Может ли функция быть монотонной а при этом уравнение иметь два корня

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 5103 ; Нарушение авторских прав

Дополнительные задачи

1. Найдите максимум функции: 2 балла

2. Найдите значения функции в точках максимума 2 балла

3. Найдите длину промежутка возрастания: у = — х (х-3) 2 3 балла

4. Найдите длину конечного промежутка возрастания: 3 балла

Приложение 4а

1. Может ли функция быть монотонной, а при этом уравнение иметь два корня?

2. Может ли функция принимать каждое свое значение ровно 2 раза?

3. Может ли функция иметь два максимума и ни одного минимума?

4. Может ли функция возрастать на всей числовой оси и удовлетворять неравенству ?

5. Может ли функция иметь максимум, но не иметь наибольшего значения?

6. Может ли значение в точке максимума быть меньше значения в точке минимума?

7. Может ли наибольшее значение функции быть меньше ее наименьшего значения?

8. Могут ли совпадать наибольшее и наименьшее значения функции?

9. Может ли функция принимать свое наибольшее значение в двух разных точках?

10. Может ли функция иметь два разных наибольших значения?

Цели урока: решение тестовых заданий базового уровня , более сложного уровня , наиболее сложного уровня по теме «Производная»

Ход урока:

Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.

Организация решения тестовых заданий.
Учитель распределяет тестовые задания на четыре урока следующим образом:
Урок 93 Решение тестовых заданий базового уровня .
Урок 94 Решение тестовых заданий базового уровня и тестовых заданий более сложного уровня .
Урок 95 Решение тестовых заданий более сложного уровня .
Урок 96 Решение тестовых заданий наиболее сложного уровня .

Учебно-тренировочные тестовые задания ЕГЭ
Тестовые задания базового уровня .

А1. Производная элементарной функции	Ответы
А1.1 Вычислите , если . A) 1 B) C) -1 D) — E) 3	А
А1.2 Найдите , если A) 2,5 B) -1 C) -1 D) E) 1	А
А1.3 , ? A) B) 2 C) 1 D) E) 3	Д
А1.4 Найдите производную функции y = sin x + cos x A) 2sin2x B) 0 C) 4sinx D) sin4x E) 1	В
А1.5 Найти f’(a), если и A) -0,6 B) C) 0,8 D) E) 0,4	А
А1.6 Найдите , если A) 7 B) -5 C) 2 + 4 D) 2 — 2 E) 5	А
А1.7 Найдите производную функции: y = — sin(7x — 5) A) — cos(7x — 5) B) -7cos(7x – 5) C) cos(7x — 5) D) -cos(7x — 5) E) -7cos7x	Д
А1.8 y = 2 — cos2x. y ‘ = ? A) 2sin2x B) sin2x C) 4cos2x D) -sin2x E) -2sin2x	А
А1.9 Найдите , если A) -2 B) C) 4 D) — E) -4	Е
А1.10 Найдите , если A) B) — C) 4 D) 2 E) —	С
А2.Производная сложной функции	Ответы
А2.1 Найдите , если A) 1 B) C) D) E)	А
А2.2 Найти , если . A) B) 1 C) D) E)	В
А2.3 Найдите , если f(x) = sin 2x A) sin2x B) cos2x C) -sin2x D) -cos2x E) 2sin2x	E
А2.4 Найдите , если (x)= A) 0 B) 1 C) D) E) -1	А
А2.5 A) 3 B) 1 C) 2 D) 0 E) 2	Д
А2.6 Найдите производную функции: в точке . A) B) C) D) — E)	Д
А2.7 Вычислите если A) 5 B) 0 C) 2,5 D) — E)	В
А2.8 Найдите производную функции . A) B) C) D) E) —	Е
А2.9 Найдите , если ?(x)=x·sin2x. A) 2 B) 2 C) 2+2 D) 2-2 Е) 4	С
А2.10Найдите A) 0,625 B) 0,5 C) 0,25 D) -0,5 E) 1	А

А3. Критические точки, интервалы монотонности функции	Ответы
А3.1 Найдите все интервалы убывания функции: A) (2; 3) B) (- ; 0] и [2; 3] C) (- ; 3) D) (- ; 0) и (3; ) E) (- ; 0) и (2; )	В
А3.2Найдите промежутки возрастания функции . A) (- ; -1] и [3; ) B) [-1; 3] C) [-3; 1] D) [1; 3] E) (- ; -3] и [1; )	С
А3.3 Чему равна сумма всех целых значений аргумента функции f(x)= x — 4x + 3, при которых эта функция убывает? A) 9 B) 8 C) 10 D) 7 E) 11	С
А3.4Найти длину отрезка, на котором функция f(x) = -2x + 15x + 12 возрастает. A) 5 B) 4 C) 6 D) 4,5 E) определить нельзя	А
А3.5Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции y = f(x), если ее производная равна (x) = x(1 – x)(x – 7x + 10) A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8	С
А3.6 Все значения аргумента функции f(x) = x + 3x , для которых эта функция убывает, отложены на оси ОХ. Какова длина получившегося отрезка? A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7	С
А3.7Найдите значение функции f(x) = x + 2,5x — 2x в точке максимума. A) -8 B) 6 C) 10,5 D) -12 E) 14	В
А3.8Найдите сумму значений функции f(x) = 0,6x – 2x – 1 в точках максимума и минимума. A) -3 B) -2 C) -1 D) 1 E) 2	В
А3.9 Найдите разность между наименьшим и наибольшим значениями функции , заданной на отрезке [-3; 3]. A) -0,2 B) 0,2 C) 0,4 D) -0,8 E) 0,8	А
А3.10 Найдите сумму значений функции y = 3x – 5x – 3 в точках экстремума. A) -9 B) -6 C) -8 D) -4 E) -2	В
А4. Наибольшее, наименьшее значение функции	Ответы
А4.1 Найти наибольшее значение функции f(x) = 3x — 4x — 4 на отрезке [0; 3]. A) 10 B) 20 C) 11 D) 16 E) 18	С
А4.2 Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-1; 3]. A) 6 B) 6 C) 6 D) 6,5 E) 6	В
А4.3 Чему равна разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f(x) = x + 2x — 5 на отрезке [-1; 1] ? A) -6 B) 6 C) -5 D) 5 E) 4	В
А4.4 Найдите наибольшее значение функции y = -2x + 5x – 3. A) B) C) 5 D) -3 E)	А
А4.5 Найдите наименьшее значение функции y = 2x + 3x — 12x на отрезке [0; 2]. A) 0 B) -2 C) -5 D) -7 E) -8	Д
А4.6 Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = x — 3x + 1, заданной на отрезке [-1;4]. A) 20 B) 14 C) 15 D) 18 E) 16	А
А4.7 Найдите наименьшее значение функции на луче [-2,5; ). A) — B) C) D) — E) найти нельзя	Д
А4.8 Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 16]. A) 4 B) 8 C) -3 D) 5 E) 12	А
А4.9 Найдите наибольшее и наименьшее значение функции ?(x)=x (x-6) на отрезке [-1; 3] A) 2; -4 B) 0; -32 C) 6; -21 D) 0; -27 Е) 6; -20	Д
А4.10 Найдите наименьшее значение функции y=3x -12x-16 на отрезке [3; 8]. A) 18 B) -22 C) -25 D) -28 E) -30	С
А5. Уравнение касательной функции	Ответы
А5.1 Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = sin , в точке (x , y ) равен . Найдите x ? y . A) B) C) D) — E)	Е
А5.2 Какая из прямых параллельна касательной к кривой y = 4 – x в точке x = 2? A) y = 4 – 4x B) y = 2x + 8 C) y = x + 8 D) y = 4x + 8 E) y = 8 – 4x	А
А5.3 При каких значениях x касательная к графику функции y = 2x + 3x — 6x параллельна прямой y = 6x + 1 ? A) -2 и 3 B) 1 и 3 C) -2 и 1 D) 2 и -1 E) -1 и 3	С
А5.4В какой точке касательная, проведенная к графику функции y = x — 2x + 1, параллельна прямой y = -4(x + 1)? A) (-1; ) B) (-1; 4) C) (1; ) D) (1; 4) E) (0; 4)	В
А5.5 Через точку A(1; 4) проходят две касательные к графику функции . Найдите сумму абсцисс точек касания. A) -1 B) 1 C) D) E) —	Е
А5.6Угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе y = x – 2x в ее точке (x ; y ), равен 4. Напишите уравнение этой касательной. A) y = 4x — 4 B) y = 4x + 9 C) y = 4x + 4 D) y = 4x — 5 E) y = 4x — 9	Е
А5.7 В какой точке графика функции касательная к графику будет параллельна прямой, заданной уравнением y = -2x ? A) (-4; 0) B) (0; 4) C) (4; 0) D) (0; -4) E) (2; 4)	С
А5.8Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к окружности (x + 3) + (y – 5) = 45 в ее точке A(0; 11). A) — B) -2 C) D) 2 E)	А
А5.9В какой точке касательная, проведенная к графику функции y = x + 2x + 8, параллельна прямой y + 2x — 8 = 0? A) (-2; 8) B) (2; 8) C) (-2; -8) D) (2; -8) E) (0; 8)	А
А5.10 Прямая y = -5x + 3 параллельна касательной к графику функции f(x) = x — x. Найдите координаты точки касания. A) (-2; 6) B) (1; 0) C) (2; 4) D) (0; 0) E) (2; 2)	А

