Моделирование обычно начинают с составления уравнений

Видео:Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

Моделирование обычно начинают с составления уравнений

Математическое моделирование экономических систем
ВОПРОС N 1. Моделирование — это:
Вариантов ответов:
1. Метод практического или теоретического опосредованного оперирования объектом, в ходе которого исследуется непосредственно не сам интересующий нас объект, а некоторая промежуточная вспомогательная система (естественная или искусственная)
2. Метод упрощенного анализа реальных процессов
3. Совокупность практических приемов исследования свойств реальных систем

ВОПРОС N 2. Основной недостаток в использовании описательных (вербальных или словесных) моделей экономики — это:
Вариантов ответов:
1. Невозможность использования количественных статистических данных.
2. Невозможность последующей формализации установленных качественных соотношений.
3. Неоднозначность понимания привычных терминов различными исследователями и, как следствие, затруднения в освоении модели новыми людьми.

ВОПРОС N 3. Основной недостаток метода математического моделирования — это:
Вариантов ответов:
1. Неразработанность математического аппарата.
2. Возможность сильных искажений реальных проблем, связанных с привнесением в проблему моделей, неадекватных изучаемой реальности.
3. Невозможность получения точных аналитических решений сложных реальных проблем.

ВОПРОС N 4. Если оказывается, что модель не в полной мере соответствует реальным процессам — то:
Вариантов ответов:
1. Производится разбиение системы на составные части.
2. Принимается решение о переформулировке или доработке модели и происходит возврат к первому шагу процесса моделирования.
3. Принимается решение об отказе от моделирования.

ВОПРОС N 5. Моделирование обычно начинают:
Вариантов ответов:
1. С концептуального анализа
2. С составления уравнений.
3. С графического анализа.

ВОПРОС N 6. Концептуальный анализ обычно включает:
Вариантов ответов:
1. Обоснование и формулировку исходной проблемы.
2. Выбор базовых и рабочих определений используемых понятий.
3. Выбор экономической системы или процессов, в рамках которых традиционно происходит решение проблемы.

ВОПРОС N 7. Предмодельный анализ обычно включает:
Вариантов ответов:
1. Определение целевой функции экономической системы.
2. Качественный анализ объектов, задач, явлений, процессов экономической системы и ее параметров.
3. Формализованное описание структуры связей и отношений в моделируемой системе.

ВОПРОС N 8. Система (при математическом моделировании) — это:
Вариантов ответов:
1. Процесс с данными объектами, свойствами и связями
2. Динамическая модель экономической системы в условиях взаимодействия с внешней средой
3. Целостное описание поведения экономического субъекта

ВОПРОС N 9. Объект изучения в математическом моделировании — это:
Вариантов ответов:
1. Рассматриваемый экономический субъект
2. Те компоненты реальности, которые содержат совокупность проблем, подлежащих исследованию
3. Те свойства и стороны экономического объекта, которые наиболее выпукло отражают реальные проблемы

ВОПРОС N 10. Предмет изучения в математическом моделировании — это:
Вариантов ответов:
1. Рассматриваемый экономический субъект
2. Те компоненты реальности, которые содержат совокупность проблем, подлежащих исследованию
3. Те свойства и стороны экономического объекта, которые наиболее выпукло отражают реальные проблемы

ВОПРОС N 11. Цели экономического моделирования состоят в использовании моделей для:
Вариантов ответов:
1. Описания экономических систем и процессов; для получения количественных оценок их состояния, для анализа и прогнозирования этих процессов и для обеспечения возможностей интерпретации результатов моделирования специалистами в данной предметной обл
2. Принятия управленческих решений
3. Исследования свойств реальной системы
4. Повышения квалификации в предметной области экономики

ВОПРОС N 12. Для моделирования взаимосвязей макро- и микроэкономических показателей используются следующие (типовые) экономические функции:
Вариантов ответов:
1. Детерминированные и стохастические функции.
2. Линейные и нелинейные функции нескольких переменных.
3. Производственные, инвестиционные, спроса и потребления, занятости, полезности, общих затрат.
4. Регрессионные, параметры которых оцениваются по данным экономической статистики.

ВОПРОС N 13. Математическая модель экономического объекта — это:
Вариантов ответов:
1. Набор уравнений и неравенств.
2. Описание алгоритмов, пригодное для программирования на ЭВМ.
3. Его упрощенный образ, представленный с помощью различных математических терминов: уравнений, неравенств, логических отношений и графиков.
4. Формализованное представление основных экономических законов.

ВОПРОС N 14. К числу основных элементов математической модели обычно относят:
Вариантов ответов:
1. Детерминированные и стохастические функции.
2. Линейные и нелинейные функции нескольких переменных.
3. Функции: производственные, инвестиционные, спроса и потребления, занятости, полезности, общих затрат.
4. Регрессионные модели, параметры которых оцениваются по данным экономической статистики.

ВОПРОС N 15. Микроэкономические модели описывают:
Вариантов ответов:
1. Поведение различных экономических объектов в условиях равновесия.
2. Поведение отдельных экономических единиц (производителей и потребителей), из взаимодействие на рынках, а также основные факторы производства и общие закономерности формирования цен на товары и услуги.
3. Динамические зависимости между экономическими переменными.

ВОПРОС N 16. Макроэкономические модели описывают:
Вариантов ответов:
1. Поведение различных экономических объектов в условиях равновесия.
2. Динамические зависимости между экономичяескими переменными.
3. Экономику, как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые переменные: ВНП, потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие переменные, например, демографические

ВОПРОС N 17. Последовательными этапами моделирования являются:
Вариантов ответов:
1. Составление экономических уравнений и оценка их параметров.
2. Содержательный анализ проблемы и графическое моделирование.
3. Содержательный анализ проблемы и математическое моделирование полученных зависимостей.
4. Описание, оценка, анализ, прогнозирование и интерпретация.

ВОПРОС N 18. К основным сложностям, которые затрудняют экономисту моделирование реальных процессов, относятся:
Вариантов ответов:
1. Модели не являются строгими функциональными зависимостями.
2. Модели обычно неполны, поскольку при пострении модели часто бывает невозможно выявить все основные факторы, влияющие на моделируемый процесс.
3. Для некоторых факторов, которые являются сущестенными для модели, невозможно подобрать статистические показатели, которые можно было бы рассматривать в качестве количественных измерителей этих факторов.
4. Многие воздействия, которые необходимо включить в модель, являются случайными или содержат случайную составляющую.
5. Даже при наличии необходимых статистических данных, этих данных очень мало, либо они содержат различного рода ошибки.

ВОПРОС N 19. Суть принципа рациональности в математической экономике состоит в:
Вариантов ответов:
1. Максимизации результата при заданных средствах.
2. Минимизации затрат на получение некоторого заданного результата.
3. Рациональном расходовании ограниченных ресурсов.
4. Все вышеперечисленные варианты ответов верны.
5. Только при максимизации результата при заданных средствах и минимизации затрат на получение некоторого заданного результата.

ВОПРОС N 20. Функция отраслевого предложения некоторого продукта определяется как:
Вариантов ответов:
1. Сумма функций предложения всех фирм, производящих данный продукт.
2. Средняя из функций предложения всех фирм, производящих данный продукт.
3. Максимальная из функций предложения всех фирм, производящих данный продукт.
4. Минимальная из функций предложения всех фирм, производящих данный продукт.

ВОПРОС N 21. Рынок товаров и услуг находится в равновесном состоянии, если:
Вариантов ответов:
1. Спрос равен предложению.
2. Цена равна издержкам плюс прибыль.
3. Уровень технологии меняется постепенно.
4. Объем предложения равен объему спроса.

ВОПРОС N 22. Кардиналистская (количественная) концепция полезности означает, что:
Вариантов ответов:
1. Потребитель минимизирует свои расходы на приобретение благ.
2. Потребитель так расходует свой бюджет, чтобы получить максимум полезности от совокупности приобретенных благ.
3. Количество благ благ каждого вида, приобретенных индивидуумом, не может превышать рациональные нормы потребления по этим благам.
4. Полезность каждого блага может быть измерена количественно.

ВОПРОС N 23. Суть закона спроса состоит в том, что:
Вариантов ответов:
1. Цена на благо повышается при повышении спроса на него.
2. Объем спроса на благо находится в прямой зависимости от величины бюджета потребителя, и в обратной зависимости от его цены.
3. В первую очередь потребитель удовлентворяет свои жизненные потребности.
4. Ни одно из вышеприведенных утверждений не является верным.

ВОПРОС N 24. Основное условие равновесия на совершенно конкурентном рынке — P=ATC=MTC —
означает, что:
Вариантов ответов:
1. Объем выпуска фирмы соответствует максимально возможной прибыли.
2. Для данного объема выпуска обеспечено оптимальное сочетание используемых факторов производства.
3. В отрасль прекратится поток капитала из других отраслей.
4. У всех фирм, оставшихся в отрасли, будут одинаковые затраты на единицу продукции.

ВОПРОС N 25. Если предложение и спрос на товар возрастают, то:
Вариантов ответов:
1. Цена повысится.
2. Цена понизится.
3. Цена останется стабильной.
4. Ни одно из вышеприведенных утверждений не является верным.

ВОПРОС N 26. Если два товара взаимозаменяемы, то рост цены на первый вызовет:
Вариантов ответов:
1. Падение спроса на второй товар.
2. Рост спроса на второй товар.
3. Увеличение объема спроса на второй товар.
4. Падение величины спроса на второй товар.

ВОПРОС N 27. Если уменьшение цены на 5% приводит с снижению объема предложения на 8%, то
данное предложение по отношению к цене:
Вариантов ответов:
1. Неэластично.
2. Единичной эластичности.
3. Эластично.
4. Абсолютно эластично.
5. Абсолютно неэластично.

ВОПРОС N 28. Неэластичный спрос означает, что:
Вариантов ответов:
1. Рост цены на 1% приводит к сокращению величины спроса менее, чем на 1%.
2. Рост цены на 1% приводит к сокращению величины спроса более, чем на 1%.
3. Любое изменение цены не приводит к изменению общей выручки.
4. Рост цены на 1% не влияет на величину спроса.
5. Ни одно из утверждений не является верным.

ВОПРОС N 29. Коэффициент эластичности спроса по цене равен:
Вариантов ответов:
1. Уменьшению цены, деленному на увеличение объема спроса.
2. Изменению общей выручки (в %), деленному на увеличение объема спроса (в %).
3. Уменьшению общей выручки (в %), деленному на увеличение цены (в %).
4. Изменению объема спроса (в %), деленному на изменение цены (в %).
5. Ни одному из приведенных показателей.

ВОПРОС N 30. Эластичность спроса по цене на протяжении всей кривой спроса не изменяется:
Вариантов ответов:
1. Верно.
2. Неверно.

ВОПРОС N 31. Полезность — это:
Вариантов ответов:
1. Способность блага удовлетворять потребность.
2. Набор вариантов потребительского выбора, каждый из которых одинаково ценен для потребителя.
3. Математическая функция, часто используемая для микроэкономического моделирования.

