Модуль равен модулю как решать уравнения (5 видео)

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Содержание

Слева модуль, справа число
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Модуль равен модулю
Два или несколько модулей
Модуль в модуле
Решение уравнений с модулем
Для вас другие записи этой рубрики:
Отзывов ( 179 )
Алгебра
Модуль числа
Решение уравнений с модулем
📽️ Видео

Видео:Алгебра 7 класс Решить уравнение с модулем. ТИП уравнения: Модуль равен модулю.Скачать

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Видео:Уравнения с модулемСкачать

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Видео:Модуль в модуле в уравнении. Алгебра 7 класс.Скачать

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Видео:Уравнения с модулем. Что такое модуль числа. Алгебра 7 класс.Скачать

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x)

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х₂=3.

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х 2 -5х+6=0

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 179 )

Здравствуйте,Инна.Как умножить модуль на квадратное уравнение?
Спасибо.

Нужно раскрыть модуль: рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше нуля и когда меньше нуля.

Если модуль в модуле. ||x| — 1| * |x| / x^2 — 1 ==> x -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

-1 -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

0 -x(x — 1) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

Не до конца понимаю, как правильно раскрыть модуль в модуле, и, соответственно, какой знак внутри модуля в который вложен другой модуль…

В этом примере проще ввести замену: , тогда получится выражение с одним модулем. В общем случае сначала раскрываем внутренний модуль, потом внешний. При раскрытии модуля необходимо указывать промежуток, на котором мы находимся. Например: . Cначала рассматриваем случай , Получаем систему: . И теперь система разбивается на совокупность двух систем: и . Так же рассматриваем второй случай, когда .

Видео:МодульСкачать

Алгебра

План урока:

Видео:ПОСЛЕ ЭТОЙ АУДИОКНИГИ НИ ОДИН ПСИХОЛОГ ВАМ УЖЕ НЕ СМОЖЕТ ПОМОЧЬ! Зато Вы Поможете Ему Сами! l НИКОШОСкачать

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Видео:Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

Пример. Решите ур-ние

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

х = 0 или х – 2 = 0

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

|x 2 + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)

х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х = 0 или х + 3 = 0

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

|х 2 + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х

х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х 2 + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

Пример. Решите ур-ние

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х = 0 или х – 2а = 0

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

Пример. Решите ур-ние

р 2 х – 3рх = р 2 – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х 2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

D = b 2 – 4ас = (– 6) 2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х₀ вершины параболы по формуле:

Подставив х₀ в квадратичную ф-цию найдем координату у₀ вершины параболы:

3 2 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b 4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 4 – (а + 2)х 2 + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х 2 :

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у₁ и у₂. Тогда, проводя обратную замену х 2 = у₁ и х 2 = у₂, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у₁, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у₁ будет отрицательным числом, то ур-ние

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b 2 – 4ас = (– (а + 2)) 2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2) 2 – 12 а + 12 =

= а 2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а 2 – 8а + 16 = а 2 – 2•4•а + 4 2 = (а – 4) 2

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4) 2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у₁, и у₂ должны быть положительными величинами, однако у₁ меньше, чем у₂ (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Итак, при условии, что а 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х 2 – 2(а + 1)х + а 2 + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b 2 – 4ас = (– 2(а + 1)) 2 – 4•1•( а 2 + 2а – 3) = 4(а 2 + 2а + 1) – 4(а 2 + 2а – 3) =

= 4(а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х₁) был больше – 5, больший (это х₂) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х₁>– 5и х₂ – 5 и а + 3 – 4 и а 1 (-1)