Вариант I

1. Какое равенство не задает функцию?

а) y 2 = x 2 ; б) y = x 2 ; в) y = lg x; г) y = .

2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое нельзя рассматривать как график функции?

1) Для каких функций f и g равенство f(g(x)) = x верно не на всей области определения функции f(g(x)) ?

а) f(x) = tg(x), g(x) = arctg x; б) f(x) = , g(x) = x 3 ;

Видео:Три уравнения на одну идею. Используем монотонность функций Алгебра 10-11Скачать

Может ли функция быть монотонной а при этом уравнение иметь два корня

Если — монотонная функция, то уравнение f(x)=a имеет не более одного корня.

Решить уравнение .

Решение. Левая часть данного уравнения – возрастающая функция (по свойству 1). Поэтому, согласно теореме, у него не более одного корня. При подстановке в уравнение x=7 получаем 3+2+1=6, это – верное равенство. Значит, x=7 — единственный корень.

Видео:Монотонность функции - 2, параметр. ЕГЭ по математике, профиль, 18 задание.Скачать

Теорема о корне при решении уравнений. Урок алгебры. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Использование особенностей монотонности функций для активизации творческого мышления учащихся.
2. Формирование у школьников навыков применения теоремы о корне для решения уравнений.
3. Умение обобщать, конкретизировать и анализировать изучаемый материал.
4. Обучение учащихся нестандартным способам решения задач.
5. Развитие логики и навыков самостоятельной работы.
6. Воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: учебник “Алгебра 9” (автор: Мордкович А. Г.), задачник “Алгебра 9” (авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.), книга для преподавателей “Алгебра 9” (авторы: Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А.), карточки с памяткой для самостоятельной работы по данной теме, компьютер, мультимедийный проектор, экран.

Предложенный урок расширяет программу по теме “Функции”. Учащиеся уже знакомы с основными свойствами функций, владеют навыками грамотного чтения графиков и умеют применять алгоритм исследования функций. На уроке основной упор делается на использование свойств монотонности функций для решения уравнений. Рассматривается теорема о корне. В ходе урока каждый учащийся должен достигнуть определенного уровня понимания материала, поэтому этап усвоения знаний разработан дифференцированно.

Ожидаемый результат по окончании изучения материала:

1-й уровень: каждый ученик должен знать геометрическую модель теоремы о корне и уметь установить связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

2-й уровень: каждый ученик должен знать алгоритм решения уравнений с использованием теоремы о корне и уметь применять ее для решения нестандартных задач.

На уроке рассматриваются различные виды уравнений, решаемых с помощью теоремы о корне. В дальнейшем учащимся предлагается использовать предложенный алгоритм в домашней контрольной работе (§16, задачник “Алгебра 9” авторы: Мордкович А. Г., Тульчинская Е.Е. и др.). Для организации проверочной работы используются задания из практикума (составитель автор).