ВОПРОС N 32. Предельная полезность — это:
Вариантов ответов:
1. Соотношение, в котором одно благо может быть заменено другим, без изменения уровня полезности для потребителя.
2. Прирост общей полезности при увеличении потребления данного блага на единицу.
3. Способность блага удовлетворять потребность.

ВОПРОС N 33. Общая полезность растет, когда предельная полезность:
Вариантов ответов:
1. Уменьшается.
2. Увеличивается.
3. Увеличивается в медленном темпе.
4. Увеличивается или уменьшается, но является величиной положительной.
5. Является величиной отрицательной.

ВОПРОС N 34. Теория потребительского поведения предполагает, что потребитель стремится максимизировать:
Вариантов ответов:
1. Разницу между общей и предельной полезностью.
2. Общую полезность.
3. Среднюю полезность.
4. Предельную полезность.
5. Каждую из перечисленных величин.

ВОПРОС N 35. Потребитель расходует 8$ в неделю на покупку товаров А и В. Цена единицы товара А
равна 1$, цена единицы товара В — 0,5$. Какая из следующих комбинаций товара находится на
бюджетной линии:
Вариантов ответов:
1. 8А и 1В
2. 7А и 1В
3. 6А и 6В
4. 5А и 6В
5. 4А и 4В

ВОПРОС N 36. Какое из следующих утверждений является неверным?
Вариантов ответов:
1. Каждая точка на кривой безразличия означает комбинацию двух товаров.
2. Каждая точка на бюджетной линии означает комбинацию двух товаров.
3. Все точки на кривой безразличия соответствуют одинаковому уровню полезности.
4. Все точки на бюджетной линии соответствуют одинаковому уровню полезности.
5. Наклон кривой безразличия характеризует норму, в соответствии с которой одно благо может быть
замещено другим благом без изменения общей полезности для потребителя.

ВОПРОС N 37. Общие издержки (затраты) — это:
Вариантов ответов:
1. Стоимость израсходованных ресурсов, оцененная в текущих ценах их приобретения.
2. Вся сумма издержек, связанная с производством данного объема продукции.
3. Выпуск продукции, получаемый при использовании всего объема применяемых факторов производства.
4. Издержки, величина которых изменяется в зависимости от изменения объема производства.

ВОПРОС N 38. Предельный продукт для выбранного производственного фактора (ресурса):
Вариантов ответов:
1. Выпуск продукции в расчете на единицу данного ресурса.
2. Дополнительные издержки, связанные с увеличением производства единицы продукции.
3. Прирост общего объема продукта в результате применения дополнительной единицы выбранного ресурса.

ВОПРОС N 39. В краткосрочном периоде фирма производит 500 единиц продукции. Средние переменные издержки (затраты) составляют 2$, средние постоянные издержки — 0,5$. Общие издержки составят:
Вариантов ответов:
1. 2,5$
2. 1250$
3. 750$
4. 1100$

ВОПРОС N 40. Изокванта иллюстрирует:
Вариантов ответов:
1. Кривую общего объема продукта.
2. Производственную функцию.
3. Различные объемы продукта, которые можно произвести при заданных количествах ресурсов.
4. Кривую среднего продукта.
5. Кривую предельного продукта.

ВОПРОС N 41. Когда предельный продукт становится величиной отрицательной, общий объем производства сокращается:
Вариантов ответов:
1. Неверно
2. Верно

ВОПРОС N 42. Совершенная конкуренция — это:
Вариантов ответов:
1. Ситуация, в которой фирмы могут без препятствий и ограничений возникать в определенной отрасли или покидать ее.
2. Соответствует ситуации, в которой цена товара равна минимальному уровню средних переменных затрат.
3. Рынок, где множество фирм продают совершенно одинаковые товары, и ни одна из фирм не обладает достаточно большой долей рынка, способной влиять на рыночную цену товаров.

ВОПРОС N 43. В отрасли функционирует 1000 фирм. У каждой фирмы предельные издержки при производстве 5 единиц продукта в месяц составляют 2$, 6 единиц — 3$, 7 единиц — 5$. Если рыночная цена единицы продукта равна 3$, то отраслевой выпуск в месяц составит:
Вариантов ответов:
1. Не более 5000 единиц
2. 5000 единиц
3. 6000 единиц
4. 7000 единиц
5. Более 7000 единиц

ВОПРОС N 44. В отрасли функционирует 1000 фирм. У каждой фирмы предельные издержки при
производстве 5 единиц продукта в месяц составляют 2$, 6 единиц — 3$, 7 единиц — 5$. Если рыночная
цена единицы продукта равна 7$, то отраслевой выпуск в месяц составит:
Вариантов ответов:
1. Не более 5000 единиц
2. 5000 единиц
3. 6000 единиц
4. 7000 единиц
5. Не менее 7000 единиц

ВОПРОС N 45. Ценовая дискриминация это:
Вариантов ответов:
1. Продажа по разным ценам одной и той же продукции, различным покупателям.
2. Различия в оплате труда по национальности и полу.
3. Эксплуатация народа путем установления высоких цен на потребительские товары.
4. Повышение цены на товар более высокого качества.
5. Все ответы неверны.

ВОПРОС N 46. В отличие от конкурентной фирмы монополист:
Вариантов ответов:
1. Может назначать любую цену на свой продукт.
2. Максимизирует прибыль при равенстве предельного дохода и предельных издержек (затрат).
3. Может произвести любой объем продукции и продать ее по любой цене.
4. При данной кривой рыночного спроса может выбирать такую комбинацию цены и объема выпуска, которая максимизирует тот экономический показатель, который выражает цель хозяйственной деятельности монополиста.

ВОПРОС N 47. Функция спроса на продукцию монополиста: P=200-Q, где P-цена продукта в $. Если
монополист выпускает 20 ед. продукта в месяц, то его общий доход равен:
Вариантов ответов:
1. 4000$
2. 3600$
3. 400$
4. 180$

ВОПРОС N 48. Функция спроса на продукцию монополиста: P=200-Q, где P-цена продукта в $. Функция
общих издержек монополиста: TC=100+3Q. Если монополист выпускал 19 ед. продукта в мес. то при
увеличении выпуска на 1 ед., его прибыль:
Вариантов ответов:
1. Вырастет на 159$
2. Вырастет на 3$
3. Упадет на 159$
4. Упадет на 3$
5. Все ответы неверны

ВОПРОС N 49. Монополист, максимизирующий рынок, будет снижать цену на свой продукт, если:
Вариантов ответов:
1. Средние издержки (затраты) падают
2. Затраты на рекламу растут
3. Предельный доход выше предельных издержек
4. Предельный доход равен предельным издержкам

ВОПРОС N 50. Чтобы фирма могла использовать ценовую дискриминацию третьей степени, должно выполняться следующее условие:
Вариантов ответов:
1. Фирма должна быть в состоянии сегментировать потребительский рынок на части с различной ценовой эластичностью спроса.
2. Должна быть исключена возможность перепродажи продуктов потребителями одного сегмента рынка на другом сегменте.
3. Никаких условий не существует.

ВОПРОС N 51. Монополия получает сверхприбыль вследствие более высокой эффективности производства по сравнению с конкурентной отраслью:
Вариантов ответов:
1. Верно.
2. Неверно.

ВОПРОС N 52. Любая ценовая дискриминация незаконна:
Вариантов ответов:
1. Верно.
2. Неверно.

ВОПРОС N 53. Чистые потери общества от естественной монополии исчезают, когда регулируемая цена при заданном уровне спроса устанавливается равной средним производственным затратам (издержкам):
Вариантов ответов:
1. Верно.
2. Неверно.

ВОПРОС N 54. Математическая функция, для того, чтобы ее можно было использовать в качестве производственной функции одного переменного должна удовлетворять следующим свойствам:
Вариантов ответов:
1. Быть определенной для неотрицательных значений аргумента.
2. Удовлетворять свойству — «без ресурсов нет выпуска».
3. Удовлетворять свойству однородности первой степени.
4. Удовлетворять свойству — «выпуск растет с ростом затрат ресурса».
5. Удовлетворять закону убывающей эффективности производства.
6. Все вышеприведенные ответы верны.
7. Верны только утверждения: быть определенной для неотрицательных значений аргумента; удовлетворять свойству — «без ресурсов нет выпуска»; удовлетворять свойству однородности первой степени; удовлетворять закону убывающей эффективности производства.
Вариантов ответов: 7
ВОПРОС N 55. Закон убывающей эффективности производства формулируется следующим образом:
Вариантов ответов:
1. Величина производства продукции на каждую увеличивается с ростом затрачиваемого ресурса.
2. Рост продукции со скоростью, большей, чем скорость ее потребления на рынке невозможен.
3. Величина прироста продукции на каждую дополнительную единицу ресурса не увеличивается с ростом затрачиваемого ресурса.

ВОПРОС N 56. Какие из следующих математических функций не могут рассматриваться в качестве производственных функций в математических моделях экономики (y — выпуск продукции: x — производственный ресурс):1)y=2+3x 2)y=6x 3)y=4/(1+x) 4)y=1+2x+3x^2 5)y=4x+x
Вариантов ответов:
1. 1) и 2)
2. 2) и 5)
3. 3) и 6)
4. 1), 3), 4) и 6)
5. Все могут рассматриваться в качестве производственных функций.
6. Ни одна не может рассматриваться в качестве производственной функции.
Вариантов ответов: 6
ВОПРОС N 57. Указать, какое из представленных ниже выражений является формулой для фондовооруженности труда (Y-количество произведенного конечного продукта,L-количество затраченного труда, K-количество затраченного основного капитала)? 1)Y/L 2)K/L 3)K 4)Y/K
Вариантов ответов:
1. 1)
2. 2)
3. 3)
4. 4)

ВОПРОС N 58. Указать, какое из представленных ниже выражений является формулой для производительности труда (Y-количество произведенного конечного продукта,L-количество затраченного труда, K-количество затраченного основного капитала)? 1)Y/L 2)K/L 3)K 4)Y/K
Вариантов ответов:
1. 1)
2. 2)
3. 3)
4. 4)

ВОПРОС N 59. Указать, какое из представленных ниже выражений является формулой для фондоемкости продукции (Y-количество произведенного конечного продукта,L-количество затраченного труда, K-количество затраченного основного капитала)? 1)Y/L 2)K/L 3)K/Y 4)Y/K
Вариантов ответов:
1. 1)
2. 2)
3. 3)
4. 4)

ВОПРОС N 60. Указать, какое из представленных ниже выражений является формулой для фондоотдачи (Y-количество произведенного конечного продукта, L-количество затраченного труда, K-количество затраченного основного капитала)? 1)Y/L 2)K/L 3)K/Y 4)Y/K
Вариантов ответов:
1. 1)
2. 2)
3. 3)
4. 4)

Видео:Математическая модель задачиСкачать

Математическое моделирование и процесс создания математической модели

1. Математическое моделирование

и процесс создания математической модели.

Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики — математических моделей.

Процесс создания математической модели условно можно разбить на ряд основных этапов:

1) построение математической модели;

2) постановка, исследование и решение соответствующих вычислительных задач;

3) проверка качества модели на практике и модификация модели.

