Модели состояние выход уравнение выхода

Видео:Теория автоматического регулирования. Лекция 5. Модели параметров состоянийСкачать

Электронный учебник по ТАУ (теория автоматического управления)

Видео:2) ТАУ для чайников. Часть 2.1: Математические модели...Скачать

ТАУ Модели «вход – состояние – выход»

ТАУ предлагает два основных подхода к анализу и синтезу линейных САУ. Первый базируется на структурных схемах и ПФ отдельных элементов и всей системы. В связи с этим его часто называют операторно—структурным. Другой его особенностью является использование физических величин в качестве переменных. Подробно этот подход рассмотрен при изучении ММ типа «вход – выход» (см. п. 2.1).

Второй подход отличается описанием САУ системой ОДУ первого порядка, составленных относительно переменных состояния. Переменные состояния при таком описании САУ аналогичны обобщенным координатам, используемым в теоретической механике. Сам подход к исследованию САУ получил название метода пространства состояний или метода переменных состояния.

Понятие пространства состояний

Согласно методу пространства состояний (МПС) все переменные величины, характеризующие САУ, разделяют на три группы:

1) входные переменные или входные (управляющие) воздействия u m ;

2) выходные переменные y p , характеризующие реакцию САУ на входные воздействия;

3) переменные (координаты) состояния x n , характеризующие динамическое поведение САУ.

Взаимосвязь названных переменных поясняют схемой САУ, на которой систему изображают в виде «черного ящика» в соответствии с рисунком 2.29.

Отдельные части САУ характеризуют ПФ W 1 (s) и W 2 (s). Как следует из схемы, переменные состояния x n являются промежуточными величинами. Их относят к содержимому «черного ящика». Следовательно, они скрыты от прямого наблюдения. Кроме того, переменные состояния

Видео:Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

y 2 ( t )

Видео:Математика это не ИсламСкачать

u 1 ( t )

Видео:8) ТАУ для чайников.Часть 3.6 : Передаточная функция и пространство состояний.Скачать

u 2 ( t )

Видео:3) ТАУ для чайников. Часть 2.2: Математические модели...Скачать

u m ( t )

Видео:Метод пространства состояний САУ: описание конкретной системыСкачать

x 1 ( t )

Видео:5) ТАУ для чайников. Часть 3.1: Модели линейных объектов...Скачать

x 2 ( t )

Видео:c15 1, Пространство состояний: представлениеСкачать

x n ( t )

Видео:Урок 455. Уравнение ШрёдингераСкачать

y 1 ( t )

Видео:Физиология. Потенциал действияСкачать

y n ( t )

Видео:Уравнения Максвелла и соответствующие уравнения Волновой МоделиСкачать

W 1 ( s )

Видео:Модальные регуляторы и наблюдатели | Утро с теорией управления, лекция 8Скачать

W 2 ( s )

не всегда являются физическими величинами. Иногда для удоб­ства математического моделиро­вания САУ целенаправленно отказываются от физического содержания переменных состоя­ния. Поэтому в общем случае x n (t) являются абстрактными переменными. Однако они должны однозначно выражаться через физические величины y p (t).

В общем случае исследуемую САУ считают многомерной (рисунок 2.29). Для упрощения работы с многомерными величинами их представляют в векторно-матричном виде. Так, совокупность входных переменных представляют в виде вектора входа совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода а совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния

Согласно МПС множество всех значений, которые может принять вектор входа U в момент времени t, образует пространство входа исследуемой САУ. Аналогично, множество всех значений, которые может принять вектор выхода Y в момент времени t, образует пространство выхода, а множество всех значений, которые может принять вектор состояния X в момент времени t, образует пространство состояний САУ.

Как было отмечено, векторно-матричные уравнения (2.82) описывают многомерную САУ. Эта же совокупность уравнений служит ММ одномерной САУ, т.е. системы с одним входом и одним выходом. При использовании МПС такие САУ часто называют системами со скалярным входом и выходом, так как входная и выходная величины являются скалярными. Уравнения состояния и выхода одномерной системы имеют вид

Видео:Последовательные логические устройства. Триггеры (RS, D, JK, T). Принцип работы, типовые схемы.Скачать

Канонические формы уравнений состояния

Разработано множество эквивалентных форм (представлений) уравнений состояния, различающихся между собой видом матриц A , B и C . Одни из форм используются чаще, так как обладают в некоторых случаях известными преимуществами перед другими. Такие формы записи уравнений состояния называются каноническими. Считают, что удобство канонических форм заключается в следующем. Во-первых, канонические представления матриц обеспечивают минимальное количество ненулевых элементов, что заметно упрощает вычисления. Во-вторых, канонические представления приводят к простым алгоритмам синтеза оптимальных регуляторов замкнутых САУ /3/.

Таким образом, в результате приведения уравнений к канонической форме более простую структуру принимают две из трех матриц: A и B (управляемые формы) или A и C (наблюдаемые формы). Управляемые канонические формы используют при синтезе регулятора, а наблюдаемые канонические формы – при синтезе наблюдателя /23/.

