Один из методов решения уравнений – это метод логарифмирования. Сейчас мы детально разберем его с теоретической и практической стороны. Сначала покажем, когда применяется метод логарифмирования. Дальше дадим суть метода логарифмирования. После этого перейдем к теоретическому обоснованию. Затем запишем алгоритм решения уравнений методом логарифмирования. Наконец, рассмотрим примеры применения метода при решении уравнений.
- Когда применяется
- Суть метода логарифмирования
- Обоснование метода
- Алгоритм решения уравнений методом логарифмирования
- Примеры применения
- Методика решения логарифмических уравнений
- Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
- Сложение и вычитание логарифмов.
- Что такое логарифм и как его посчитать
- Два очевидных следствия определения логарифма
- Свойства логарифмов
- Степень можно выносить за знак логарифма
- Логарифм произведения и логарифм частного
- Формула перехода к новому основанию
- Сумма логарифмов. Разница логарифмов
- Логарифмический ноль и логарифмическая единица
- Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
- Сравнение логарифмов
- Пример Найдите корень уравнения.
- Логарифмы со специальным обозначением
- Десятичный логарифм
- Натуральный логарифм
- Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
- Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
- Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств
Видео:Логарифмы, часть 4, зачем логарифмировать уравнения?Скачать
Когда применяется
Метод логарифмирования обычно применяется для решения уравнений, логарифмирование обеих частей которых позволяет избавиться от переменной в показателях степеней. Если привязываться к внешнему виду, то такими, в основном, являются:
- Уравнения, в одной части которых находится степень с переменной в показателе, произведение или частное таких степеней, возможно с положительным числовым коэффициентом, а в другой части – положительное число. В качестве примера приведем уравнение x lgx−1 =100 .
- Уравнения, в обеих частях которых находятся степени с переменной в показателях, произведение или частное таких степеней, возможно с положительными числовыми коэффициентами. Таким, например, является уравнение
.
.В частности, метод логарифмирования можно применять для решения показательных уравнений a f(x) =b и a f(x) =a g(x) , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , b>0 , а f(x) и g(x) – выражения с переменной x . Например, методом логарифмирования можно решать показательные уравнения 2 x =5 , (0,7) x+2 =(0,7) 4·x 2 −7 , 5 1−x =5 3·lgx и т.п. Однако для решения таких уравнений обычно используют метод уравнивания показателей.
Видео:Как логарифмировать выражения?Скачать
Суть метода логарифмирования
Суть метода логарифмирования состоит в логарифмировании обеих частей уравнения по одному и тому же основанию.
Это объясняет название метода.
Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать
Обоснование метода
В основе метода логарифмирования лежит следующая теорема:
Множество решений уравнения u(x)=v(x) , где u(x)>0 и v(x)>0 при любом значении переменной x из области допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения, совпадает с множеством решений уравнения logcu(x)=logcv(x) , где c – положительное и отличное от единицы число.
Нам достаточно показать, что любой корень уравнения u(x)=v(x) является корнем уравнения logcu(x)=logcv(x) , и обратно.
Для доказательства нам потребуется следующее свойство логарифмов: логарифмы двух положительных чисел a и b по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию c равны тогда и только тогда, когда равны числа a и b .
Пусть x0 – корень уравнения u(x)=v(x) . Тогда u(x0)=v(x0) – верное числовое равенство. Так как по условию u(x)>0 и v(x)>0 при любом значении переменной x из ОДЗ для этого уравнения, то u(x0) и v(x0) – положительные числа. Следовательно, в силу озвученного выше свойства из равенства u(x0)=v(x0) вытекает равенство logcu(x0)=logcv(x0) . Из него следует, что x0 – корень уравнения logcu(x)=logcv(x) .
Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения logcu(x)=logcv(x) . Тогда logcu(x0)=logcv(x0) – верное числовое равенство. Из него и из указанного выше свойства логарифмов следует, что u(x0)=v(x0) . А из этого равенства вытекает, что x0 – корень уравнения u(x)=v(x) .
Видео:§19 Логарифмические уравненияСкачать
Алгоритм решения уравнений методом логарифмирования
Информация из предыдущих пунктов позволяет записать алгоритм решения уравнений методом логарифмирования.
Чтобы решить уравнение методом логарифмирования, надо
- Убедиться, что выражения, отвечающие частям уравнения, принимают положительные значения при любом значении переменной из ОДЗ для исходного уравнения.
- Прологарифмировать обе части уравнения по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию.
- Решить полученное уравнение. Его решение является решением исходного уравнения.
Какое число брать в качестве основания при логарифмировании? По большому счету, это не имеет значения. Понятно, что целесообразно брать такое основание, при котором дальнейшие действия будут наиболее простыми. Например, уравнение 5 x 2 +5 =5 −6·x стоит логарифмировать по основанию 5 , так как это дает наиболее простое решение: 5 x 2 +5 =5 −6·x , log55 x 2 +5 =log55 −6·x , x 2 +5=−6·x , . Если выбрать любое другое основание, например, 10 , то мы придем к такому же результату, но за большее число шагов: 5 x 2 +5 =5 −6·x , lg5 x 2 +5 =lg5 −6·x , (x 2 +5)·lg5=(−6·x)·lg5 , x 2 +5=−6·x , …
Видео:Умножаем логарифмы В УМЕ🧠Скачать
Примеры применения
Осталось посмотреть, как метод логарифмирования применяется на практике. Для этого обратимся к конкретным примерам.
Решите уравнение 
методом логарифмирования.
Заданное уравнение представляет собой равенство двух степеней с положительными и отличными от единицы основаниями. Такие степени принимают только положительные значения, что следует из определения степени. Все это открывает дорогу для решения заданного уравнения методом логарифмирования.