Рассмотрим основное содержание этих этапов.

Построение математической модели. Математической моделью называется аналитическое выражение, которое находится в результате анализа некой физической системы или явления, включающей в себя несколько неизвестных параметров этой системы или явления, подлежащих определению на основе данных эксперимента. С помощью наблюдений и экспериментов, практики выявляются основные «характеристики» явления, которым сопоставляются некоторые величины. Как правило, эти величины принимают числовые значения, т. е. являются переменными, векторами, матрицами, функциями и т. д.

Установленным внутренним связям между «характеристиками» явления придается форма равенств, неравенств, уравнений и логических структур, связывающих величины, включенные в математическую модель. Таким образом, математическая модель становится записью на языке математики законов природы.

Подчеркнем, что математическая модель неизбежно представляет собой компромисс между бесконечной сложностью изучаемого явления и желаемой простотой его описания.

Математические модели часто разделяют на статические и динамические. Статическая модель описывает явление или ситуацию в предположении их завершенности, неизменности (т. е. в статике). Динамическая модель описывает, как протекает явление или изменяется ситуация от одного состояния к другому (т. е. в динамике). При использовании динамических моделей, как правило, задают начальное состояние системы, а затем исследуют изменение этого состояния во времени. В динамических моделях искомое решение часто является функцией времени у=у(t), переменная t в таких моделях, как правило, бывает выделенной и играет особую роль.

Постановка, исследование и решение вычислительных задач. Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выяснить характер из зависимости от других входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи.

Выявим основные типы решаемых задач. Для этого все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы:

1) исходные (входные) данные х,

2) параметры модели a,

3) искомое решение (выходные данные) у.

1). Наиболее часто решают так называемые прямые задачи, постановка которых выглядит следующим образом: по данному значению входного данного х при фиксированных значениях параметров a требуется найти решение у. Процесс решения прямой задачи можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению. Тогда входное данное х характеризует «причины» явления, которые задаются и варьируются в процессе исследования, а искомое решение у — «следствие».

Для того чтобы математическое описание было применимо не к единичному явлению, а к широкому кругу близких по природе явлений, в действительности строят не единичную математическую модель, а некоторое параметрическое семейство моделей. Выбор конкретной модели из этого семейства осуществляется фиксацией значений параметров модели a. Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения.

2). Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у (параметры модели a, как и в прямой задаче, фиксированы). Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие «причины» x привели к известному «следствию» у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые.

3). Помимо двух рассмотренных типов задач следует упомянуть еще один тип — задачи идентификации. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление. В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема. Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели (с помощью выбора ее параметров a), с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого критерия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюдений.

Указанные три типа задач (прямые, обратные и задачи идентификации) будем называть вычислительными задачами. Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин искомым решением и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х.

Как правило, решение вычислительной задачи не удается выразить через входные данные в виде конечной формулы. Однако это совсем не означает, что решение такой задачи не может быть найдено. Существуют специальные методы, которые называют численными (или вычислительными). Они позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических операций над численными значениями входных данных. Однако для решения задач численные методы применялись довольно редко, так как их использование предполагает выполнение гигантского объема вычислений. Поэтому в большинстве случаев до появления ЭВМ приходилось избегать использования сложных математических моделей и исследовать явления в простейших ситуациях, когда возможно найти аналитическое решение. Несовершенство вычислительного аппарата становилось фактором, .сдерживающим широкое использование математических моделей в науке и технике.

Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился. Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью.

Проверка качества модели на практике и модификация модели. На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу. Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости.

Вопросы для повторения:

1. Что такое математическая модель?

2. Основные этапы построения математической модели?

3. Основные типы решаемых задач?

2. Основные этапы решения инженерной

задачи с применением ЭВМ

Решение инженерной задачи с использованием ЭВМ можно разбить на ряд последовательных этапов. Выделим следующие этапы:

1) постановка проблемы;

2) выбор или построение математической модели;

3) постановка вычислительной задачи;

4) предварительный (предмашинный) анализ свойств вычислительной задачи;

5) выбор или построение численного метода;

6) алгоритмизация и программирование;

7) отладка программы;

8) счет по программе;

9) обработка и интерпретация результатов;

10) использование результатов и коррекция математической модели.

Постановка проблемы. Первоначально прикладная задача бывает сформулирована в самом общем виде:

— исследовать некоторое явление,

— спроектировать устройство, обладающее заданными свойствами,

— дать прогноз поведения некоторого объекта в определенных условиях и т. д.

На данной стадии происходит конкретизация постановки задачи. Первостепенное внимание при этом уделяется выяснению цели исследования.

Этот очень важный и ответственный этап завершается конкретной формулировкой проблемы на языке, принятом в данной предметной области. Знание возможностей, которые дает применение ЭВМ, может оказать существенное влияние на окончательную формулировку проблемы.

Выбор или построение математической модели. Для последующего анализа исследуемого явления или объекта необходимо дать его формализованное описание на языке математики, т. е. построить математическую модель. Часто имеется возможность выбора модели среди известных и принятых для описания соответствующих процессов, но нередко требуется и существенная модификация известной модели, а иногда возникает необходимость в построении принципиально новой модели.

Постановка вычислительной задачи. На основе принятой математической модели формулируют вычислительную задачу (или ряд таких задач). Анализируя результаты ее решения, исследователь предполагает получить ответы на интересующие его вопросы.

Предварительный анализ свойств вычислительной задачи. На этом этапе проводят предварительное (предмашинное) исследование свойств вычислительной задачи, выяснению вопросов существования и единственности решения, а также исследованию устойчивости решения задачи к погрешностям входных данных.

Выбор или построение численного метода. Для решения вычислительной задачи на ЭВМ требуется использование численных методов.

Часто решение инженерной задачи сводится к последовательному решению стандартных вычислительных задач, для которых разработаны эффективные численные методы. В этой ситуации происходит либо выбор среди известных методов, либо их адаптация к особенностям решаемой задачи. Однако если возникающая вычислительная задача является новой, то не исключено, что для ее решения не существует готовых методов.

Для решения одной и той же вычислительной задачи обычно может быть использовано несколько методов. Необходимо знать особенности этих методов, критерии, по которым оценивается их качество, чтобы выбрать метод, позволяющий решить проблему наиболее эффективным образом. Здесь выбор далеко не однозначен. Он существенно зависит от требований, предъявляемых к решению, от имеющихся в наличии ресурсов, от доступной для использования вычислительной техники и т. д.

Алгоритмизация и программирование. Как правило, выбранный на предыдущем этапе численный метод содержит только принципиальную схему решения задачи, не включающую многие детали, без которых невозможна реализация метода на ЭВМ. Необходима подробная детализация всех этапов вычислений, для того чтобы получить реализуемый на ЭВМ алгоритм. Составление программы сводится к переводу этого алгоритма на выбранный язык программирования.

Существуют библиотеки из которых пользователи из готовых модулей свои программы, либо, в крайнем случае, приходится программу писать с «нуля».

Отладка программы. На этом этапе с помощью ЭВМ выявляют и исправляют ошибки в программе.

После устранения ошибок программирования необходимо провести тщательное тестирование программы — проверку правильности ее работы на специально отобранных тестовых задачах, имеющих известные решения.

Счет по программе. На этом этапе происходит решение задачи на ЭВМ по составленной программе в автоматическом режиме. Этот процесс, в ходе которого входные данные с помощью ЭВМ преобразуются в результат, называют вычислительным процессом. Как правило, счет повторяется многократно с различными входными данными для получения достаточно полной картины зависимости от них решения задачи.

Обработка и интерпретация результатов. Полученные в результате расчетов на ЭВМ выходные данные, как правило, представляют собой большие массивы чисел, которые потом представляются в удобной для восприятия форме.

Использование результатов и коррекция математическое модели. Завершающий этап состоит в использовании результатов расчетов в практической деятельности, иначе говоря, во внедрении результатов.

Очень часто анализ результатов, проведенный на этапе их обработки и интерпретации, указывает на несовершенство используемой математической модели и необходимость ее коррекции. В таком случае математическую модель модифицируют (при этом она, как правило, усложняется) и начинают новый цикл решения задачи.

Вопросы для повторения:

1. Основные этапы решение инженерной задачи с использованием ЭВМ?

3. Вычислительный эксперимент

Создание математических моделей и решение инженерных задач с применением ЭВМ требует выполнения большого объема работ. Нетрудно заметить аналогию с соответствующими работами, проводимыми при организации натурных экспериментов: составление программы экспериментов, создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов) обработка экспериментальных данных и их интерпретация и т. д. Однако вычислительный эксперимент проводится не над реальным объектом, а над его математической моделью, и роль экспериментальной установки играет оснащенная специально разработанной программой ЭВМ. В связи с этим естественно рассматривать проведение больших комплексных расчетов при решении инженерных и научно-технических задач как вычислительный эксперимент, а описанную в предыдущем параграфе последовательность этапов решения как один его цикл.

Отметим некоторые достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным:

1. Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физического.

2. В этот эксперимент можно легко и безопасно вмешиваться.

3. Его можно повторить еще раз (если в этом есть необходимость) и прервать в любой момент.

4. В ходе этого эксперимента можно смоделировать условия, которые нельзя создать в лаборатории.

Заметим, что в ряде случаев проведение натурного эксперимента затруднено (а иногда и невозможно), так как изучаются быстропротекающие процессы, исследуются труднодоступные или вообще пока недоступные объекты. Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с опасностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется исследование и прогнозирование результатов катастрофических явлений (авария ядерного реактора АЭС, глобальное потепление климата, землетрясение). В этих случаях вычислительный эксперимент может стать основным средством исследования. Заметим, что с его помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых, еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проектирования.

Существенным недостатком вычислительного эксперимента является то, что применимость его результатов ограничена рамками принятой математической модели.

Создание нового изделия или технологического процесса предполагает выбор среди большого числа альтернативных вариантов, а также оптимизацию по ряду параметров. Поэтому в ходе вычислительного эксперимента расчёты проводятся многократно с разными значениями входных параметров. Для получения нужных результатов с требуемой точностью и в приемлемые сроки необходимо, чтобы на расчет каждого варианта тратилось минимальное время.

Разработка программного обеспечения вычислительного эксперимента в конкретной области инженерной деятельности приводит к созданию крупного программного комплекса. Он состоит из связанных между собой прикладных программ и системных средств, включающих средства, предоставляемые пользователю для управления ходом вычислительного эксперимента, обработки и представления его результатов. Такой комплекс программ иногда называют проблемно-ориентированным пакетом прикладных программ.

Вопросы для повторения:

1. Достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным?

2. Недостатки вычислительного эксперимента?

4. Простейшие методы решения задач

4.1. Поиск корня функции.

Метод деления отрезка по полам (метод Вилли).

Делим отрезок пополам (АС=СВ). Выбираем половину, в которой функция пересекает ось 0х, затем обозначаем С за В, т. е. С=В и снова делим пополам. Выбор половины осуществляется произведением ¦(А)´¦(В). Если произведение больше 0, то корня нет.

