Может ли быть в линейном уравнении квадрат

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Видео:ОГЭ математика. Задача 9. Решаем квадратное уравнение методом разложения на множителиСкачать

Линейные, квадратные и простейшие кубические уравнения. Примеры

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). [f(x)=g(x) qquad qquad (1)] Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой (x) .

Замечание

Заметим, что (x) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида ((1)) будем называть множество значений переменной (x) , при которых определены (то есть не теряют смысла) функции (f(x)) и (g(x)) .

Пример

Уравнение (dfrac =5) определено при всех значениях переменной (x) , кроме (x=1) , потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения (xin (-infty;1)cup(1;+infty)) .

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение (x) , при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число (x=3) , потому как тогда уравнение принимает вид (dfrac=5) или, что то же самое, (5=5) , что является верным равенством.

Замечание

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение (dfrac 1x=0) ни при каких значениях (x) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель (1ne 0) .

2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения (x=3) и (3x=6+x) эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение (x=3) .

Эквивалентность уравнений обозначается так: (x=3 quad Leftrightarrow quad 3x=6+x) .

Свойства уравнений

1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение (x+4=2x^2) можно переписать в виде (x+4-2x^2=0) .

2. В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение (0,5x=-2) равносильно уравнению (x=-4) , которое получено из исходного путем умножения обеих частей на (2) .

3. В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение (x+2=5x^2) после прибавления к обеим частям (-2) примет вид (x=5x^2-2) .

[<Large<text>>] Линейное уравнение – это уравнение вида [ax + b = 0qquad qquad (2)] где (ane 0,b) – числа, или уравнение, к нему сводящееся.

ОДЗ линейного уравнения ((2)) — все (x inmathbb) .

Линейное уравнение (ax+b=0) преобразуется в (ax=-b) и всегда имеет единственное решение (x=-dfrac ba) .
Например, (2x-4=0) имеет корень (x=2) . Замечание: при переносе слагаемых из одной части равенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. Например, выражение (x-5=8) преобразуется в выражение (x=8+5) .
Знак, стоящий перед слагаемым – это и есть его знак, то есть в выражении (x-5) два слагаемых: (x) и (-5) . Если перед слагаемым не стоит никакого знака, то подразумевается, что перед ним стоит знак “ (+) ”.

[<Large<text>>] Квадратное уравнение – это уравнение вида [ax^2+bx+c=0 qquad qquad (3)] где (a, b, c) – числа, причем (ane 0) , или уравнение, к нему сводящееся.

Число (a) называется старшим (первым) коэффициентом, число (b) – вторым коэффициентом, число (c) – свободным членом.

Замечание

1) Заметим, что если (a=0) , то уравнение ((3)) становится линейным; именно поэтому в определении (ane 0) .

2) Выражение (ax^2+bx+c) называется квадратичным (квадратным) трехчленом.

ВАЖНО! Обращаем ваше внимание на то, что, например, в квадратном трехчлене (7-x^2+2x) коэффициент (a=-1) , (b=2) и (c=7) ! Так как (7-x^2+2x=-x^2+2x+7) , а по определению (a) – коэффициент перед (x^2) , (b) – коэффициент перед (x) , (c) – свободный член.

Определение

Дискриминантом квадратного уравнения ((3)) называется выражение (D=b^2-4ac) .

Корни квадратного уравнения

1) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля ( (D>0) ), то оно имеет два различных корня [x_1=dfrac qquad text qquad x_2=dfrac]

2) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю ( (D=0) ), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) [x=-dfrac b]

3) Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля ( (D ), то оно не имеет корней.

Пример:
Решите уравнение [3x^2 — 33x + 90 = 0.]

Решение.
Найдём дискриминант данного уравнения: [D = 33^2 — 4cdot 3cdot 90 = 9] Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных [x_1=dfrac = 6 qquad text qquad x_2=dfrac = 5]

Теорема Виета

Пусть квадратное уравнение (ax^2 + bx + c = 0) , (aneq 0) , имеет два корня (x_1) и (x_2) (возможно, совпадающих), то есть (Dgeqslant 0) . Тогда их сумма равна [x_1+x_2=-dfrac] а их произведение равно [x_1cdot x_2=dfrac]

Доказательство

Определение

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент (a=1) .
Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным: для этого необходимо разделить уравнение на (a) .

Следствие

Для приведенного квадратного уравнения (x^2+px+q=0) теорема Виета выглядит следующим образом: [x_1+x_2=-p, qquad qquad x_1cdot x_2=q]

Теорема: разложение на множители квадратного трехчлена

Пусть уравнение (ax^2 + bx + c = 0) , (aneq 0) , имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть (Dgeqslant 0) . Тогда при любом значении (x) выполнено [ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2),] где (x_1) и (x_2) – корни уравнения (ax^2 + bx + c = 0) (возможно, совпадающие).

Доказательство

Сделаем преобразования: [begin &a(x-x_1)(x-x_2)=aleft(x — dfrac<-b + sqrt>right)left(x — dfrac<-b — sqrt>right) =aleft(x^2 — xleft(dfrac<-b + sqrt> + dfrac<-b — sqrt>right) + dfracright)=\[2ex] &=aleft(x^2-xcdot left(-dfrac baright)+dfracright) =a(x^2+dfrac ba x+dfrac ca)=ax^2+bx+c end]

Пример

Разложить на множители квадратный трехчлен (3x^2-2x-1) .

Решение.
Рассмотрим уравнение (3x^2-2x-1=0) и найдем его корни.
(D=(-2)^2-4cdot 3cdot (-1)=16) , значит

Таким образом, (3x^2-2x-1=3(x-1)(x+frac13)=(x-1)(3x+1)) .

[<Large<text>>] (bullet) Кубический корень из числа (a) – это такое число (b) , которое при возведении в куб равно (a) : [sqrt[3] a=bquad textquad a=b^3] (bullet) Таблица кубов чисел от 1 до 10: [begin hline 1^3=1 & quad6^3=216 \ 2^3=8 & quad7^3=343\ 3^3=27 & quad8^3=512\ 4^3=64 & quad9^3=729\ 5^3=125 & quad10^3=1000\ hline end] (bullet) Простейшие кубические уравнения – уравнения, сводящиеся к виду [x^3=a] Для любого числа (a) такие уравнения имеют единственный корень [x=sqrt[3]a] Пример:
1) решением уравнения (x^3=-8) является (x=sqrt[3]=-2) .
2) решением уравнения (x^3=64) является (x=4) .

Теория линейных и квадратных уравнений традиционно изучается школьниками Москвы и других городов в 8 классе. И хотя данная тема рассматривается в рамках образовательного курса достаточно подробно, и ей отводится немало времени, с заданиями из этого раздела выпускники не всегда справляются с легкостью. Именно поэтому, готовясь к сдаче ЕГЭ, учащимся непременно стоит освежить в памяти теорию и разобраться в решении задач с линейными и квадратными уравнениями.

Сделать это легко, оперативно и эффективно вам позволит образовательный портал «Школково». Всю необходимую теорию по теме «Квадратные и линейные уравнения» для подготовки к ЕГЭ вы можете найти в соответствующем разделе. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Изучив определения, формулы и основные свойства линейных и квадратных уравнений, учащиеся смогут не только вспомнить всею необходимую теорию, но и грамотно объяснить принцип решения задач ЕГЭ. Закрепить усвоенный материал вам помогут упражнения в разделе «Каталог». Здесь вы можете найти как простые, так и более сложные задачи по данной теме. Для каждого задания на сайте наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Изучить теорию по теме «Линейные и квадратные уравнения» и попрактиковаться в выполнении упражнений можно в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в «Избранное», чтобы в дальнейшем можно было к нему вернуться или обсудить с преподавателем.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Разница между линейным уравнением и квадратным уравнением

Разница между линейным уравнением и квадратным уравнением — Наука

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Содержание:

Линейное уравнение против квадратного уравнения

В математике алгебраические уравнения — это уравнения, которые составлены с использованием полиномов. В явном виде уравнения будут иметь вид P (Икс) = 0, где Икс вектор из n неизвестных переменных, а P — многочлен. Например, P (x, y) = x 4 + y 3 + х 2 y + 5 = 0 — алгебраическое уравнение двух переменных, записанное явно. Также (x + y) 3 = 3x 2 у — 3zy 4 является алгебраическим уравнением, но в неявной форме. Он будет иметь вид Q (x, y, z) = x 3 + y 3 + 3xy 2 + 3zy 4 = 0, когда-то написано явно.

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наивысшая степень членов уравнения. Если терм состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет считаться мощностью члена. Заметим, что согласно этому определению P (x, y) = 0 имеет степень 4, а Q (x, y, z) = 0 — степень 5.

Линейные уравнения и квадратные уравнения — это два разных типа алгебраических уравнений. Степень уравнения — это фактор, который отличает их от остальных алгебраических уравнений.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5 = 0 — это линейное уравнение одной переменной. x + y + 5z = 0 и 4x = 3w + 5y + 7z — линейные уравнения с 3 и 4 переменными соответственно. В общем случае линейное уравнение от n переменных будет иметь вид m₁Икс₁ + м₂Икс₂ +… + М_п-1Икс_п-1 + м_пИкс_п = б. Здесь x_яS — неизвестные переменные, m_яS и b — действительные числа, где каждое из m_я не равно нулю.

Такое уравнение представляет собой гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет собой плоскость в трехмерном евклидовом пространстве.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени. Икс 2 + 3x + 2 = 0 — квадратное уравнение с одной переменной. Икс 2 + y 2 + 3x = 4 и 4x 2 + y 2 + 2z 2 + x + y + z = 4 — примеры квадратных уравнений от 2-х и 3-х переменных соответственно.

В случае одной переменной квадратное уравнение в общем виде имеет вид ax 2 + bx + c = 0. Где a, b, c — действительные числа, из которых «a» не равно нулю. Дискриминант ∆ = (b 2 — 4ac) определяет характер корней квадратного уравнения. Корни уравнения будут действительно различными, действительно похожими и сложными, в зависимости от того, является ли ∆ положительным, нулевым и отрицательным. Корни уравнения легко найти по формуле x = (- b ± √∆) / 2a.

В случае двух переменных общая форма будет иметь вид ax 2 + по 2 + cxy + dx + ex + f = 0, и это представляет собой конику (параболу, гиперболу или эллипс) в декартовой плоскости. В более высоких измерениях этот тип уравнений представляет собой гиперповерхности, известные как квадрики.

В чем разница между линейными и квадратными уравнениями?

• Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1, тогда как квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 2.

• В n-мерном евклидовом пространстве пространство решений линейного уравнения с n переменными является гиперплоскостью, а пространство решений квадратного уравнения с n переменными — квадратичной поверхностью.

🔍 Видео

Сверхсветовая скорость во ВселеннойСкачать

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ПОНЯТНЫМ ЯЗЫКОМСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Как решать линейные и квадратные уравненияСкачать

Как решать линейные уравнения. Решение квадратных уравнений.Скачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать