В данной статье научимся составлять уравнения прямой, проходящей через заданную точку на плоскости перпендикулярно заданной прямой. Изучим теоретические сведения, приведем наглядные примеры, где необходимо записать такое уравнение.
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Принцип составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной прямой
Перед нахождением уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. Теорема рассматривается в средней школе. Через заданную точку, лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Если имеется трехмерное пространство, то количество таких прямых увеличится до бесконечности.
Если плоскость α проходит через заданную точку М 1 перпендикулярно к заданной прямой b , то прямые, лежащие в этой плоскости, в том числе и проходящая через М 1 являются перпендикулярными заданной прямой b .
Отсюда можно прийти к выводу, что составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой применимо только для случая на плоскости.
Задачи с трехмерным пространством подразумевают поиск уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Если на плоскости с системой координат О х у z имеем прямую b , то ей соответствует уравнение прямой на плоскости, задается точка с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , а необходимо составить уравнение прямой a , которая проходит через точку М 1 , причем перпендикулярно прямой b .
По условию имеем координаты точки М 1 . Для написания уравнения прямой необходимо иметь координаты направляющего вектора прямой a , или координаты нормального вектора прямой a , или угловой коэффициент прямой a .
Необходимо получить данные из заданного уравнения прямой b . По условию прямые a и b перпендикулярные, значит, направляющий вектор прямой b считается нормальным вектором прямой a . Отсюда получим, что угловые коэффициенты обозначаются как k b и k a . Они связаны при помощи соотношения k b · k a = — 1 .
Получили, что направляющий вектор прямой b имеет вид b → = ( b x , b y ) , отсюда нормальный вектор — n a → = ( A 2 , B 2 ) , где значения A 2 = b x , B 2 = b y . Тогда запишем общее уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) , имеющее нормальный вектор n a → = ( A 2 , B 2 ) , имеющее вид A 2 · ( x — x 1 ) + B 2 · ( y — y 1 ) = 0 .
Нормальный вектор прямой b определен и имеет вид n b → = ( A 1 , B 1 ) , тогда направляющий вектор прямой a является вектором a → = ( a x , a y ) , где значения a x = A 1 , a y = B 1 . Значит осталось составить каноническое или параметрическое уравнение прямой a , проходящее через точку с координатами M 1 ( x 1 , y 1 ) с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) , имеющее вид x — x 1 a x = y — y 1 a y или x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ соответственно.
После нахождения углового коэффициента k b прямой b можно высчитать угловой коэффициент прямой a . Он будет равен — 1 k b . Отсюда следует, что можно записать уравнение прямой a , проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 ) с угловым коэффициентом — 1 k b в виде y — y 1 = — 1 k b · ( x — x 1 ) .
Полученное уравнение прямой, проходящее через заданную точку плоскости перпендикулярно заданной. Если того требуют обстоятельства, можно переходить к другому виду данного уравнения.
Видео:12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать
Решение примеров
Рассмотрим составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости и перпендикулярно заданной прямой.
Записать уравнение прямой а, которая проходит через точку с координатами M 1 ( 7 , — 9 ) и перпендикулярна прямой b , которое задано каноническим уравнением прямой x — 2 3 = y + 4 1 .
Из условия имеем, что b → = ( 3 , 1 ) является направляющим вектором прямой x — 2 3 = y + 4 1 . Координаты вектора b → = 3 , 1 являются координатами нормального вектора прямой a , так как прямые a и b взаимно перпендикулярны. Значит, получаем n a → = ( 3 , 1 ) . Теперь необходимо записать уравнение прямой, проходящее через точку M 1 ( 7 , — 9 ) , имеющее нормальный вектор с координатами n a → = ( 3 , 1 ) .
Получим уравнение вида: 3 · ( x — 7 ) + 1 · ( y — ( — 9 ) ) = 0 ⇔ 3 x + y — 12 = 0
Полученное уравнение является искомым.
Ответ: 3 x + y — 12 = 0 .
Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат системы координат О х у z , перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .
Имеем, что n b → = ( 2 , — 1 ) является нормальным вектором заданной прямой. Отсюда a → = ( 2 , — 1 ) — координаты искомого направляющего вектора прямой.
Зафиксируем уравнение прямой, проходящую через начало координат с направляющим вектором a → = ( 2 , — 1 ) . Получим, что x — 0 2 = y + 0 — 1 ⇔ x 2 = y — 1 . Полученное выражение является уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2 x — y + 1 = 0 .
Ответ: x 2 = y — 1 .
Записать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 .
Из уравнения y = — 5 2 x + 6 угловой коэффициент имеет значение — 5 2 . Угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна ей имеет значение — 1 — 5 2 = 2 5 . Отсюда делаем вывод, что прямая, проходящая через точку с координатами M 1 ( 5 , — 3 ) перпендикулярно прямой y = — 5 2 x + 6 , равна y — ( — 3 ) = 2 5 · x — 5 ⇔ y = 2 5 x — 5 .
Видео:Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать
Уравнение перпендикулярной прямой
Как составить уравнение прямой перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку?
Пусть y=k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия перпендикулярности прямых уравнение прямой, перпендикулярной данной, имеет вид
Если эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b.
1) Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(-10;3), перпендикулярной прямой y=5x-11.
Так как прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, то
Значит уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11, имеет вид
Так как прямая проходит через точку A(-10;3), то координаты A удовлетворяют уравнению прямой:
Итак, уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=5x-11 и проходящей через точку A(-10;3)
2) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой x= -2, проходящей через точку M(-5;9).
Прямая x= -2 перпендикулярна оси абсцисс. Значит, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси абсцисс, то есть ищем уравнение прямой в виде y=b.
Так как искомая прямая проходит через точку M(-5;9), то координаты M удовлетворяют уравнению прямой: y=9.
3) Написать уравнение прямой, перпендикулярной прямой y=4, проходящей через точку F(7;-5).
Прямая y=4 перпендикулярна оси ординат. Следовательно, прямая, уравнение которой мы ищем, параллельна оси ординат, а значит, её уравнение имеет вид x=a.
Так как эта прямая проходит через точку F(7;-5), то координаты F удовлетворяют уравнению прямой: x=7.
Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Задача 55532 Составить уравнение прямой, проходящей.
Условие
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х+у-1=0 и 5х+3у-4=0, перпендикулярно прямой 5х-3у-5=0 ПРЯМ ОЧЕНЬ ПЛИЗ
Решение
Находим точку пересечения прямых.
Из уравнения прямой [m]5х–3у–5=0 [/m] находим ее[i] нормальный вектор[/i]
Этот вектор одновременно является направляющим вектором перпендикулярной прямой.
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку (-1;3) и имеющей [i]направляющий вектор[/i]
[m]3x+5y-12=0[/m] 
💥 Видео
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
Часть 8 Уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярную к заданной прямойСкачать
Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать
Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать
10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Уравнение параллельной прямойСкачать
Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать
Видеоурок "Уравнение прямой с угловым коэффициентом"Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать
Видеоурок "Общие уравнения прямой"Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