Метод хорд (секущих).

Метод касательных (метод Ньютона).

Видео:Математическое моделирование - 9 класс алгебра. Решение задач с помощью уравненийСкачать

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ СТРУКТУРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПСИХОЛОГИИ: ЗА И ПРОТИВ.

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНЫХ СТРУКТУРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПСИХОЛОГИИ: ЗА И ПРОТИВ.

Что определяет судьбу нового метода в науке? По крайней мере несколько обстоятельств влияют на принятие научной общественностью нового способа анализа данных [18]. Первое связано с тем, благоприятствует ли теоретический и методологический дух времени методической инновации, то есть вызывает ли теоретическое обоснование нового метода интерес в профессиональных кругах, соответствуют ли инструментальные стратегии, на которых базируется » метод, принятым научным стандартам и т. д. Второе обстоятельство определяется концептуальной и функциональной доступностью нового метода анализа. Насколько понятен и легок в употреблении предлагаемый

метод, какого рода знания требуются для его использования, какого рода техническое оборудование необходимо, и, наконец, сможет ли средний студент, обучающийся соответствующей профессии, применять этот метод? Ответы на эти вопросы зависят от теоретической и технической сложности предлагаемого метода, а также от определяемых им затрат компьютерного времени и профессионального труда. И, наконец, третий фактор, вероятно, наиболее важный, связан с тем, насколько перспективен данный метод для развития науки. Перспективность метода — понятие многогранное. Сюда входит как проза научной работы, например, уточнение и проверка достоверности ранее сформулированных гипотез, проверка надежности и валидности тестов, так и ее поэтика, например, тестирование новых теорий. Каждый из трех вышеназванных факторов, определяющих принятие нового метода анализа в науке, напрямую детерминирует будущее моделирование с помощью линейных структурных уравнений в психологии. В настоящей публикации описываются основные понятия, связанные со структурным моделированием.

Статистический метод моделирования с помощью линейных структурных уравнений (МЛСУ), описывающих латентные переменные, а также его разновидность — конфирматорный факторный анализ (КФА) были разработаны на основе техники статистического анализа множественных переменных, используемых биологами, экономистами, психологами и социологами. МЛСУ предполагает формулирование набора гипотез о влиянии одних переменных, например, причинных и контрольных, на другие переменные. Соответствие подобного набора гипотез (теоретической модели) и реальных данных, собранных при работе с конкретной выборкой (эмпирической модели), формализуется с помощью статистического алгоритма, оценивающего степень согласования или меру соответствия. Таким образом, МЛСУ позволяет тестировать причинные гипотезы на основе корреляционных данных. Вследствие широкого применения неэкспериментальных схем исследования в науках о человеке, МЛСУ и КФА часто используются в психологии, социологии и экономике. К удивлению, вышеназванные статистические методы не столь популярны в биологии, несмотря на то, что в рамках именно этой науки идеи МЛСУ впервые были сформулированы С. Райтом [38]. История возникновения и этапы детальной разработки МЛСУ описаны П. Бентлером [5], а работы К. Боллена [13] и П. Бентлера [7] содержат современное техническое описание МЛСУ, поэтому эти вопросы не будут обсуждаться в предлагаемой вниманию читателей статье. Задачей данного текста является ознакомление читателей с основными понятиями и типами моделей, используемыми в рамках МЛСУ, а также обсуждение «за » и «против » применения этого сложного статистического инструмента.

Несмотря на то, что статистические методы анализа множественных переменных были описаны и, соответственно, доступны для использования с начала века, в течение долгого времени эти методы применялись скорее для решения исследовательских задач открытого типа (не направленных на тестирование заранее сформулированных причинноследственных гипотез), чем для проверки причинноследственных предположений. В течение последних 10-15 лет, однако, ситуация изменилась, и МЛСУ стал рассматриваться как метод наиболее адекватный для тестирования причинноследственных предположений по сравнению с приемами, исторически используемыми для решения подобных задач. Чем же МЛСУ столь привлекателен для исследователей? Согласно Дж. Мартину [30], основное преимущество структурного моделирования по сравнению с использованием ряда более традиционных моделей (например, [19]) заключается

в том, что МЛСУ позволяет исследователю включить в модель гипотезы, касающиеся ошибок измерения и их влияний на отношения между переменными, тестируемыми с помощью множественных регрессий.

МЛСУ и КФА особенно привлекательны при осуществлении статистического анализа данных в ситуациях, когда исследователь взаимодействует с большим количеством переменных, интеркорреляции которых известны, и в его задачи входит суммирование этих переменных, определение степеней родства между ними, оценка качества измерительных инструментов, контроль ошибки измерения как для каждой из измеряемых (актуальных) переменных, так и для латентных, неизмеряемых переменных, и, наконец, нахождение соответствия между измеряемыми и латентными структурами. Правомерно будет сказать, что в ситуациях, когда набор переменных неточно измеряет латентную структуру или конструкт, являющийся предметом интереса исследователя, т. е. практически в любом случае, когда больше чем одна наблюдаемая переменная используется для представления латентной структуры, МЛСУ с латентными переменными следует применять как наиболее адекватный метод статистического анализа. Учитывая то обстоятельство, что в психологии большинство латентных структур измеряется посредством не одной, а нескольких актуальных переменных, т. е. не может быть представлено без ошибки измерения, возможность и необходимость применения МЛСУ в психологии становится очевидной.

Полезность применения МЛСУ была продемонстрирована в различных областях психологии. Примеры использования этого статистического метода могут быть найдены в большинстве западных психологических журналов [6], [18], [26].

Несмотря на то, что в кулуарных разговорах МЛСУ часто называют методом «моделирования причинноследственных отношений «, хотелось бы подчеркнуть, что причинноследственные закономерности формулируются и вносятся в модель исследователем в момент ее создания, т. е. эти каузальные отношения существуют только в представлении автора модели и предопределяются теорией, последователем которой является исследователь. Наличие причинноследственных отношений между переменными не может быть доказано путем моделирования структур ковариационных матриц [3], [16]. МЛСУ позволяет оценивать степень соответствия теоретических причинноследственных гипотез эмпирическим данным. Если степень соответствия такова, что различия между двумя моделями (теоретической и эмпирической) а) статистически отличимы от нуля (статистически значимы), то причинноследственные гипотезы могут быть отвергнуты; б) статистически неотличимы от нуля (незначимы), то причинноследственные гипотезы не могут быть как отвергнуты, так и «доказаны » в рамках МЛСУ. На практике, построенные теоретические модели нередко оказываются неадекватными эмпирическим данным; использование МЛСУ в различных областях психологии часто приводит, однако, к находкам, которые, в свою очередь, помогают усовершенствовать теорию в направлении улучшения ее соответствия реальным данным.

Предваряя анализ основных понятий МЛСУ, хотелось бы отметить, что, как и любой другой статистический подход, моделирование с помощью структурных линейных уравнений не избежало как критики со стороны, так и внутренних противоречий. Спонтанно выделилось несколько основных проблемных моментов, вокруг которых разыгрываются горячие споры критиков и защитников МЛСУ. Одно из направлений критики связано с вопросами статистических характеристик МЛСУ и ситуаций, в которых использование МЛСУ было бы ошибочно [20]. Д. Фридмен обеспокоен беспечностью, с которой регрессионные модели, включая МЛСУ, используются в психологии, и подчеркивает необходимость

внимательного отношения к основным статистическим допущениям, лежащим в основе этих моделей. Исследователь, использующий МЛСУ, должен отдавать себе отчет в том, что достоверность гипотез может быть протестирована с помощью этого метода, но ни в коем случае не может быть доказана. Тем не менее, если причинноследственная теория соответствует эмпирическим данным, то теория может считаться подтвержденной в том смысле, что она не опровергнута эмпирией. Как подчеркивает Д. Френсис, «МЛСУ разрешает устанавливать причинно следственные влияния путем предположения существования сети причин и следствий среди переменных, и детерминировать степень, с которой переменные должны быть связаны друг с другом, если такая сеть существует в действительности » [21; 625].

Структура обзора, предложенного вниманию читателя, такова: вначале следует краткое описание статистических основ МЛСУ и основных понятий, употребляемых в рамках структурного моделирования; затем — анализ последовательности шагов в осуществлении моделирования и «несбалансированное «[1] иллюстрирование основных типов моделей; и, наконец, обсуждение «за » и «против «, связанных с использованием этого метода.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ СТРУКТУРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Моделирование с помощью структурных уравнений представляет собой метод, родственный методу систем регрессионных уравнений, используемому при формулировании, детализации и тестировании теории или гипотезы. Эти уравнения соотносятся зависимые переменные и набор детерминирующих переменных, которые, в свою очередь, могут выступать в роли зависимых переменных в других уравнениях. Подобные линейные уравнения в совокупности с уравнениями, детализирующими компоненты дисперсии и ковариации независимых переменных, составляют структурную модель. Составление и запись уравнений, детализирующих компоненты дисперсии и ковариации независимых переменных, осуществляется с помощью матричной алгебры.

В матричной алгебре и контексте ковариационного структурного анализа буквой å обозначается популяционная матрица ковариацией и буквой — вектор основных параметров, включающих регрессионные коэффициенты, дисперсии и ковариации независимых переменных. В контексте более общих структурных моделей средние зависимых переменных также являются функцией основных параметров, и к вышеназванному списку добавляются средние латентных переменных, а также a коэффициенты (сдвиг регрессионных прямых по ординате) регрессионных уравнений, описывающих взаимосвязи зависимых и независимых переменных. При условии, что вектор неизвестных параметров ( ) принимает параметрические значения, популяционные вектор средних m и матрица ковариации å могут быть записаны как m=m( ) и å=å( ). Это и есть структурная гипотеза, которую надлежит проверить. На практике, вектор эмпирических (полученных на основе анализа реальной выборки испытуемых) средних Х и ковариационная матрица S используются при оценке неизвестных параметров вектора q. Если =m( ) и сходны с и S, то модель, включающая анализируемые линейные структурные уравнения, достоверно описывает эмпирические данные. Если же матрицы, построенные на основе

модели и подсчитанные на основе эмпирического исследования несходны, модель должна быть отвергнута. Заметим еще раз, что во многих моделях средние не структурированы как m(q) = и только структура ковариационной матрицы S представляет интерес для исследователя. Класс этих более частных моделей называется ковариационными структурными моделями. Подклассом такого рода моделей, включающим латентные факторы, является, например, конфирматорный факторный анализ.

