Мгту 2 семестр интегралы и дифференциальные уравнения

pdf Лекция 1 . Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов.

pdf Лекция 2 . Интегрирование подстановкой и заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

pdf Лекция 3 . Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших (без д-ва). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.

pdf Лекция 4 . Интегрирование выражений, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

pdf Лекции 5-6 . Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывной функции (без д-ва). Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.

pdf Лекция 7 . Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.

Модуль 2 — «Приложения определенного интеграла»

pdf Лекция 8 . Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода). Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf Лекции 9-10 . Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf Лекция 11 . Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрическии и в полярных координатах.

pdf Лекции 12-13 . Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения. Метод Симпсона приближенного вычисления определенного интеграла.

Модуль 3 — «ОДУ первого порядка»

pdf Лекция 14 . Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение первого порядка, его решения. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Понятие частной производной функции нескольких переменных. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании решения дифференциального уравнения.

pdf Лекция 15 . Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, Бернулли.

pdf Лекция 16 . Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Геометрическое решение дифференциальных уравнений с помощью изоклин. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения первого порядка.

pdf Лекция 17 . