Про уравнения - легко » Статьи

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Обновлено
Содержание
  1. Метод рационализации
  2. Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)
  3. 40. Алгебра Читать 0 мин.
  4. 40.691. Метод рационализации
  5. 📸 Видео

Видео:✓ Метод рационализации | Ботай со мной #014 | Борис ТрушинСкачать

✓ Метод рационализации | Ботай со мной #014 | Борис Трушин

Метод рационализации

(blacktriangleright) Метод рационализации — это способ решения некоторых неравенств, который позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления.

(blacktriangleright) Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида [<Large<(h(x))^geqslant (h(x))^>>]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: [ <large<left[beginbegin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x) end\[1ex] &begin 0

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: [ <large< begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))geqslant 0\[1ex] h(x)>0 end>>]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно [(a)quad left[begin begin &begin h(x)geqslant1\ f(x)geqslant g(x) end\[1ex] &begin h(x)leqslant 1\ f(x)leqslant g(x) end end end right.]

Совокупность равносильна [(b)quad left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x)\ h(x)=1 end\[1ex] &begin 0

Заметим, что решение совокупности ((a)) плюс условие (h(x)>0) и решение совокупности ((b)) полностью совпадают.

(blacktriangleright) Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида [<Large<log_geqslant log_>>]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: [ <large<left[beginbegin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end\[1ex] &begin 0 0 end end end right.>>]

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: [ <large<begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))geqslant 0\[1ex] f(x)>0\ g(x)>0\ h(x)>0\ h(x)ne 1 end>>]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие (h(x)ne 1) равносильно [(c)quad left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x) end\[1ex] &begin h(x)

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) [(d) quad begin f(x)>0\ g(x)>0\ h(x)>0\[1ex] left[begin begin &begin h(x)>1\ f(x)geqslant g(x) end\ &begin h(x)

Заметим, что решение совокупности ((c)) плюс условия (f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0) и решение совокупности ((d)) полностью совпадают.

(blacktriangleright) Если (f(x), h(x), g(x)) — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих удобство использования метода рационализации.

Пример 1. Решить неравенство (log_<dfrac>leqslant 1)

Выпишем и решим ОДЗ отдельно: [begin x^2-1>0\ x^2-1ne 1\[1ex] dfrac>0 endLeftrightarrow begin (x-1)(x+1)>0\ xne pm sqrt 2\[1ex] dfrac>0 endLeftrightarrow begin xin (-infty;-1)cup(1;+infty)\ xne pm sqrt 2\ xin (-2,5;-1)cup(1;+infty) end Leftrightarrow]

[Leftrightarrow xin (-2,5;-sqrt 2)cup(-sqrt 2;-1)cup(1;sqrt 2)cup(sqrt 2;+infty)]

Тогда на ОДЗ, учитывая, что (1=log_) , наше неравенство равносильно неравенству

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях
Таким образом, решением будут (xin (-infty;-2]cup[-sqrt2;-1)cup[1;sqrt2]cup[2;+infty))

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим [xin (-2,5;-2]cup(-sqrt2;-1)cup(1;sqrt2)cup[2;+infty)]

(blacktriangleright) Более общий случай применения метода рационализации:
если неравенство представлено в виде (F(x)lor 0) ( (lor) — один из знаков (geqslant, leqslant, >, ), причем функция (F(x)) является произведением и/или частным нескольких множителей, то на ОДЗ:

если какой-то множитель имеет вид (h(x)^-h(x)^) , то его можно заменить на ((h-1)(f-g)) ;

если какой-то множитель имеет вид (log_f(x)-log_g(x)) , то его можно заменить на ((h-1)(f-g)) .

Пример 2. Решить неравенство ((3+x-2x^2)log_geqslant 0) .

Данное неравенство можно переписать в виде ((3+x-2x^2)(log_-log_1)geqslant 0) (т.к. (log_a1=0) ).

Таким образом, неравенство представлено в необходимом нам виде: справа ноль, слева произведение двух скобок, причем одна из них — разность логарифмов с одинаковым основанием. Выпишем отдельно ОДЗ:

(begin x+2>0\x+2ne 1\ 3x+5>0 end Leftrightarrow xin left(-frac53;-1right)cupbig(-1;+inftybig))

Тогда на ОДЗ можно заменить второй множитель по методу рационализации, т.е. исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству:

((3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)geqslant 0 Leftrightarrow (2x^2-x-3)(x+1)(3x+4)leqslant 0 Leftrightarrow)

( Leftrightarrow (2x-3)(x+1)(x+1)(3x+4)leqslant 0 Leftrightarrow xin left[-frac43;frac32right])

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: (xin left[-frac43;-1right)cupleft(-1;frac32right])

Пример 3. Решить неравенство ((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)leqslant0)

Данное неравенство уже представлено в нужном нам виде: справа ноль, слева произведение трех множителей. ОДЗ данного неравенства: (xinmathbb) .