Статистической основой МЛСУ является асимптотическая статистическая теория, подразумевающая, что оценка и тестирование моделей осуществляется при наличии относительно больших по численности выборок испытуемых. Поскольку использование МЛСУ требует больших затрат компьютерного времени, пользователи при тестировании моделей предпочитают использовать стандартные статистические пакеты типа LISREL [25], EQS [7] и Мх. Чаще всего предпочтение отдается EQS в связи с «дружелюбной натурой » этого пакета — от пользователя вовсе не требуется знание матричной алгебры в момент перевода теоретической модели на язык компьютера. LISREL и Мх предъявляют к пользователям существенно более строгие требования: первым шагом на пути использования этих пакетов должно стать ознакомление с азами матричной алгебры[2]. Все эти пакеты, несмотря на различия в деталях, основаны на одних и тех же общих математических и статистических подходах, применяемых к анализу систем линейных структурных уравнений. Математическая модель относится к классу ковариационных структурных моделей, включающих как множественную регрессию, анализ путей, одновременный анализ уравнений, конфирматорный факторный анализ, так и анализ структурных отношений между латентными переменными. Согласно модели Бентлера-Викса [12], параметры любой линейной структурной модели представляют собой регрессионные коэффициенты, дисперсии и ковариации независимых переменных. Статистическая теория позволяет оценивание этих параметров с использованием мультифакторной нормальной теории, а также более общих эллиптической и арбитрального распределения теорий, основываясь на обобщенном методе наименьших квадратов или теории минимального cквадрат.

Как было упомянуто выше, дисперсии и ковариации, полученные на основе эмпирических данных, сравниваются с гипотетической моделью. Степень, с которой гипотетическая модель S( ) воспроизводит эмпирически найденные отношения между переменными, отражающиеся в матрице S, определяет меру соответствия модели. Обычно мера соответствия определяется с помощью распределения cквадрат с количеством степеней свободы (df), подсчитывающимися на основе разницы между количеством элементов в матрице S (или S и X) и количеством свободных параметров, оценивающихся в . Если значение cквадрат, соответствующее определенному количеству степеней свободы, меньше табличного, то модель воспроизводит эмпирические данные удовлетворительно, т. е. S( ) близка к S. Если же значение cквадрат больше табличного, и все допущения, сделанные в ходе моделирования, соблюдены (например, допущение о независимости измерений), то нулевая гипотеза S=S( ) отвергается. Обычно значение cквадрат рассматривается как результирующая функция в точке ее минимума, умножен на величину выборки. В результате, теоретически, при работе с большими выборками, нулевая гипотеза S=S( ) может оказаться отвергнута только в результате высокой мощности анализа. На практике, поскольку cквадрат чувствителен к размеру выборки, модели с большим количеством испытуемых не соответствуют эмпирическим данным до желаемой

степени даже при тривиальных различиях между S и [2], [12], [29]. Поэтому среди исследователей принято подсчитывать некоторые дополнительные индексы меры соответствия теоретической и эмпирической моделей. К. Боллен в своей книге [13] упоминает несколько таких индексов, в число которых входит критерий Акайке [1], корень остатков квадратов средних, и т. д. В EQS автоматически подсчитываются нормированная мера соответствия, ненормированная мера соответствия и индекс сравнения [8]. Все эти индексы предоставляют дополнительную информацию относительно степени соответствия двух моделей, поскольку они отражают способность теоретической модели «объяснить » эмпирические ковариации.

Не менее важна в структурном моделировании и проверка специальных гипотез о тех или иных параметрах, входящих в модель. Тестирование подобного рода гипотез осуществляется с помощью хорошо известных r и zтестов. Например, тест гипотезы о том, что в популяции равняется 0, может быть осуществлен посредством использования мономерных нормальных zтестов нулевых гипотез, применяемых для больших выборок. Zкоэффициент представляет собой дробь, в числителе которой находится оценка одного из параметров структурных коэффициентов, а в знаменателе — оценка стандартной ошибки, с которой этот параметр оценен. Этот тест и подобные многомерные тесты встроены практически во все стандартные пакеты МЛСУ.

Латентными переменными называются скрытые, не измеряемые напрямую конструкты, которые могут быть представлены посредством двух или более реально измеряемых (далее в тексте — актуальных) переменных. Основная идея концепции взаимоотношений латентных и актуальных переменных заключается в том, что актуальные переменные коррелируют только до той степени, до которой они пересекаются, описывая скрытую латентную переменную, то есть предполагается, что «вычерчивание » латентной переменной (отсечение от нее частей, представленных через обозреваемые переменные), сведет корреляцию между актуальными переменными к нулю. Как упоминалось выше, латентные переменные не могут быть измерены напрямую, актуальные переменные выступают в роли представителей, индикаторов скрытых конструктов, представляющих теоретический интерес. Уравнения, записанные в контексте моделей с латентными переменными, позволяют выражать актуальные переменные в терминах латентных конструктов. Последние не могут быть представлены как линейные комбинации актуальных переменных, так как количество измерений пространства латентных переменных превышает количество измерений пространства актуальных переменных [4].

Факт существования латентных переменных обычно устанавливается через конфирматорный факторный анализ (КФА). КФА показывает, насколько хорошо актуальные переменные служат в роли предполагаемых представителей одной или нескольких латентных переменных. Главное различие между КФА и хорошо известным эксплораторным факторным анализом (ЭФА) заключается в том, что в КФА наличие факторов и их структура предполагается заранее, до осуществления самого анализа. В эксплораторном факторном анализе исследователь старается определить, сколько и каких факторов необходимо для возможно более полного объяснения корреляций, наблюдаемых между актуальными переменными. Подход к факторному анализу в рамках моделирования с помощью структурных уравнений характерен тем, что подразумевает априорное формулирование гипотез относительно 1) количества латентных переменных или факторов; 2) актуальных переменных, являющихся измерителями латентных переменных или факторов. В дополнение, и это не менее важно, чем высказанное, формулируется гипотеза о том, что

факторные нагрузки определенных латентных переменных на определенные актуальные переменные равны нулю. Тесты с использованием распределения cквадрат и различные индексы меры соответствия, упомянутые выше, определяют достоверность сформулированных гипотез.

В КФА латентные переменные могут коррелировать или не коррелировать друг с другом, но никогда не регрессируются на другие (латентные или актуальные) переменные. Более общие по своей природе модели, построенные на основе структурных уравнений, позволяют учитывать структуру взаимоотношений между латентными переменными. В рамках этого подхода могут быть сделаны предположения не только о структуре корреляции, но и о природе и направлении влияний одной латентной переменной на другую, т. е. в модель могут быть включены отношения причинноследственного характера. Подобные гипотезы проверяются посредством хорошо уже нам знакомых тестов с использованием распределения cквадрат и различных индексов меры соответствия, а отдельные регрессионные пути тестируются с помощью тестов значимости, упомянутых в предыдущем параграфе.

Наиболее полезным с практической точки зрения свойством МЛСУ является то, что этот метод позволяет осуществлять перебор и сравнение между собой разнообразных «соревнующихся » моделей. Эта черта стимулирует исследователя расширять круг сравниваемых моделей, памятуя тот факт, что какаято из непротестированных еще моделей может соответствовать эмпирическим данным в большей степени, чем модель, находящаяся в работе. Кроме того, уверенность исследователя в том, что модель с лучшей мерой соответствия является искомой и желаемой, зависит от того, были ли протестированы другие теоретически возможные альтернативные модели [27].

Существует несколько способов перебора моделей. Один из них заключается в том, что осуществляется сравнение значений cквадрат, полученных для каждой из моделей. Если величиной cквадрат, подсчитанной для каждой модели отдельно, измеряется степень соответствия между теоретической моделью и эмпирическими данными, то разница, полученная простым вычитанием значений, подсчитанных для двух разных моделей, распределенная по cквадрат и называемая инкрементным cквадрат, может служить мерой сравнения двух моделей. Важно помнить, что этот метод может быть использован только при сравнении иерархических или гнездовых моделей. Количество степеней свободы при подобного рода сравнении определяется разницей между степенями свободы двух анализируемых моделей. Два исхода возможны в результате такого сравнения: 1) инкрементный cквадрат является значимым и предпочтение отдается одной из моделей или 2) инкрементный cквадрат является статистически незначимым и выбор в пользу одной из моделей оказывается неосуществим. Во втором случае в игру вступает «принцип бережливости » [9], [11], т. е. предпочтение отдается наиболее простой и экономичной модели.

Другой популярный способ сравнения моделей использует множественные выборки. Часто эмпирические данные собираются в разных выборках, например, среди людей разного пола, возраста, разной национальной или групповой принадлежности. Теоретически исследователь может предположить, что имеющиеся группы были отобраны не из одной, а из разных популяций. Два типа полярных гипотез формулируются при подобного рода сравнении: 1) матрицы средних и ковариаций, подсчитанные в этих группах, должны полностью отличаться и быть не связаны друг с другом (т. е. выборки были отобраны из разных гетерогенных популяций); или 2) эмпирические матрицы средних и ковариаций должны совпадать (эта гипотеза подразумевает,

что выборки были отобраны из одной гомогенной популяции). Промежуточные гипотезы относительно степени совпадения или расхождения матриц средних и ковариций могут быть протестированы посредством осуществления одновременного анализа, позволяющего проверить, с какой точностью каждая из моделей воспроизводит эмпирические данные, полученные для каждой из анализируемых выборок. Как обычно, тесты, использующие распределение cквадрат, могут быть использованы для оценки адекватности проверяемых моделей. На практике, исследователь обычно начинает анализ с набора относительно неограниченных моделей, т. е. моделей с большим числом оцениваемых, нефиксированных параметров, а затем постепенно фиксирует (приравнивает друг к другу) параметры в разных группах. Рекомендуемый порядок ограничения количества свободных параметров в модели подробно обсуждался рядом авторов (например, [7]).

ЭТАПЫ ПРОЦЕССА МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделируя, исследователи обычно следуют схеме, описанной ниже [10].

1. Рисуется «диаграмма путей «, включающая все переменные, входящие в состав моделируемой причинноследственной системы. Переменные, не являющиеся результатом влияния других переменных, включенных в диаграмму, называются независимыми. Переменные, представляющие собой результат действия других переменных, называются зависимыми. В диаграммах путей актуальные (измеряемые) переменные изображаются квадратами, а латентные — овалами или кругами. Двунаправленные стрелки используются для обозначений корреляций и ковариаций независимых переменных. Однонаправленные стрелки, часто называемые коэффициентами путей, представляют влияния одних переменных на другие. Направление стрелок соответствует направлению влияний.

Рис. 1. Схематическое изображение типов соотношений латентных (Y) и актуальных (х) переменных.

Актуальные переменные x1 и х4 являются индикаторами латентной переменной Y1, причем x1 и х4 коррелируют, поскольку они перекрывают друг друга в своих описаниях Y1. Если, однако, путем парциальной регрессии или частной корреляции исключить сферу пересечения x1 и Х4 из анализа, то корреляция между этими переменными сведется к нулю. Переменная x2 является индикатором двух латентных переменных, Yi и Y2, т. е. входит в структуру как фактора, описывающего Y1, так и фактора, описывающего Y2. И, наконец, переменная х3 представляет переменную Y2. Ни одна из актуальных переменных не описывает латентные конструкты точно; все х включают в себя что-то еще (случайную ошибку измерения, ошибку метода, и так далее), что «загрязняет » чистоту отражения латентных переменных.

2. Диаграммы переводятся на язык уравнений множественных регрессий. При этом записывается столько уравнений, сколько модель содержит в себе переменных, требующих объяснения, т. е. количество уравнений соответствует количеству зависимых переменных.

