Могут ли пересекаться интегральные кривые одного уравнения (3 видео)

Дифференциальные уравнения первого порядка (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение есть уравнение первого порядка,

а уравнение — уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение .

Функция является решением этого уравнения.

Действительно,

и уравнение обращается в тождество:
.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции

и вообще функции
, где и — произвольные постоянные.
В самом деле

и уравнение обращается в тождество
.

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: .

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид .

Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию .

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения y I = f(x, y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(xo ) = yo, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x, y) — правая часть дифференциального уравнения y I = f(x, y) — непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f Iy (x, y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример

Рассмотрим уравнение
.

Общим решением этого уравнения является семейство функций
.

Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: .
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение
,
получим
.
Решая это уравнение относительно C получим C = — 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X

Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.
Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной: .
Это уравнение для каждой точки определяет значение производной , т. е. определяет угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Таким образом, рассматриваемое дифференциальное уравнение дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений или поле линейных элементов. Задача интегрирования такого уравнения, с геометрической точки зрения, заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля линейных элементов в соответствующих точках .

Рассмотрим уравнение
.
В каждой точке (x, y), отличной от точки (0,0), угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен отношению , т. е. совпадает с угловым коэффициентом прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами (x, y). Очевидно, что интегральными кривыми будут прямые y=Cx, где C — произвольная постоянная, т. к. направление этих прямых всюду совпадает с направлением поля.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Рассматривая уравнение первого порядка , разрешенное относительно производной, мы ставили вопрос об отыскании его общего решения и, если задано начальное условие частного решения, удовлетворяющего этому условию.
Возникает вопрос: всегда ли существует частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию и если существует, будет ли оно единственным.
Рассмотрим, например, уравнение
.
Общим решением является функция , а интегральными кривыми — семейство гипербол, причем через каждую точку , не лежащую на оси Oy проходит одна и только одна интегральная кривая, т. е. рассматриваемое уравнение имеет единственное решение, проходящее через точку, не лежащую на оси Oy, но оно не имеет решения, проходящего через точку, взятую на оси Oy.
Этот пример показывает, что не всегда существует решение, удовлетворяющее заданному начальному условию.
В некоторых случаях решение может оказаться не единственным.
Так, например, уравнение

имеет бесконечное множество решений, проходящих через точку (0,0).
В самом деле, функция является общим решением этого уравнения, а при любом значении C прямая проходит через начало координат. На вопрос, при каких условиях для уравнения можно гарантировать существование и единственность решения, удовлетворяющего заданному начальному условию , отвечает следующая теорема.

Теорема.
Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости xOy. Тогда, если точка принадлежит этой области, существует, и притом единственное, решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это означает, что через каждую точку области D проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения. Данная теорема называется теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения .
Возвращаясь к рассмотренным нами примерам, мы видим, что функции

и

не определены при и, следовательно, не являются непрерывными. Это обстоятельство и привело, в первом случае, к отсутствию решений, проходящих через точки оси Ox , во втором — к нарушению единственности в точке (0,0).

1.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

или
.

Это уравнение можно переписать так:

или в симметричной форме

дающей соотношение между переменными x и y и их дифференциалами.

Если в этом уравнении функция P зависит только от x , а функция Q — только от y, то уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Таким образом, уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида

Решение такого уравнения получается прямым интегрированием. Так как слева стоит сумма дифференциалов двух функций, которая равна нулю, то сумма их интегралов равняется постоянной

Пример

Уравнение — уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл: .
Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение

или
.

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид:

Пример

Дано уравнение
или .
Разделим переменные и интегрируем .

В результате вычисления получим:

.
Это выражение можно записать в иной форме:

т. к. всякое число можно представить в виде логарифма другого.

Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

1.2. Однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных.
Функция двух переменных называется однородной функцией измерения n, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty) = t n f(x, y) .

Пример

Функция есть однородная функция измерения 2, т. к.
.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка,
если функции и являются однородными функциями одного и того же измерения.

Для однородного уравнения имеем:

Полагая в последних равенствах , получаем

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим

и далее .

Для разделения переменных введем новую переменную V = y/x или y = Vx. Так как в этом случае dy = xdV +Vdx, то последнее уравнение принимает вид:

M(1,V)dx + N(1,V)(xdV + Vdx) = 0,

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными x и V, из него определяется V, а затем искомая функция y = Vx.

Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x, y) = F(v), где V = y/x, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для приведения его к уравнению с разделяющимися переменными используется подстановка
V = y/x, отсюда y = Vx и dy/dx = xdV/dx + V.
В итоге получается уравнение с разделяющимися переменными: xdV/dx = F(V) — V, которое и интегрируется.

Пример

Решить уравнение (y 2 — 3x 2)dx + 2xydy = 0, при начальном условии: y(0) = 0 .

Здесь M(x, y) = (y 2 — 3x 2) и N(x, y) = 2xy — однородные функции измерения 2.

Применим подстановку y = vx, при этом dy = xdv +vdx.

Получим: x 2(v 2 — 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0.
Сгруппируем слагаемые x 2(v 2 — 3)dx + 2x 2v(xdv +vdx) = 0 относительно dx и dv и разделим переменные:

После интегрирования получим: x 3(v = C или

общий интеграл: x(y 2 — x 2) = C

Используя начальные условия y(0) = 0 имеем = C, отсюда C = 0.

Частное решение данного уравнения: x(y 2 — x 2) = 0

или x = y и x = — y

1.3. Линейные уравнения первого порядка

где и

— заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если функция , стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т. е. ,
то уравнение называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.
Таким образом, — линейное однородное уравнение, а — линейное неоднородное уравнение.

Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.

I метод — метод Бернулли

Для решения уравнения применим подстановку y=UV, причем функцию U=U(x) будем считать новой неизвестной функцией, а функцию мы выберем произвольно, подчинив некоторому условию. Так как при этом , то эта подстановка дает:

и
.

Используя произвольный выбор функции V, подчиним ее условию: .

Разделяя переменные и интегрируя в последнем равенстве, получаем:

.
Поэтому исходное уравнение после подстановки полученной функции V(x) имеет вид: .
Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными.
Решая его, получаем:
, а после интегрирования .

Возвращаясь к переменной y=UV имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:
.

Пример

Решить уравнение .
Здесь .
Имеем:

— общее решение линейного уравнения.

II метод — метод вариации произвольной постоянной — метод Лагранжа

В линейном однородном уравнении переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Y , легко находится:

Будем теперь находить общее решение неоднородного линейного уравнения , считая, что общее решение неоднородного уравнения y имеет такую же форму, как и общее решение cоответствующего однородного уравнения Y , но где C есть не постоянная величина, а неизвестная функция от x , т. е. считая, что

Дифференцируя это выражение

и подставляя в рассматриваемое неоднородное уравнение, получим:

или .
Откуда находим функцию C(x) :

Полученное общее решение состоит из двух слагаемых, из которых второе является общим решением соответствующего однородного уравнения, а первое является частным решением неоднородного уравнения, получаемым из общего при .

Пример

Найти общее решение уравнения
.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение: .
Считаем C функцией x :
Подставляем в исходное уравнение:
.

1.4. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида dy/dx + P(x)y = Q(x)y n.

При n = 0 или n = 1 уравнение становится линейным, методы интегрирования которого рассматривались в предыдущем пункте.

Есть следующие два способа интегрирования этого уравнения.

1. Уравнение приводится к линейному.

Разделив все члены такого уравнения на y n, получим:

y — n(dy/dx) + P(x)y — n+1 = Q(x).

После подстановки этих выражений в уравнение оно примет вид:

Это линейное уравнение относительно функции z. После его интегрирования возвращаемся к переменной y, подставив вместо z выражение y 1-n. Получим общий интеграл уравнения Бернулли.

2. Уравнение решается по методу Бернулли с подстановкой y = UV, уже использованному для решения линейных неоднородных уравнений.

Пример

Найти общее решение уравнения .

Разделив обе части уравнения на y 2, получим:

Введем новую переменную , тогда .

Подставляя в уравнение, получим:

Это линейное уравнение относительно функции z(x) .

Применим метод вариации произвольной постоянной:

Интегрируя по частям, находим ,

следовательно , .

Заменяя теперь z на ,
получим: или .
Это и есть общее решение исходного уравнения.

1.5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции , т. е.

Переписав исходное уравнение в виде , заключим, что общий интеграл этого уравнения определяется формулой .

Как известно, полный дифференциал функции выражается формулой

Необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, выражается равенством

Функция , входящая в формулу , находится интегрированием функций P(x, y) и Q(x, y) соответственно по x и y при этом вторая переменная считается величиной постоянной (соответственно y или x).

Пример

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Для данного уравнения

Так как выполнено условие (#), то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, следовательно,

Интегрируя первое из этих уравнений ( y при этом считается постоянным), находим

где — функция подлежащая определению.

Дифференцируя по y функцию U(x, y) = C и принимая во внимание значение ,
получаем
,
откуда
.
Подставив выражение для

в равенство
,
найдем
.
В соответствии с формулой

получаем

или
,
где
.

Итак, общий интеграл данного уравнения:

Это уравнение является также однородным и его можно проинтегрировать другим способом.

Найти общее решение или общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными

Видео:Практика 1 ИзоклиныСкачать

Особые решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения

называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).

Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение

Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.

Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.

б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).

в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение

Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .

Полагая , находим, что условия (7) принимают вид

Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.

Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).

г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).

Огибающей семейства кривых

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.

Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.

Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:

1) существуют ограниченные по модулю частные производные

где и — постоянные;

Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.

Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .

б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).

в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке

где — область допустимых значений .

Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==» />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).

Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.

В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.

Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;

3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.

Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).

Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.

В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.

Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).

Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства

являющегося общим интегралом для (18).

Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.

Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).

Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Дифференцируем (23) по

Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.

Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).

Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).

Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем

Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .

Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь

Итак, из (26) и (27) имеем

Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.

Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .

Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).

Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде

Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь

Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает

Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .

Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).

Видео:Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривыеСкачать

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия и теоретические сведения

Рассмотрим необходимые теоретические сведения, а также параллельно изложим методы решения ряда типовых задач, разбор которых окажет студенту-заочнику существенную методическую помощь при выполнении контрольной работы.

Напомним, что уравнения вида

F (x, y, ) = 0 (1)

где x — независимая переменная, y — искомая функция от x, — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то оно принимает вид

= f (x, y) (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде

или в такой форме , являющимся частным случаем более общего уравнения

где P(x, y) и Q(x, y) — известные функции. Функция y = y(x) , заданная на интервале (a, b), называется решением уравнения (1) или (2), если при подстановке в уравнение его обращает в тождество относительно xÎ(a, b). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (2) имеет решение, дает теорема Коши.

Т е о р е м а Коши (существования и единственности решения).

Пусть правая часть f (x, y) уравнения (2) определена в некоторой области D на плоскости OХY . Если существует такая окрестность точки области D , в которой f (x, y) удовлетворяет условиям:

1. Непрерывна по совокупности аргументов;

2. Имеет ограниченную частную производную ,

то существует и причем единственное решение y = y (x) уравнения (2) в некоторой окрестности точки , удовлетворяющее условию y (x ) = y или пишут так:

Замечание. Если в теореме требование ограниченности производной заменить выполнением условия Липшица:

, то теорема Коши в такой формулировке остается в силе.

Геометрически теорема означает, что через точку M (x , y ) проходит единственная интегральная кривая уравнения (2) . Эта теорема имеет локальный характер, она гарантирует существование единственности решения уравнения (2) лишь в достаточно малой окрестности точки . Из этой теоремы следует, что уравнение (2) имеет бесконечное множество различных решений. Условие (4) называется начальным условием.

Отыскание решения уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию (4), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши означает: выделить из множества интегральных кривых ту, которая проходит через заданную точку M (x , y ) .

Напомним понятие общего решения. Пусть D — некоторая область на плоскости охy, через каждую точку которой проходит единственная интегральная кривая уравнения (2). Однопараметрическое семейство функций y = j (x, C ) параметра С называется общим решением уравнения (2), удовлетворяющего условиям теоремы Коши в области D, если при любом допустимом значении параметра C определяет решение этого уравнения и, кроме того, для любой внутренней точки M (x , y ) существует такое значение С= С , что функция y = j (x, С ) удовлетворяет начальному условию .

Любая функция, выделенная из общего решения, называется частным решением.

Уравнение Ф (x, y, С) = О , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Остановимся на следующих полезных упражнениях:

1. Рассмотрим уравнение . В этом уравнении

определена и непрерывна во всех точках плоскости OХY и имеет =2 . В силу теоремы 1 через каждую точку M (x , y ) проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

2. Дано уравнение . Функция определена и непрерывна на всей плоскости OХY; однако, . Заметим, что во всех точках оси OX не выполняется второе условие теоремы Коши. Легко убедиться, что семейство функций при любом С является решением данного уравнения. Кроме того, это уравнение имеет решение y = 0, т.е., ось OX. Если же искать решения этого уравнения, удовлетворяющие начальному условию y (0) = 0, то таких решений можно найти бесчисленное множество; в частности, такие

y = 0, и т.д.

При этом через каждую точку оси OX проходят по крайней мере две интегральные кривые y = 0 и , то есть, в точках оси OX нарушается единственность решения.

Если же взять точку , то в достаточно малой ее окрестности выполнены все условия теоремы 1. Тем самым через данную точку в малом квадрате проходит единственная интегральная кривая . Естественно, если же квадрат достаточно расширить, то в нем единственность решения не будет выполнена, что убеждает нас о локальном характере теоремы 1.

Теорема 1 дает лишь достаточные условия единственности решения уравнения (2). Однако, не исключается возможность существования единственного решения y = y (x), удовлетворяющего начальному условию , хотя в точке M (x , y ) и не выполняются условия теоремы Коши. Можно было бы этот вариант тоже проиллюстрировать на примерах.

Таким образом, мы вплотную подошли к необходимости рассмотрения так называемых особых решений дифференциальных уравнений (1) или (2).

2. Особые решения

Решение дифференциального уравнения первого порядка называется особым, если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через каждую ее точку проходит, кроме нее, еще и другая касающаяся ее интегральная кривая данного уравнения.

Итак, особое решение уравнения (2) представляет такое решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Отсюда следует, что для существования особого решения уравнения (2) необходимо, чтобы не выполнялось хотя бы одно из условий теоремы 1.

В частности, для уравнения не выполняется второе условие, т.е., производная обращается в бесконечность на OX плоскости OХY. Для этого уравнения общее решение представляет семейство кубических парабол, причем решение y = 0 проходит через те точки, где производная не ограничена. Итак, решение y = 0 – особое, так как через каждую его точку проходит другая интегральная кривая — кубическая парабола.

Замечание.Заметим, что особое решение не выделяется из общего решения (общего интеграла) при определенном значении параметра С.

Однако, не всякая кривая, в точках которой не выполнено условие ограниченности производной , может быть особой интегральной кривой.

Например, для уравнения хотя в точках прямой y = 0 не выполняется условие ограниченности производной , но эта прямая не представляет особую интегральную кривую, поскольку не является даже решением этого уравнения.

Таким образом, вышеприведенные рассуждения позволяют резюмировать для уравнения (2) при выполнении первого условия теоремы 1 следующее заключение; то есть, особые решения могут быть выявлены так:

1. Найти геометрическое место точек, в которых производная

обращается в бесконечность.

2. Если такие кривые окажутся, то проверить являются ли они интегральными кривыми уравнения (2).

3. Среди выявленных интегральных кривых проверить: нарушается ли в каждой из точек этих кривых свойство единственности.

При выполнении всех этих условий найденные кривые представляют особые решения уравнения (2).

Кроме того, следует подчеркнуть, что уравнение (2) может иметь решения, которые не являются ни частными, ни особыми. Таким примером является решение уравнения .

Если в любой окрестности точки M (x , y ) не выполняются условия теоремы Коши (1), то точка M (x , y ) называется особой точкой уравнения (2). При этом особая точка M (x , y ) называется изолированной, если в некоторой достаточно малой ее окрестности нет других особых точек.

Итак, прежде всего особое решение представляет интегральную кривую, состоящую из особых точек.

Пусть общее решение уравнения (2) допускает однопараметрическое семейство интегральных кривых Ф(x,y,C) = 0, где С – параметр. Допустим, что семейство кривых имеет огибающую, т.е., кривую, которая касается каждой кривой этого семейства и причем состоит полностью из этих точек касания. При этом заметим, что огибающая семейства интегральных кривых является особым решением уравнения (2).

Огибающая семейства интегральных кривых Ф(x,y,C) = 0 определяется из следующей системы уравнений

Второе уравнение системы составляется путем дифференцирования по параметру С первого уравнения. Находят кривую путем исключения параметра С из этой системы, если это возможно. Эта кривая называется дискриминантной. Затем найденную дискриминатную кривую проверяют, является ли она решением данного уравнения.

Таким образом, мы привели еще один весьма эффективный способ нахождения особых решений при помощи огибающих семейства интегральных кривых уравнения (2).