Первая управляемая каноническая форма

Первой управляемой канонической формой называют специальные матрицы

Очевидно, что коэффициенты характеристического полинома A(s) составляют последний столбец матрицы A. Матрицы такого вида называют матрицами Фробениуса. Элементы таких матриц определяют без вычислений. Характеристический многочлен A(s) совпадает со знаменателем ПФ системы управления. Корни данного многочлена определяют устойчивость и качество переходных процессов в САУ.

Матрица входа B рассматриваемого канонического представления также имеет специальный вид. Вследствие скалярного входного воздействия матрица B представляет собой вектор-столбец, элементы которого также не требуется вычислять.

Полученная ММ системы управления может быть изображена в виде структурной схемы, представленной на рисунке 2.31.

Принятые переменные состояния являются выходными сигналами интеграторов.

Первую управляемую каноническую форму называют также канонической формой дуальной фазовой переменной /20/.

Видео:ТАУ. Matlab/Simulink - моделирование передаточной функции, снятие характеристикСкачать

Модели состояние выход уравнение выхода

Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»

Понятие пространства состояний

Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а).

Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»

Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.

1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа.

r — число входов

2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода

m — число выходов.

3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, — переменные состояния, представляются вектором

n — число переменных состояния.

Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, — в виде вектора состояния x (см. рис. 1.1, б).

Состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно.

Собственно система, ее входы и выходы — это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных.

Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний,.

Векторно-матричные модели в непрерывном времени

В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений:

где F — n-мерная вектор-функция системы; Q — m-мерная вектор-функция выхода.

Матричное уравнение (1.1) называют уравнением состояния системы. Его решение, удовлетворяющее начальному условию , дает вектор состояния системы

Матричное уравнение (1.2), определяющее выходные переменные в зависимости от x(t) и u(t), называют уравнением выхода.

В частном случае зависимости могут быть линейными комбинациями переменных состояния x_i и входных переменных u_q. При этом динамическая система описывается в векторно-матричной форме:

Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т.е. со стационарными уравнениями

А — функциональная матрица размером n x n, называемая матрицей состояния системы (объекта);

В — функциональная матрица размером n x r, называемая матрицей управления (входа);

С — функциональная матрица размером m x n, называемая матрицей выхода по состоянию;

D — функциональная матрица размером m x r, называемая матрицей выхода по управлению.

Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от входа.

В дальнейшем под векторно-матричной моделью объекта (системы) будем понимать описание ее динамического поведения в классе стационарных непрерывных линейных систем, представленное в виде уравнений (1.6), (1.7).

Таким образом, ВММ имеет единую форму представления, что значительно облегчает алгоритмизацию и компьютерную реализацию проектных процедур и проектных операций структурно-параметрического синтеза и анализа систем управления. Однако с использованием ВММ может быть получено лишь приближенное проектное решение, которое потребует дальнейшего уточнения, так как такие модели отображают динамическое поведение реального объекта лишь в классе стационарных линейных систем.

Построение ВММ реального объекта сопряжено с проблемами линеаризации исходного математического описания и приведения его к структурированному виду — форме Коши.

Если мы знаем физическое описание системы и можем записать уравнения, описывающие поведения ее отдельных частей, то получить уравнения состояния системы обычно сравнительно не трудно. Покажем эту процедуру на нескольких примерах.

Пример 1.1. Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи, показанной на рис 1.2.

Динамическое поведение этой системы при полностью определяется, если известны начальные значения и входное напряжение U(t) при . Следовательно, можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть

Для указанных переменных состояния можно записать дифференциальные уравнения

или в векторно-матричной форме

Таким образом для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.2. На рис. 1.3. показан электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения, работающий при постоянном магнитном потоке (Ф=const).

Дифференциальные уравнения для такого объекта могут быть записаны относительно следующих переменных состояния: — скорости вращения ротора, тока якоря i(t), углового перемещения ротора . При использовании знакомых зависимостей для электродвижущей силы и вращающего момента двигателя получим уравнение электрической цепи

и уравнения вращающейся части

где J – приведенный момент инерции электродвигателя.

Представляя векторы состояния, входа и выхода как получим следующую векторно-матричную модель электродвигателя постоянного тока

То есть для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.3. Построим векторно-матричную модель электромеханического объекта — электропривода постоянного тока, приводящего в движение через механический редуктор тяжелую платформу. Функциональная схема такого объекта приведена на рис. 1.4.

Здесь легко выделить три функциональных элемента, соответствующие трем видам преобразования энергии:

преобразователь, осуществляющий управляемое преобразование электрической энергии;

двигатель, выполняющий преобразование электрической энергии в механическую, — электромеханический преобразователь;

механизм, осуществляющий передачу механической энергии от вала двигателя через редуктор к рабочему органу — платформе.

При использовании общеизвестных допущений [5] и обозначений координат и параметров такого объекта его динамическое поведение при МС=0 описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

Если компонентами вектора состояния выбрать , где U_п – напряжение преобразователя, i_я — ток электродвигателя, — скорость вращения электродвигателя, М_У — момент упругости механизма, — скорость вращения механизма, то элементы векторно-матричной модели

принимают следующий вид:

После подстановки реальных значений параметров объекта, которые приведены в табл. 1.1, компоненты матриц состояния А и управления В принимают вид (1.13).

На рис. 1.5. приведено окно редактирования векторно-матричной модели (1.13) в среде Компьютерного комплекса функционального проектирования динамических систем.

Контрольные вопросы к лекции № 1.

1. Какие переменные при построении математического описания системы принято называть

a) входными переменными;

b) выходными переменными;

c) переменными состояния?

2. Математическое описание объекта с одним входом и одним выходом представлено структурной схемой, содержащей q элементов, представленных передаточной функцией общего вида

Как в этом случае можно определить размерность пространства состояния для описания этого объекта?

3. Математическое описание объекта с двумя входами и одним выходом y(t) представлено следующим уравнением в операторной форме

Какова в этом случае будет размерность пространства состояния n для описания этого объекта?

4. Выберите из приведенных ниже записей возможные формы представления уравнения состояния для непрерывных систем.

5. Объект управления имеет r – входов, m — выходов, его математическое описание в непрерывном времени содержит n дифференциальных уравнений первого порядка. Какова в этом случае будет размерность матрицы состояния?

6. Сформируйте векторно-матричную модель фильтра, электрическая схема которого представлена на рис. 1.6.

Здесь следует учесть, что

• объект имеет один вход — U₁ один выход — i_H; все параметры электрической схемы R₁, R₂, L, C₁, C₂, R_H известны и являются постоянными;
• могут быть использованы следующие обозначения

7.При составлении математического описания динамических процессов в упругом электромеханическом объекте, влючающем в себя электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (Ф=const) и механизм, модель которого представляется двухмассовой системой (см. пример 1.3), могут быть использованы следующие переменные:

• i_я — ток электродвигателя,
• — скорость вращения электродвигателя,
• М_у – упругий момент механизма,
• — скорость вращения механизма,
• — угол поворота ротора электродвигателя,
• l – линейное перемещение механизма.

Какие из этих переменных, и в какой последовательности включены в состав вектора состояния приведенной ниже векторно-матричной модели?

ОТВЕТЫ

a) переменные, характеризующие реакцию системы на входные воздействия;

b) переменные, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе;

c) промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы.

Видео:Формы представления линейных систем | Утро с теорией управления, лекция 1Скачать

2. Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

В предыдущих сериях:

В это части будут рассмотрены:

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.

Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)

Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

где: — постоянные времени;
— коэффициент усиления.

Пусть известны отображения:

Найдем изображения для производных:

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.

Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример

Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:

входное воздействие: — единичное ступенчатое воздействие.

Выполним преобразование Лапласа:

Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 тогда в изображениях получаем что:

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):

тогда в изображениях получаем, что реакция системы на ступенчатое воздействие, рассчитывается так:

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона

Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).

Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:

где:
— значение отклика по завершению предыущего импульса;
— время завершения текущего импульса;
— значение весовой функции в начале текущего импульса.

Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:

Переходя к пределам

если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:

где — вспомогательное время

Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: запишем выражение изображения для отклика в операторной форме:

Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:

2.12. Mетод переменных состояния.

До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)

В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2

В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:

Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:

где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;

Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:

где:
— вектор входа (или вектор управления);
— вектор столбец производных переменных состояния;
— вектор столбец переменных состояния;
— вектор выхода;
— собственная матрица системы [n x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица входа [n x m],
— постоянные коэффициенты;
— матрица выхода а [p x n],
— постоянные коэффициенты;
— матрица обхода [p x m],
— постоянные коэффициенты;

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования

Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики

Пример решения задачи в форме коши.

Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:

Дано:
Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см 3 соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм. Коэффициент расхода дросселя 0.62. Плотность рабочей жидкости ρ = 850 кг/м 3 .
Определить:
Перемещение дросселя, если в источнике давление происходит скачек 200 бар. см. рис. 2.12.13

Уравенение движение плунжера:

Где: – площадь плунжера, – жесткость пружины, – коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость , тогда

Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:

Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.

Расход через дроссель:

Где: f– площадь дросселя, – давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:

Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:

Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:

Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:

Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.

Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:

Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.

Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)

Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.

Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7

Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)

Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10

На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.

2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:

Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:

2.13.1. Правая часть содержит только b₀*u(t)

В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.

Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:

Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:

И перепишем уравнение относительно y»'(t):

Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:

Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:

2.13.2. Правая часть общего вида

Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:

Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов , получим:

Где: — некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что отображение величины . Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:

Вренемся к оригиналу от изображений получим: ,
где: — дифференциальный оператор.

А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:

Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния :

А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:

Перейдем от изображения к оригиналам:

Если обозначить вектор , то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:

Пример:

Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.

Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :

Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши

В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:

Разделим в последнем правую и левую часть на произведения , и введем новую перменную :

Полиномы N(s) и L(s) равны:

Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):

Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:

Или в матричной форме:

Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:

Перейдем от изображений к оригиналу:

Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:

Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2

Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.

🎦 Видео

MPC23AA Лекция 1 пространство состоянийСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Как построить автомат по функцииСкачать

Сперматозоид-чемпион | наглядно показано оплодотворениеСкачать