Ход урока

I этап. Организационный момент (1 мин.).

II этап. Актуализация опорных знаний и умений (7 мин.).

Учитель: Необходимо повторить пройденное для того, чтобы успешно перейти к усвоению нового материала. На протяжении изучения темы “Функции” вы постепенно учились читать графики функций, используя алгоритм для их исследования. Остановимся на особенностях возрастающей и убывающей функций. Подборка материала подготовлена учащимися.

Выступление учащихся сопровождается показом презентации.

III этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель: Сегодня изучение нового материала мы начнем с доказательства теоремы о корне.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Доказательство:

Рассмотрим возрастающую функцию f(x) (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию на множестве X существует такое число b, что f(b)=a. Покажем, что b — единственный корень уравнения f(x)=a.

Допустим, что на множестве X есть еще число , такое, что f(c)=a. Тогда или c b. Но функция f(x) возрастает на множестве X, поэтому соответственно либо f(c) f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и на множестве X, кроме числа b, других корней уравнения f(x)=a нет.

Геометрическая модель теоремы о корне может быть представлена как на экране, так и на плакате.

Учитель: Давайте вместе рассмотрим следующие примеры:

Сколько корней имеет уравнение?

(1);

— x 5 = (2).

Учащиеся отмечают, что на своих областях определения функция возрастает, а функция y = — x 5 – убывает соответственно. По теореме о корне как уравнение (1), так и уравнение (2) имеют по одному корню.

Учитель: Откроем учебник на 98 стр. и обратим внимание на то, что при решении уравнения x 5 =3-2x (пример 1, рис. 79) геометрическая модель наглядно иллюстрирует следствие, которое следует из теоремы о корне:

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

По учебнику разбирается пример 1.

Опираясь на это утверждение, можем изящно решить уравнение

x 5 = 3 — 2x без чертежа, следуя следующему алгоритму:

1. заметим, что при x=1 выполняется равенство 1 5 =3-2·1,
   значит, x=1 – корень уравнения (этот корень мы угадали);
2. функция у = 3 — 2x убывает, а функция у = x 5 возрастает,
   значит, корень у заданного уравнения только один и
   этим корнем является значение x=1.

Учитель: Определим сколько решений имеет уравнение x 5 = — 3x +5 с комментированием на месте.

Решение:

1. рассмотрим функции у = x 5 и у = — 3x + 5; заметим, что область определения этих функций одинакова: D(у)=(-; +);
2. на D(у) функция у = — 3x + 5 убывает, а функция у = x 5 возрастает. Значит, по следствию из теоремы о корне, у заданного уравнения только один корень, т.е. уравнение, имеет одно решение.

Учитель: Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи, используя теорему о корне (следствие).

На экране высвечивается обобщенный алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

1. Определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b).
2. Ввести две функции y=f(x) и y=g(x).
3. Исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x)возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

IV этап. Усвоение новых знаний (23 мин.)

Учитель: Карточки и памятка для самостоятельной работы лежат у вас на столах. Приступим к выполнению заданий.

Так как нетрадиционные методы решения задач вызывают трудность у большинства учащихся, то следующее уравнение предлагается решить вместе. Для оформления решения учащийся по желанию выходит к доске (дается уравнение 2 уровня).

Решить уравнение: (3).

Решение: в начале запишем уравнение (3) в виде

,

затем воспользуемся теоремой о корне.

1. при x=5 уравнение превращается в верное числовое равенство: ; 5=5 (т.е. угадали корень уравнения – x=5).
2. заметим, что в левой части уравнения функция возрастает на D(у)=[3; +); значит, у заданного уравнения корень только один и этим корнем является значение x=5.

После того как данное задание выполнено, класс приступает к решению уравнений в зависимости от восприятия материала:

1) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными уравнениями;
2) те, у кого решение уравнений не вызывает затруднений.

В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.

1 уровень.