3. Системы уравнений подвергаются статистическому анализу при помощи статистических пакетов типа LISREL, Мх или EQS. Задачей такого рода анализа является проверка соответствия модели, сформулированной посредством системы уравнений, и эмпирических данных. Коэффициенты путей, являющиеся стандартизированными парциальными регрессионными коэффициентами, показывают степень влияния причинных переменных на следственные.

4. Адекватность модели определяется посредством как статистических, так и нестатистических средств.

5. Осуществляется перебор моделей на данных одной и той же выборки. Одним из способов подобного перебора является сравнение иерархических, гнездовых моделей путем подсчета инкрементных

тестов с использованием распределения cквадрат.

НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ МОДЕЛЕЙ, УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ В МЛСУ

Измерительные модели, позволяющие оценивать надежность и валидность психологических инструментов.

Измерительная модель в КФА. Надежность и валидность инструментария, используемого в психологии, представляют собой предмет постоянной заботы профессиональных психологов. Достаточно часто исследователям приходится иметь дело с набором различных показателей, каждый из которых в той или иной мере «заражен » ошибкой измерения. Поскольку латентные переменные являются свободными от ошибок измерения показателями глубинных процессов или структур, они часто рассматриваются как индикаторы, способные как суммировать, так и представлять различные переменные в случае присутствия некоей общей дисперсии между ними. Эти латентные переменные могут быть как причинами, так и следствиями или ковариациями других гипотетических конструктов.

Как КФА, так и более общий метод анализа путей, включающий латентные переменные, позволяют оценивать конструктную, конвергентную и дискриминантную валидность. В моделях, имеющих дело с латентными переменными, весьма нежелательные ошибки измерения, являющиеся компонентами актуальных переменных, могут быть представлены посредством специальных терминов и, тем самым, привносимая ими дисперсия будет исключена из определений латентных переменных и смоделирована отдельно. Что же по поводу тех моделей, спросит читатель, разработанных в контексте анализа путей, которые включают в себя только актуальные переменные, выступающие в ролях как предсказывающих, так и результирующих факторов? В подобных моделях актуальные переменные скрывают в себе ошибку измерения, отдифференцировать которую невозможно, что ведет к искаженным оценкам других параметров модели. Одна из главных причин популярности моделей, включающих латентные переменные, в том и заключается, что такого рода моделирование позволяет отделить дисперсию ошибки и тем самым смоделировать «совершенное «, безошибочное измерение скрытых процессов так, что относительная величина влияния латентной переменной на актуальную будет отражением того, насколько актуальная переменная действительно » является индикатором глубинной структуры, а не результатом искажающих влияний ошибки измерения.

Несмотря на то, что каждое конкретное измерение содержит в себе ошибку, измерительная модель в том варианте, в котором она формулируется и тестируется в рамках КФА, строится на основе анализа паттерна корреляций актуальных переменных. Использование множественных индикаторов для каждого латентного конструкта позволяет при анализе ковариаций актуальных переменных представить степень, с которой каждая из этих переменных отражает латентную переменную. Остаточная же дисперсия, неучтенная латентными факторами, состоит из случайных и специфичных компонентов ошибки.

Параметры измерительной модели описывают измерительные достоинства актуальных переменных, на основании которых, в свою очередь, может быть подсчитана внутренняя согласованность, являющаяся одним из видов надежности измерения [25]. В рамках LISREL надежность актуальных переменных представляется в виде квадратов множественных корреляций этих переменных с латентным конструктором[3]. В EQS оценка надежности осуществляется путем вычитания квадратов коэффициентов ошибок измерения

каждой из актуальных переменных из 1 при подсчете стандартного решения. Эти оценки, в зависимости от дизайна исследования, могут как являться, так и не являться подходящими индексами надежности. Поскольку эти индексы в рамках КФА будут учитывать специфичность теста в качестве дисперсии ошибки, эти индексы могут выступать в роли оценок надежности только в том случае, когда дизайн позволяет суммировать всю специфическую дисперсию в рамках общего факторного пространства. Это может быть сделано, например, с панельными данными (см. ниже).

КФА может быть полезен для разработки валидного и надежного психологического инструментария, например, психометрических тестов. Применимость этого подхода также была показана в рамках клинической работы при разработке инструментов, оценивающих страх и тревожность [17], [33]. Особенно настойчиво исследователи [33] подчеркивают возможность и необходимость использования КФА, позволяющего тестировать гипотезы и валидизировать теории, в контексте клинической психологии, отличающейся наличием большого количества опросников, тестов и методик с привлекательными названиями, но низкой конструктной валидностью (иными словами, измеряющими что-то иное вместо того, что заявлено в названии методики). Р. Моррис и коллеги иллюстрируют свое утверждение примером исследования связей страхов и соматических жалоб у детей школьного возраста и показывают, что практики могут с большим доверием относиться к результатам, полученным при использовании КФА, по сравнению с традиционными факторными процедурами. В дополнение они говорят о преимуществах разработки модели в преддверии непосредственного сбора материала и советуют избегать «случайного » сбора материала, т. е. использования неаргументированного набора методик при отсутствии четкой теоретической модели.

К. Йореског [23] описал примеры моделей КФА, позволяющих оценивать уровень психометрического соответствия тестов на основе классификации (параллельные, тауэквивалентные и однородные или конергические), разработанной в классической теории тестов [28]. Используя гнездовые модели, исследователь может протестировать серию изменяющихся по степени строгости (начиная с модели с наибольшим числом свободных параметров и кончая моделью с наименьшим числом свободных, т. е. с большим числом фиксированных параметров) гипотез, касающихся психометрических достоинств тестов, путем приравнивания различных параметров моделей друг к другу. Например, модель параллельных тестов требует выполнения допущений о равенстве друг другу как факторных нагрузок, так и дисперсии ошибки, в то время как тауэквивалентная модель подразумевает равенство только факторных нагрузок. Д. Френсис разработал усложненный вариант описанной выше модели [21]. В его интерпретации модель позволяет тестировать степень эквивалентности различных нейропсихологических тестов в разных популяциях и на разных возрастных этапах. Р. Миллсап и Г. Эверсон [32] представили класс измерительных моделей в рамках КФА, в которых в анализ включаются не только ковариационные матрицы, но и матрицы средних актуальных переменных.

Заканчивая этот параграф, еще раз предостережем читателей от возможной ошибки. В то время как КФА, как было показано выше, позволяет формулировать и тестировать различные предположения, ведущие к оценке надежности измерений, эти самые оценки не будут иметь никакого смысла, если модель, на основании которой это оценивание было произведено, не соответствует характеристикам эмпирических данных. Итак, первое — оценка характеристик эмпирических данных, проверка моментов распределения и убеждение в том, что эмпирические данные пригодны для использования МЛСУ; затем — создание адекватных моделей и их статистическое сравнение; и лишь затем

Лонгитюдные модели со множественными индикаторами. В дополнение к теоретическим преимуществам, возникающим при использовании латентных переменных, а не измеряемых с ошибками единичных актуальных переменных, которые, как надеется автор, стали теперь очевидны читателю. МЛСУ также предоставляет некоторые статистические возможности, появляющиеся при работе с множественными индикаторами теоретических конструктов и позволяющими получить информацию относительно стабильности и надежности измерений в разные моменты времени. Напомним, что одномерные (с одной переменной) лонгитюдные модели не позволяют оценить возможное влияние коррелирующих ошибок измерения [37]. Примером лонгитюдных моделей с множественными индикаторами может являться модель развития интеллекта, где измерения осуществляются посредством нескольких актуальных переменных (например, вербального и невербального IQ) в разные моменты времени (например, 6, 8 и 10 лет).

Кроме того, как было упомянуто выше, при сборе кросссекциональных данных и использовании обычного КФА, разделение специфической дисперсии и дисперсии ошибки становится невозможным. Замечательное обсуждение этого вопроса было сделано в работе Р. Миллсапа и Г. Эверсона [32; 487]. Одним из способов выделения различных компонентов остаточной дисперсии является использование лонгитюдных (панельных) КФА моделей. Панельными данными называют результаты работы с крайне похожими между собой или идентичными инструментами, используемыми в одной и той же выборке испытуемых по крайней мере два (или больше) раза в несовпадающие моменты времени. Внимание привлекалось к тому факту [37], что оценивание надежности совершенно необходимо при осуществлении моделирования панельных данных.

Если тестспецифичная ошибка измерения рассматривается как случайная ошибка, надежность отдельных пунктов теста недооценивается. Однако при использовании МЛСУ становится возможным разложение дисперсии на специфичные и случайные ошибки измерения [35]. Например, тестспецифичная ошибка в измерении любого индикатора латентной переменной в исходных данных может быть смоделирована как коррелирующая с измерением того же индикатора в другой момент времени[4]. КФА позволяет исследователю эксплицитно моделировать эти тестспецифичные коррелирующие ошибки с целью получения оценки ошибки измерения, свойственной для использованного метода. Таким образом, могут быть оценены как случайная, так и специфичная ошибка измерения.

К. Йореског проанализировал пример разделения тестспецифичной и ситуационноспецифичной дисперсий для модели с шестью переменными, которые измерялись в четыре различных временных момента [23]. Панельные данные, проанализированные в этой работе, были получены из большого исследования процесса взросления, где измерения осуществлялись по результатам тестов способности и успешности в 5, 7, 9 и 11 классах. К. Йореског предложил для каждого временного среза двухфакторное решение с двумя коррелирующими общими факторами — факторами вербальных и количественных способностей. Степень соответствия модели заметно улучшилась, когда к факторам способностей были добавлены тестспецифичные факторы, сквозные для всех временных моментов — по одному фактору для каждого из тестов. Оценивая компоненты дисперсии, автор обнаружил, что факторы способностей объясняют значимо большую долю изменчивости, в то время как тестспецифичные дисперсии были

Модель множественных признаков и множественных методов. Лонгитюдные панельные модели, упомянутые в предыдущем разделе, являются частным случаем более общего подхода, позволяющего оценивать дискриминантную, конвергентную и конструктную валидность. Этот подход обычно называют моделированием множественных признаков и множественных методов (МПММ) [15]. Смысл МПММ заключается в том, что несколько различных признаков измеряется посредством нескольких инструментов или методов. Этот подход употребляется для определения истинных отношений среди признаков при наличии как дисперсии метода, так и случайной ошибки. Метод КФА был назван предпочтительным при работе с МПММ данными [17]. В ситуациях, когда дисперсии как признака, так и метода учитываются при планировании эксперимента, КФА может подтвердить существование факторов признаков и методов [23], [24]. Также используя КФА, исследователь может учесть коррелирующие ошибки. В нескольких работах обсуждались различные парадигмы и ограничения КФА МПММ моделей, позволяющих оценивать как конвергентную и дискриминантную валидность, так и искажения, вызываемые различными методами. Г. Марш утверждает, что в ситуации, когда факторы методов не могут быть четко определены, предпочтительнее не моделировать эти факторы как независимые, а рассматривать их как коррелирующие ошибки измерения [29].

Рис. 2 представляет собой схематическое представление гипотетической МПММ модели, тестирующей конвергентную и дискриминантную валидность десяти измерений трех признаков: тревожности, депрессии и гневливости [11]. Три фактора методов также присутствуют в модели: самоотчет, родительская и учительская оценки. Дискриминантная валидность может быть оценена путем анализа величины корреляций между факторами признаков.

Очевидно, что исследователю следует ожидать какуюто степень корреляции между различными психологическими состояниями (неортогональность факторов); слишком большие корреляции, однако, будут свидетельствовать против способности тестов определять разные состояния. Конвергентная валидность может быть оценена при анализе нагрузок каждого из тестов на факторы признаков. Факторы методов объясняют разделенную дисперсию, возникающую за счет схожих методических характеристик разных тестов.

Д. Коул проанализировал несколько примеров использования полного и неполного МПММ дизайнов в клинических исследованиях [17]. Он показал, реанализируя результаты, полученные другими авторами, что его находки в основном подтвердили исходные модели и предоставили большое количество ценных второстепенных заключений. Одним из наиболее интересных и полных примеров, разработанных Коулом, является его переоценка данных из исследования по валидизации детских тестов гневливости и депрессии. Эти два конструкта были измерены при использовании 8 инструментов, причем среди методов были самоотчет, оценивание одноклассниками и учителями и ранжирование учителями. Модель, включающая два коррелирующих фактора признаков и три коррелирующих фактора методов (самоотчет, оценивание и ранжирование), была найдена лучшей среди перебранных моделей. Тот факт, что гневливость и депрессия не показали значимых корреляций, был проинтерпретирован как свидетельство дискриминантной валидности тестов. Конвергентная валидность была продемонстрирована частично, поскольку, несмотря на то, что большинство индивидуальных измерений показали значимые ассоциации с соответствующими факторами признаков, одна из ассоциаций была значительно меньше, чем другие, а другая имела противоположный знак.

Разрабатывая технику использования концепции МПММ, Дж. Дж. Стейн,

Рис. 2. Схематическое представление МПММ КФА модели. Актуальные переменные представлены прямоугольниками, латентные переменные — овалами. В модель входят три фактора признаков (тревожность, депрессия и гневливость) и три фактора методов (родительская и учитель екая оценки и самоотчет). Остаточные ошибки на диаграмме не показаны.

М. Ньюкомб и П. Бентлер выделили среди моделируемых латентных измерений частоту, количество использования наркотических и опьяняющих веществ (НОВ), субъективное восприятие степени использования НОВ, интенсивность нарушения различных типов деятельности, вызванных НОВ, и употребление специфических НОВ. Факторы, описывающие употребление специфических НОВ, рассматривались как аналоги методических факторов, а более общие факторы использования НОВ — как факторы черт. Другие примеры использования МПММ КФА приемов включают оценку валидности самоотчета об употреблении алкоголя и других НОВ путем разделения четырех методов сбора данных и выделение факторов поддержки ровесников и семьи, оцениваемых тестами одиночества, социальной поддержки и социальной материальной помощи [34].

Одной из главных проблем при использовании МЛСУ для оценивания надежности и валидности является игнорирование статистических и теоретических допущений, лежащих в основе этого метода. Например, использование техники максимального правдоподобия, используемой обычно в МЛСУ, подразумевает, что анализируемые переменные распределены нормально [11]. Кроме того, в случае работы с панельной лонгитюдной моделью, феномен истощения выборки (отказ испытуемых

от дальнейшего участия в исследовании), может повлиять на качество и психометрические характеристики данных, так как возможно появление различного рода искажений и изменение параметров репрезентативности. Проблемы также могут возникнуть с размером и структурой выборки, которые могут оказаться неадекватными для решения задач стандартизации и валидизации. Необходимо также помнить о возможности появления ситуаций, когда используется слишком мало индикаторов латентных переменных, что может привести к неспособности однозначно идентифицировать модель.

Д. Коул [17] рекомендует использование КФА при решении задач валидизации тестов, но подчеркивает, что качество оценок, полученных путем применения КФА, не может быть лучше, чем характеристики эмпирических данных, т. е., если моменты распределения переменных, задействованных в анализе, не соответствуют моментам нормального распределения, оценки валидности и надежности, вопервых, будут невысоки, а вовторых, неадекватны. Кроме того, понятно, что если модель была специфицирована неправильно, то оценки также могут не соответствовать действительности. В дополнение к вышесказанному, читатель должен быть предостережен против формулирования любого рода заключений на основе post hoc модификаций тестируемой модели. Кроссвалидизация, проведенная при наличии двух разных выборок, представляет собой надежный способ подтверждения того, что в анализе не происходит капитализации шанса, особенно в ситуации, когда в модель включены остаточные дисперсии коррелирующих ошибок.

МОДЕЛИ ЛАТЕНТНЫХ ПУТЕЙ

Выше обсуждались два основных типа моделей, используемых в рамках МЛСУ. Первая группа включает модели, близкие по смыслу к регрессионным процедурам, описывающим взаимоотношения между измеряемыми переменными. В подобного рода моделях «ненаблюдаемые » (латентные) переменные используются для обозначения ошибок в уравнениях. Автор предполагает, что этот тип моделей хорошо знаком читателям из курсов по статистике и поэтому не анализирует их подробно[5]. Вторая группа моделей уходит своими корнями в традиции КФА, придуманного для исследования связей между латентными и измеряемыми переменными, но не уделяющего, как известно, ни малейшего внимания влиянию одной латентной переменной на другую. Именно этой группе моделей было уделено особое место в силу относительной ее неизвестности и немногочисленности попыток применения КФА в рамках русской психологии.

Модель латентных путей (МЛП), кратко затрагиваемая в этом разделе, представляет собой синтез двух вышеупомянутых моделей. МЛП состоит из двух частей: измерительной модели, отражающей структуру взаимоотношений между измеряемыми и латентными переменными, и модели латентных переменных, представляющей природу взаимодействий между латентными переменными. Модель латентных путей представляет собой наиболее общую модель в рамках МЛСУ. Все модели, описанные выше, являются частными случаями этой наиболее общей модели.

Модель латентных путей позволяет решать задачу, называемую многими исследователями (см. например, [30]) важнейшей задачей МЛСУ — с помощью этой модели исследователи могут тестировать причинноследственные гипотезы на неэкспериментальных данных. Под неэкспериментальными в данном случае понимаются данные, собранные не в лабораторных условиях,

Рис. 3. Иллюстрация применения модели латентных путей

где экспериментатор может манипулировать переменными и проверять гипотезы экспериментальным путем, а в «экологически валидных » ситуациях, где исследователь выступает скорее в роли наблюдателя и протоколиста.

В качестве иллюстрации двухкомпонентности модели латентных путей рассмотрим пример, который должен показаться близким и понятным многим специалистам по возрастной психологии. На рис. 3 изображены каузальные отношения между величиной IQ матери и ребенка, где при первом измерении исследуемые дети были 27месячными, при втором — их возраст был приблизительно 45 месяцев. Численные значения для модели были выбраны в соответствии с данными на 90 испытуемых [36]. Двунаправленная стрелка и ассоциируемое с ней численное значение означают, что в момент измерения 1 корреляция между значениями IQ матери и ребенка была 0,46 и исследователи [22] не предполагают наличия причинноследственной связи между этими переменными. Напротив, однонаправленные стрелки, идущие к переменной IQ ребенка, в момент измерения 2, означают наличие каузальных эффектов. Исследователи предполагают, что величина IQ ребенка в момент измерения 2 определяется величиной IQ ребенка и 10 матери в момент измерения 1 и, наконец, величиной помехи g, которая, согласно предположениям исследователей, не коррелирует с двумя вышеназванными переменными. Переменная g отражает влияния всех переменных, которые также детерминируют величину 10 ребенка, но остались за пределами рассматриваемой модели. Численные значения, ассоциируемые с каждой из однонаправленных стрелок, соответствуют величинам каузальных эффектов. Например, стрелка от переменной, обозначающей величину IQ матери, ассоциируется с эффектом размерностью 0,23 единицы. Это значит, что если бы величина IQ матери в момент измерения 1 была бы на 1 больше, чем это было в реальности, а величина IQ ребенка в момент измерения 1 и величины помехи остались бы прежними, наблюдалось бы увеличение значения IQ ребенка на 0,23 единиц в момент измерения 2. Читатель может применить подобную же схему для интерпретаций численных значений однонаправленных стрелок, идущих от помехи и величины IQ ребенка. Эта модель

представляет собой вариацию на тему традиционных регрессионных моделей и составляет ту часть модели латентных путей, которая называется моделью латентных переменных.

Теперь рассмотрим (рис. 4) структуру взаимоотношений между актуальными и латентными переменными, задействованными в модели. Представим, что значения IQ матери и ребенка измерялись посредством двух компонентов — вербального и невербального у матерей и вербального и моторного у детей. Каждое из этих измерений имеет свою независимую степень надежности, соответствующую величинам факторных нагрузок на латентные переменные интеллекта и отраженную в численных значениях, ассоциирующихся с однонаправленными стрелками, идущими от латентных конструктов к актуальным переменным. Эта модель представляет собой измерительную часть модели латентных путей.

Таким образом, рис. 5 отражает объединение двух моделей в одну и является примером МЛП. Напомним читателю, что идеология измерительной части модели родственна идеологии КФА, в то время как модель латентных переменных есть не что иное, как регрессионная модель, включающая латентные конструкты.

В одной из первых нейропсихологических работ, использовавших МЛСУ, А. МасИнтош и Ф. ГонзалесЛима [31] продемонстрировали использование структурного моделирования для исследования функциональных связей между структурами мозга, формирующими слуховую систему. Три группы крыс изучались в разных экспериментальных условиях. В данном случае проводящие пути (аналоги структурных регрессионных путей в статистическом представлении модели) были уже известны из анатомии. Предметом интереса в данном исследовании являлись величина влияния каждого из проводящих путей мозга и изменение их взаимодействий в разных экспериментальных условиях. Меры степени соответствия были использованы как относительные показатели того, насколько ковариационные матрицы могут быть объяснены анатомией мозговых структур, вовлеченных в слуховую систему. Авторы описали результаты, касающиеся взаимодействия структур мозга, которые не были очевидны без использования МЛСУ анализа.

МЛП является, пожалуй, наиболее

Рис. 4. Компонент ЛМП, представляющий собой измерительную модель

Каждая из латентных перемен, задействованных в модели, была измерена двумя актуальными переменными. IQ матери измерялось посредством вербального (VIQ) и невербального (PIQ) интеллекта, IQ ребенка — ментальным (Ml) и моторным (MotI) индексами. Коэффициенты (l1-l6) представляют коэффициенты надежности, а коэффициенты (d1-d6) — измерительные ошибки.

Рис. 5. Полная модель латентных путей, объединяющая измерительную модель и модель латентных переменных

популярной моделью с точки зрения количества написанных о ней статей и монографий. Читатель, заинтересованный в том, чтобы узнать больше об этом типе моделей, может обратиться к книге К. Боллена [13].

