов; -объем параллелепипеда; объем тетраэдра, нахождение высоты тетраэдра -объем параллелепипеда; объем тетраэдра, нахождение высоты тетраэдра

10 Задача Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(-3;2) Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(-3;2) Решение: Уравнение прямой имеет вид: ах + bу +с =0. Т. к. точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению: Решение: Уравнение прямой имеет вид: ах + bу +с =0. Т. к. точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению: а*1 + b*(-1) + с =0, а*(-3) +b*2 + с = 0, а*1 + b*(-1) + с =0, а*(-3) +b*2 + с = 0, Или а –b + с = 0, -3а + 2b +с =0 Или а –b + с = 0, -3а + 2b +с =0 Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: 3сх + 4су + с = 0. При любом с не равном 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде: 3х + 4у + 1 = 0 3сх + 4су + с = 0. При любом с не равном 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде: 3х + 4у + 1 = 0

11 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Прямая, проходящая через две данные точки А(х1;у1) и В(х2;у2) представляется уравнением: Прямая, проходящая через две данные точки А(х1;у1) и В(х2;у2) представляется уравнением: Х1 – х2 у2 – у1 Х1 – х2 у2 – у1 Х – х1 у – у1 = 0 Х – х1 у – у1 = 0

12 Составить уравнение прямой, проходящей через точки (1;5) и (3;9) Решение: Решение: – – 5 х – 1 у – 5 = 0, х – 1 у – 5 = 0, х – 1 У – 5 = 0, т. е. х – 1 У – 5 = 0, т. е. 2(у -5) – 4(х -1) = 0 2(у -5) – 4(х -1) = 0 2х – у + 3 = 0 2х – у + 3 = 0

13 Пример. Компланарны ли векторы m, n, p? Решение. 1 способ. Векторы m и n не коллинеарны, т. к. координаты одного вектора не пропорциональны координатам другого. Если вектор p можно разложить по векторам m и n, то векторы m, n, p компланарны. А если нельзя. То векторы некомпланарны. Т. о., для решения задачи нужно установить, существует ли числа х и у, такие, что p = xm + yn. Запишем это равенство в координатах: -1 = х + у; 2 = у; 4 = 2х – у. Из первого и второго уравнения находим х и у: х = -3; у = 2. Но эти значения х и у не удовлетворяют третьему векторы уравнению. Следовательно, вектор p нельзя разложить по векторам m и n, поэтому данные некомпланарны. Пример. Компланарны ли векторы m, n, p? Решение. 1 способ. Векторы m и n не коллинеарны, т. к. координаты одного вектора не пропорциональны координатам другого. Если вектор p можно разложить по векторам m и n, то векторы m, n, p компланарны. А если нельзя. То векторы некомпланарны. Т. о., для решения задачи нужно установить, существует ли числа х и у, такие, что p = xm + yn. Запишем это равенство в координатах: -1 = х + у; 2 = у; 4 = 2х – у. Из первого и второго уравнения находим х и у: х = -3; у = 2. Но эти значения х и у не удовлетворяют третьему векторы уравнению. Следовательно, вектор p нельзя разложить по векторам m и n, поэтому данные некомпланарны.

14 2 способ Компланарность векторов можно установить с помощью определителя Компланарность векторов можно установить с помощью определителя = 1*1*4 + 0*(-1)*(-1) + 1*2*2 – 2*1*(-1) – 1*(-1)*(-2) – 1*0*4 = 8. = 1*1*4 + 0*(-1)*(-1) + 1*2*2 – 2*1*(-1) – 1*(-1)*(-2) – 1*0*4 = 8. Т. к. определитель отличен от нуля, то векторы некомпланарны. Т. к. определитель отличен от нуля, то векторы некомпланарны.

15 Пример решения геометрической задачи ( из ЕГЭ 2007 ). Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(2;0;0), А2(0;3;0), А3(0;0;6), А4(2;3;8) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3.. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1(2;0;0), А2(0;3;0), А3(0;0;6), А4(2;3;8) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3. Решение. Решение. Зададим векторы А1А2, A1A3, A1A4. Зададим векторы А1А2, A1A3, A1A4 V = 1/ V = 1/ = 1/6 ( *3*(-2)-3*(-2)*8 = 1/6 (36+48) = 1/6*84 = 14. = 1/6 ( *3*(-2)-3*(-2)*8 = 1/6 (36+48) = 1/6*84 = 14. V = 1/3 SΔ A1A2A3 h, h = (3V)/ SΔ A1A2A3 V = 1/3 SΔ A1A2A3 h, h = (3V)/ SΔ A1A2A3 i j k i j k S Δ A1A2A3 = ½ | | S Δ A1A2A3 = ½ | | = ½ | 18i + 12j + 6k | = ½ = ½ 504 = = ½ | 18i + 12j + 6k | = ½ = ½ 504 = = ½ * 6 14 = Значит, h = (3*14)/3 14 = 14. = ½ * 6 14 = Значит, h = (3*14)/3 14 = 14.

16 Планируемые результаты: — овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; — овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне; — развитие логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложениях в будущей профессиональной деятельности; — развитие логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложениях в будущей профессиональной деятельности; — овладение навыками компетентности личности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, в социально- трудовой и бытовой сфере; — овладение навыками компетентности личности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, в социально- трудовой и бытовой сфере; — формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения находить, формулировать и решать проблемы. — формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения находить, формулировать и решать проблемы.

17 Красота математической задачи в её краткости и логической стройности Красота математической задачи в её краткости и логической стройности К. Гаусс К. Гаусс

🎦 Видео

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Алгебра 7 класс. 26 октября. Составляем уравнение прямой проходящей через заданные точкиСкачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Уравнение прямой, проходящей через две точкиСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение окружности (1)Скачать

§51 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точкиСкачать

Уравнение прямой по двум точкамСкачать

Уравнение прямой проходящей через две точки. Урок геометрии 9 класс.Скачать