Так как основаниями степеней в исходном уравнении являются числа 3 , то логарифмирование целесообразно проводить по основанию 3 . Логарифмирование обеих частей уравнения по основанию 3 дает уравнение 
. Оно с опорой на свойства логарифмов приводится к уравнению 
. Полученное уравнение равносильно исходному. Поэтому, решив его, мы получим нужное нам решение уравнения .
Итак, все свелось к решению уравнения . Виден общий множитель 
, который стоит вынести за скобки. Также не помешает избавиться от дроби. Это подталкивает начинать решение по методу решения уравнений через преобразования:
Все проделанные преобразования являются равносильными преобразованиями, поэтому, полученное уравнение равносильно уравнению, которое было до проведения этих преобразований. Полученное уравнение 
, очевидно, можно решить методом разложения на множители:
Первое уравнение 
— иррациональное с тривиальным решением 0 . Второе уравнение 2 x −4=0 переносом четверки в правую часть приводится к простейшему показательному уравнению 2 x =4 с легко находящимся единственным корнем 2 ( 2 x =4 , 2 x =2 2 , x=2 ). Завершающим этапом метода разложения на множители является проверка найденных корней. Проведем проверку подстановкой: оба найденных корня 0 и 2 удовлетворяют уравнению , значит, являются его корнями. Таким образом, уравнение имеет два корня 0 и 2 .
Остается сослаться на равносильность уравнения уравнению , которое в свою очередь равносильно исходному уравнению , и записать найденные корни в ответ.
При решении следующего уравнения покажем, как правильно проводить логарифмирование по основанию с переменной.
Видео:Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать
Методика решения логарифмических уравнений
Разделы: Математика
Введение
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.
Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.
При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.
История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.
Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.
Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:
(1)
Решение этих уравнений основано на следующей теореме.
Теорема 1. Уравнение 
равносильно системе
(2)
Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение
(3)
и его решения подставить в систему неравенств
(4),
задающую область определения уравнения (1).
Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).
При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.
Пример 1: Решить уравнение 
Оба значения х удовлетворяют условиям системы.
Ответ: 
Рассмотрим уравнения вида:
(5)
Их решение основано на следующей теореме
Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе
(6)
Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения 
, которые
принадлежат области определения, задаваемой условиями 
.
Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.
1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).
Пример 2: Решить уравнение 
Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:
Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ: 
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА 
.
Пример 3: Найти х, если 
Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3
3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.
Пример 4: Решить уравнение 
Оба значения х являются корнями уравнения.
Ответ: 
Пример 5: Решить уравнение 
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».
Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.
Ответ: х = 0,1; х = 100
5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.
Пример 6: Решить уравнение 
Воспользуемся формулой 
и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:
Тогда данное уравнение примет вид:
Так как 
, то это корень уравнения.
Ответ: х = 16
6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.
Пусть 
; тогда 
Учитывая, что 
После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.
Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.
Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.
Пример 7: Решить уравнение 
Решение: Построим графики функций 
и y = x
Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).
Ответ: корней нет
Пример 8: Найти х, если 
Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.
Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,
истинно
Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.
Эти корни следует искать во множестве значений х.
Допустимые значения х находятся в промежутке 
На этом промежутке функция 
убывает, а функция 
возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.
Видео:Круговорот воды в природе ➜ Решение логарифмических уравнений из ЕГЭ #ShortsСкачать
Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
Видео:показательно степенное уравнение методом логарифмирования обеих частей уравненияСкачать
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.
Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!
Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:
Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:
Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:
так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).
Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество :
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,
А значит имеет место равенство:
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Видео:Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #11 Раскладывать на множители или делитьСкачать
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. 
и преобразовываем в 
и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:
А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Видео:Решите уравнение x^((lgx)^3-5lgx)=0,0001Скачать
Два очевидных следствия определения логарифма
log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.
Видео:Логарифмические уравнения 🥷🏿Скачать
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
 |  | ||||||||||||||
|  | ||||||||||||||
|  | ||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
| ||||||||||||||
|
( формула перехода к новому основанию логарифмов ), | ||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
Видео:12/4/4логар 1Скачать  Степень можно выносить за знак логарифмаИ вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x ) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Видео:Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!Скачать  Логарифм произведения и логарифм частногоlog a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ. log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Видео:№ 339 Решить логарифмические уравнения (10-11 кл., Алимов Ш.А.)Скачать  Формула перехода к новому основаниюТот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) Видео:Нестандартное уравнение - логарифмирование | Профильная математикаСкачать  Сумма логарифмов. Разница логарифмовЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя! Видео:Методы решения логарифмических уравненийСкачать  Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице: loga a = 1 – это логарифмическая единица. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1: loga 1 = 0 – логарифмический ноль. Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать  Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерамиРешить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку! Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Воспользуемся определением логарифма и получим: Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда: Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение: Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ. Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений. Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:
Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере. Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений. Разберем другой пример: Теперь делаем проверку: Еще один пример решения логарифмического уравнения:
Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение: Видео:Подготовка к ЕГЭ #75. Решение логарифмических уравнений методом логарифмированияСкачать  Сравнение логарифмов
| ||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: 
Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: 
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.
Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.
То есть в нашем случае: 
То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:
Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:
Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: 
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: 
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: 
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней:
то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: 
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: 
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: 
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: 
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: 
Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.
Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
Применяем эти знания и получаем: 
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: 
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:
Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: 
Делаем проверку: 
Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:
Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.
Преобразуем правую часть уравнения: 
Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: 
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: 
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:
Перепишем нашу систему: 
Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: 
Теперь решаем наше уравнение: 
Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:
Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.