МЛСУ: ЗА И ПРОТИВ

1. Исследователь не может напрямую ответить на вопрос о причинах и следствиях, независимо от того, работает ли он в рамках экспериментального или неэкспериментального исследования и являются ли статистические приемы, используемые исследователем, традиционными или модернистскими. Перед погружением в сложности и ограничения МЛСУ, исследователю следует быть уверенным в том, что никакой другой традиционный метод, позволяющий тестировать гипотезы о причинноследственных связях и требующий жестких допущений, не способен решить задачи, стоящие перед работой.

2. Реальной ценностью любого исследования является разработка теоретической канвы работы. Статистический метод, применяемый при анализе результатов и проверке гипотез, не должен являться, если только речь не идет о методической работе, самоцелью исследования, как, к сожалению, это часто случается при использовании МЛСУ. При проверке причинноследственных гипотез авторы порой забывают, что задачей исследования является попытка представить теоретическое объяснение эмпирических данных, а следствием — использование МЛСУ, а не наоборот.

3. Аккуратная операционализация конструктов и переменных, использованных в исследовании, и сбор данных высокого качества являются началом начал любого исследования. Никакая статистическая методология, к сожалению, не предоставляет возможности делать надежные заключения на основе плохих данных. МЛСУ предоставляет возможность изолировать ошибку измерения и другие компоненты остаточной дисперсии, улучшая тем самым достоверность измерения латентных переменных, однако следует помнить, что качество данных не может быть исправлено даже с помощью МЛСУ.

4. Мощность МЛСУ основывается на: а) ограничивающих и упрощающих модель допущениях; б) больших выборках испытуемых. Адекватность и полезность применения методов МЛСУ становятся сомнительными в условиях, когда ограничивающие статистические допущения не соблюдаются или исследователь

работает с маленькой выборкой испытуемых.

5. Математическая и статистическая элегантность МЛСУ может «навести тень на плетень » и затемнить проблемы, присущие как методам, так и теоретическим гипотезам исследования. В этой связи исследователь, осуществляющий поиск адекватной модели и применяющий при этом сложные статистические приемы, должен периодически проводить «тест на реальность «, переводя статистические находки на простой язык и убеждаясь в том, что он все еще может объяснить и интерпретировать происходящее с его моделью.

6. Модели нельзя сконструировать без упрощающих допущений. Это неизбежно и не несет серьезных статистических последствий при условии, что все допущения четко сформулированы. Важно понимать, что если набор данных соответствует ожидаемым значениям, вытекающим из определенной модели, это еще не доказывает, что построенная модель адекватно описывает реальную ситуацию. В дополнение к тому факту, что найдена модель, соответствующая эмпирическим данным в определенной степени, должны быть исключены все другие модели.

1. Akaike H. A new look at the statistical model identification // IEEB Transactions and Automatic Control AC19. 1974. P. 716723.

2. Anderson J. C., Gerbing D. W. Structural equation modeling in practice: A review and recommended twostep approach // Psychol. Bull. 1988. 103. P. 411423.

3. Baumrind D. Specious causal attributions in the social sciences: The formulated steppingstone theory of heroin use as exemplar // J. Personality and Social Psychol. 1993. 45. P. 12891298.

4. Bender P. M. Linear systems with multiple levels and types of latent variables // Joreskog K. G., Wold H. (eds.) Systems under indirect observation: causality, structure, prediction. Amsterdam: NorthHolland, 1982.

5. Bender P. M. Structural modeling and psychometrika: an historical perspective on growth and achievements // Psychometrika. 1986. 51. P. 3551.

6. Bender P. M. Drug use and personality in adolescence and young adulthood: Structural models with nonnormal variable // Child Devel. 1987. 58. P. 6579.

7. Bender P. M. EQS structural equations program manual. Los Angeles: BMDP Statistical Software, 1989.

8. Bender P. M., Bonnet D. G. Significance tests and goodness of fit in the analysis of covariance structures // Psychol. Bull. 1980. 88. P. 588606.

9. Bender P. M., Mooijaart A. Choice of structural model via parsimony: A rationale based on precision // Psychol. Bull. 1989. 106. P. 315317.

10. Bender P. M., Newcomb M. D. Personality, sexual behavior and drug use revealed through latent variable methods // Clin. Psychol. Rev. 1986. 6. P. 363385.

11. Bender P. M., Stein J. A. Structural equation models in medical research // Statistical Methods in Medical Research. 1992. 1. P. 159181.

12. Bender P. M., Weeks D. G. Linear structural equations with latent variables // Psychometrika. 1980. 45. P. 289308.

13. Bollen K. A. Structural equations with latent variables. New York: Wiley, 1989.

14. Buncher С. R., Succor P. A., Dietrich K. N. Structural equation modeling in environmental risk assessment // Environmental Health Prospetives. 1991. 90. P. 209213.

15. Campbell D. Т., Fiske D. W. Convergent and discriminant validation by the multitraitmultimethod matrix // Psychol. Bull. 1959. 56. P. 81195.

16. Cliff N. Some cautions concerning the application of causal modeling methods // Multivariate Behavioral Research. 1983. 18. P. 115126.

17. Cole D. A. Utility of confirmatory factor analysis in test validation research // J. Consult. and Clin. Psychol. 1987. 55. P. 584-594.

18. Connell J. P. A multidimensional measure of children’s perception of control // Child Devel. 1985. 56. P. 10181041.

19. Duncan О. D. Introduction to structural equation models. New York: Academic Press. 1975.

20. Freedman D. A. Statistics and the scientific method // Mason W., Fienberg S. (eds.) Cohort analysis in social research. New York: Springer. 1985.

21. Fransic D. J. An introduction to structural equation models // J. Clin. Exp. Neuropsychology. 1988. 10. P. 623-639.

22. Gollob H. F., Reichardt С. S. Taking account of time lags in causal models // Child Devel. 1987. 58. P. 8092.

23. Joreskog К. С. Analysing psychological data by structural analysis of covariance matrices // Magidson J.. (ed.) Advances in factor analysis and structural equation models. Lanham, MD: University Press of America, 1979.

24. Joreskog K. G. Statistical models and methods for analysis of longitudinal data // Magidson J. (ed.) Advances in factor analysis and structural equation models. Lanham, MD: University Press of America, 1979.

25. Joreskog К. С., Sorbom D. LISREL 17, a guide to the program and applications. Chicago: SPSS, 1988.

26. Heath A. C. el al. Testing hypotheses about direction of causation using cross sectional family data // Behav. Genet. 1993. 23. P. 2950.

27. Loehlin J. С. Latent variable models. An introduction to factor, path, and structural analysis. Hillsdale, NJ: Lawrence Eribaum Associates, 1987.

28. Lord F. M., Novick M. E. Statistical theories of mental test scores. Reading, MA: AddisonWesley, 1968.

29. Marsh H. W., Balla J. R., McDonald R. P. Goodnessoffit indexes in confirmatory factor analysis: the effect of sample size // Psychol. Bull. 1988. 103. P. 411-423.

30. Martin J. A. Structural equation modeling: A guide for the perplexed // Child Devel. 1987. 58. P. 3337.

31. McIntosh A. R., GonzalezLima F. Structural modeling of functional neural pathways mapped with 2deoxyglucose: Effects of acoustic startle habituation on the auditory system // Brain Research. 1991. 547. P. 295-302.

32. Millsap R. E., Everson H. Confirmatory measurement model comparisons using latent means // Multivariate Behavioral Reseach. 1991. 26. P. 479497.

33. Morris R. J., Bergan J.R., Fulginiti J. V. Structural equation modeling in clinical assessment research with children // J. Consult. Clin. Psychol. 1991. 59. P. 371379.

34. Newcomb M. D., Bentler P. M. Loneliness and social support: A confirmatory hierarchical analysis // Personality Social Psychol. Bull. 1986. 12. P. 520-535.

35. Raffalovich L. E., Bohmstedt G. W. Common, specific, and error variance components of factor models: Estimation with longitudinal data // Sociological Methods and Research. 1987. 15. P. 385405.

36. Scarr S. Constructing psychology: Making facts and fables for our times // Am. Psychologist. 1985. 40. P. 499512.

37. Wheaton B. et al. Assessing reliability and stability in panel models // Heise D. R. (Ed.) Sociological methodology. San Francisco: JosseyBass, 1977.

38. Wright S. On the nature of size factors // Genet. 1918. 3. P. 367-374.

Поступила в редакцию 28.IX 1993 г.

[1] Автор называет обсуждение основных типов моделей «несбалансированным » в результате неравномерного распределения представляемого материала в рамках статьи. Акцентуации в тексте этой работы сделаны на моделях, представляющих, с точки зрения автора, наиболее значительный интерес для психологов, а именно на тех, которые позволяют вычленить ошибку измерения из анализируемых переменных. Кроме того, регрессионные модели и модели латентных путей, которым в тексте уделено меньше внимания, многократно и подробно описаны как в отечественных (см., например, главу Б. Кочубея в коллективной монографии «Роль среды и нравственности в формировании индивидуальности человека «), так и зарубежных (см. Hcyduk L. Structural equation modelling with LISREL. 1981) источниках.

[2] LISREL 8 (последняя редакция этого пакета) представляет собой версию, облегчающую задачу составления программ для анализа. Эта версия позволяет использовать язык программирования, который существенно менее формализован и более доступен при обучении.

[3] Подробно процедуры оценки разных типов надежности и валидности в рамках LISREL описаны К. Болленом [13].

[4] Этот тип ошибки часто упоминается в литературе как «коррелирующая ошибка «. Это название хоть и неадекватно [11], тем не менее широко распространено.

[5] Для тех, кто по тем или иным причинам хотел бы поподробней ознакомиться с традициями регрессионного анализа, лучшим советом будет рекомендация прочесть книгу Якоба и Патриции Коэн, посвященную правилам, и секретам использования регрессионного подхода в науках о человеке (см. Cohen ]., Cohen P. Applied multiple regression / correlation analysis for the behavioral sciences. Lawrence Eribaum Associates. 1983).

💥 Видео

8 класс, 28 урок, Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуацийСкачать

9 класс, 14 урок, Системы уравнений как математические модели реальных ситуацийСкачать

Моделирование на основе дифференциальных уравненийСкачать

Тихонов Н. А. - Основы математического моделирования - Типы математических моделей (Лекция 1)Скачать

Математическое моделирование - Лекция 1 (09.02.07)Скачать

7 класс, 3 урок, Что такое математическая модельСкачать

2) ТАУ для чайников. Часть 2.1: Математические модели...Скачать

Что такое математическое моделирование | Юрий ЕфременкоСкачать

Три этапа математического моделирования.Задача о садовнике. Алгебра 7 классСкачать

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ//#МАТЕМАТИКА_ПРОСТОСкачать

Математическое моделированиеСкачать

Алгебра 7 класс. 9 сентября. три этапа математического моделированияСкачать

Урок 9 класс. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.Скачать

Математическая модель. Видеоурок по алгебре 7 классСкачать

Алгебра 9 класс. Системы уравнений как математические модели реальных ситуацийСкачать

Математическое моделированиеСкачать

Алгебра Урок3 Три этапа математического моделированияСкачать