Таким образом, неравенство равносильно:

((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^)(5x^2-9x-2)leqslant 0 Leftrightarrow)

(Leftrightarrow (3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)leqslant0 Leftrightarrow)

(Leftrightarrow 2cdot (-0,75)x(x+2)(x-2)(5x+1)leqslant0 Leftrightarrow x(x+2)(x-2)(5x+1)geqslant0) ,
т.к. мы разделили правую и левую часть на отрицательное число (-0,75) .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим (xin (-infty;-2big]cupleft[-frac15;0right]cupbig[2;+infty))

Заметим, что даже если в основании степени или логарифма находится конкретное число (a) , а не функция (h(x)) , то скобку ((a-1)) опускать нельзя.

Найдем ОДЗ данного неравенства:

(begin x^2-1geqslant 0\ x+2>0\ x^2>0 end Rightarrow begin xgeqslant1 text xleqslant -1\ x>-2\ xne 0 end quad Rightarrow xin (-2;-1]cup [1;+infty))

Решим данное неравенство на ОДЗ.

На ОДЗ (log_5(x+2)=log_(x+2)^2) , следовательно, применяя метод рационализации, получим:

Заметим, что (sqrtgeqslant 0) при всех (x) из ОДЗ, причем в точках (x=pm 1) выражение (sqrt=0) . Таким образом, это выражение не будет влиять на знак левой части, но точки (x=pm1) будут являться решением неравенства, т.к. при этих (x) левая часть неравенства равна (0) . Следовательно, данное неравенство на ОДЗ будет равносильно:

Решим неравенство из совокупности методом интервалов:

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Таким образом, решением данной совокупности будут

(xin [-1; -frac12big]cupbig[frac12;2)cup Leftrightarrow xin [-1; -frac12big]cupbig[frac12;2))

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим итоговый ответ: (xin cup[1;2))

Видео:Метод рационализации при решении неравенств | ЕГЭ по профильной математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Метод рационализации при решении неравенств | ЕГЭ по профильной математике | Эйджей из Вебиума

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения ( x − 3) 2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхи Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхтакже равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхи Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхне являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3Cx-1%3E%3Cx-3%3E%3E0″ /> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства log_5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex%3Elog_%3C2%3E5″ /> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″ /> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″ />. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex-log_%3C2%3E5%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″ /> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхбудет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхто при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях, где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое ( f − g) ( a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множительНа что заменить
log h f − log h g( h − 1) ( f − g)
log h f − 1( h − 1) ( f − h)
log h f( h − 1) ( f − 1)
h f − h g( h − 1) ( f − g)
h f − 1( h − 1) · f
f h − g h( f − g) · h
f, g — функции от x.
h — функция или число.

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), — обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1. Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

ОДЗ неравенства: Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхзаменим на (2 − x − 1)( x + 2 − 1). Множитель вида Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхзаменим на ( x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

Решим его методом интервалов:

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Ответ: Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

2. Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Заметим, что выражение Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхположительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях
Поделим обе части неравенства на 5 x > 0:

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхНеравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2 x − 1 в виде степени с основанием 3.

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхНеравенство примет вид:

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхВоспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на ( h − 1) ( f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхОценим Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях. Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхМожно ли использовать метод рационализации в уравненияхМожно ли использовать метод рационализации в уравненияхМожно ли использовать метод рационализации в уравненияхОтвет: Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

3. Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

0;\ x+1neq 0. endright.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E0;%5C%5C&space;x+1%5Cneq&space;0.&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x 2 тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхПреобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log2 x = t

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхТеперь обе части неравенства можно сократить на 5 t > 0.

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях
Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Поскольку Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях, выражение 2 t−1 можно записать как 3 ( t−1)·log32

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхМожно ли использовать метод рационализации в уравненияхМожно ли использовать метод рационализации в уравненияхМожно ли использовать метод рационализации в уравненияхМожно ли использовать метод рационализации в уравненияхЗаметим, что log32 − 2 t. Решим его:

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхИтак, t ≥ 1 или t ≤ log32 − 2.
Вернемся к переменной x:

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхили Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Ответ: Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

4. Еще одна задача из той же серии.

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхЗапишем ОДЗ:

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхУмножим обе части неравенства на 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log%5E%3C2%3E_%3C2%3E32x%3E0″ />. Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхПоделим обе части неравенства на 0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2%5E%3Clog_%3C2%3E(4x)%3E%3E0.» />

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхХорошо бы сделать замену. Пусть log2(4 x) = t. Тогда:

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхНеравенство примет вид:

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях
Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2: Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхПрименим метод рационализации.