1. (Ответ: 0);

2. (Ответ: 2);

3. (Ответ: 3);

4. (Ответ: 4);

5. (Ответ: -2);

6. (Ответ: 1).

2 уровень.

1. (Ответ: 1);

2. (Ответ: -1);

3. (Ответ: -2);

4. (Ответ: 2);

5. (Ответ: -3);

6. (Ответ: -2);

7. (Ответ: 2).

Необходимо проверить правильность выполнения заданий, поэтому от каждой группы выступает ученик, демонстрируя решение одного из уравнений на доске.

V этап. Итог урока (2 мин.).

Подводя итог урока, учитель и ученики выясняют трудности при решении уравнений и обсуждают, на что они должны обратить внимание при выполнении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.).

Учитель: задание на дом следующее: доделать задания на карточках; если на уроке выполнено все, то воспользоваться дополнительной карточкой из материалов для самостоятельной работы; домашняя контрольная работа (§16, задачника “Алгебра 9”).

Заключительное слово учителя (1мин). Любовь к предмету не возникает просто так. Двигаясь постепенно от простого к сложному, анализируя и обобщая учебный материал, интересуясь “изящными” способами решения, можно понять красоту алгебры. Сегодня знание теории и практические навыки, что равнозначно, показали многие из вас. Особую благодарность заслуживают ребята, создавшие прекрасную презентацию. Постижение мира бесконечно: дерзайте, творите, ошибайтесь, ищите ответы на вопросы, только не “проспите” лучшие годы. “Жажда к жизни” – залог успеха.

Материалы к уроку для самостоятельной работы учащихся

1. Памятка по решению уравнений.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве (f), число a — любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Следствие.

“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”.

Алгоритм решения уравнения f(x)=a с использованием теоремы о корне:

1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
2. исследовать функцию y=f(x), стоящую в левой части уравнения, на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), то уравнение f(x)=a имеет единственный корень – x=b (ссылка на теорему).

Алгоритм решения уравнения f(x)=g(x) с использованием следствия из теоремы о корне:

Рекомендации:

Сначала, если это необходимо, уравнение привести к такому виду, чтобы было удобно исследовать на монотонность функции, стоящие в левой и правой частях уравнения, а затем следовать согласно следующему алгоритму:

1. определить при каких значениях x уравнение превращается в верное числовое равенство, (т.е. угадать корень уравнения – x=b);
2. ввести две функции y=f(x) и y=g(x);
3. исследовать y=f(x) и y=g(x) на монотонность. Если y=f(x) возрастает (убывает), а y=g(x) убывает (возрастает), то уравнение f(x)=g(x) имеет единственный корень – x=b (ссылка на следствие).

2. Практические задания.

Рекомендации: рассмотрим готовое решение уравнения (возможен такой вариант оформления).

Решить уравнение: .

Решение:

Функция f(x) = определена и монотонно возрастает на D(у)=[0; +);

На основании теоремы о корне уравнение имеет не более одного корня.

Т.к. f (1) = 4, то x = 1 – корень уравнения.

Дополнительная карточка (подбор заданий [1]).

;

;

;

;

;

.

Литература.

1. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.

📹 Видео

Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функцииСкачать

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 64x^6+4x^2=(3x+a)^3+3x+a не имеет корней.Скачать

Алгебра 10 класс. 9 сентября. Исследование функции на монотонность, используя свойства числовых неСкачать

Параметр. Серия 5. Что такое монотонная функция и как с ее помощью решать задачиСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Задачи с параметром: как использовать четность и монотонность? | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать

Свойства функции. Промежутки возрастания и убывания функции. 10 класс.Скачать

Параметры 10. Монотонность - часть 1 - теорияСкачать

✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive​​ #041 | Борис ТрушинСкачать

10 класс, 44 урок, Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумыСкачать

Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.Скачать

ЕГЭ 2024 по математике🔥№18. Параметры🔥 Монотонность. Метод xoa. МодулиСкачать

Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуляСкачать

Теория к ЕГЭ 4 | Теорема о корне | Использование монотонности при решении задач с параметромСкачать

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ — Промежутки Знакопостоянства и МонотонностиСкачать