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Оценим Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхПоследовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.
Напомним, что множитель log h f можно заменить на ( h-1)( f-1), а множитель (log h f — 1) — на ( h — 1)( f — h).

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Поскольку 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x+5)%5E%3C2%3E%3E0″ /> при x ∈ ОДЗ, а 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2x%5E%3C2%3E+10x+14%3E0″ /> > 0 при всех x, получим:

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхОтвет: x ∈ (-5; -3]

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство:

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на

Поскольку , поделим обе части неравенства на

Применяя метод рационализации, множитель вида заменяем на

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить и ?

Что больше? Давайте представим как логарифм с основанием

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что

Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим

Решить ее легко.

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме

По методу рационализации, каждый из множителей вида заменяем на

Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Видео:Метод рационализации запретили? Разоблачение. Как не получить 0 баллов за №15 на ЕГЭ 2021?Скачать

Метод рационализации запретили? Разоблачение. Как не получить 0 баллов за №15 на ЕГЭ 2021?

40. Алгебра Можно ли использовать метод рационализации в уравненияхЧитать 0 мин.

Видео:№15 на неравенства из ЕГЭ 2024 по математике | Почему запретили метод рационализации?Скачать

№15 на неравенства из ЕГЭ 2024 по математике | Почему запретили метод рационализации?

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Выравнивание $f$Выравнивание $g$
$log_af vee log_ag$$(a — 1)(f — g)vee 0 $

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $log_(x+2) 0 \ x^2 > 0 \ x^2 neq 1 end leftrightarrow qquad begin x > -2 \ x neq 0 \ x neq pm 1 end $

Можно ли использовать метод рационализации в уравнениях

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Ответ: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Выравнивание $f$Выравнивание $g$
$(log_af — log_ag)cdot h vee 0$$(f — g)cdot h vee 0 $
$(log_fa vee log_ga)$$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) vee 0 $
$(log_hf cdot log_pq) vee 0$$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) vee 0 $
$displaystylefrac vee 0$$displaystylefrac

vee 0$

$ begin 12x^2-41x+35 > 0, \ 2x^2-5x+3 > 0, \ 12x^2-41x+35 neq 1, \ 2x^2-5x+3 neq 1, \ 3 — x > 0 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ 12x^2 — 41x + 35 neq 0, \ 2x^2 — 5x + 2 neq 0, \ -x > -3 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ (x — displaystylefrac)(x — 2) neq 0, \ (x — 2)(x — displaystylefrac) neq 0, \ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \ -13x(2x-13)(x — displaystylefrac) > 0, \ 2x(x — displaystylefrac)(x — frac) 0, x neq 1$

📸 Видео

Метод рационализации за 1 минуту! #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #fypСкачать

Метод рационализации за 1 минуту! #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #fyp

Метод рационализации. ЛогарифмыСкачать

Метод рационализации. Логарифмы

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в ЕГЭ 2024 (Математика Профиль)Скачать

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в ЕГЭ 2024 (Математика Профиль)

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в неравенствах 🔴Скачать

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в неравенствах 🔴

✓ Метод рационализации в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 14. Математика | Борис ТрушинСкачать

✓ Метод рационализации в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 14. Математика | Борис Трушин

Метод рационализации логарифмических неравенствСкачать

Метод рационализации логарифмических неравенств

Метод рационализации. Неравенства с модулямиСкачать

Метод рационализации. Неравенства с модулями

Старт Щелчка. №14 Неравенства с нуля и до ЕГЭ за 5 часов | Логарифмы, степени для №5,6,12Скачать

Старт Щелчка. №14 Неравенства с нуля и до ЕГЭ за 5 часов | Логарифмы, степени для №5,6,12

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ // Можно и нужно ли его использовать на ЕГЭ?Скачать

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ // Можно и нужно ли его использовать на ЕГЭ?

Метод рационализации-5Скачать

Метод рационализации-5

Метод Рационализации ЗАПРЕТИЛИ??! Оформи Рационализацию ПРАВИЛЬНО!!Скачать

Метод Рационализации ЗАПРЕТИЛИ??! Оформи Рационализацию ПРАВИЛЬНО!!

Метод рационализацииСкачать

Метод рационализации

Метод рационализации — это кто? 🤔Скачать

Метод рационализации — это кто? 🤔

Показательные неравенства Часть 3 из 3 РационализацияСкачать

Показательные неравенства Часть 3 из 3 Рационализация

Метод рационализации-1Скачать

Метод рационализации-1

Задача 15 в 10 раз быстрее! Метод рационализации | ЕГЭ по математикеСкачать

Задача 15 в 10 раз быстрее! Метод рационализации | ЕГЭ по математике
Поделиться или сохранить к себе: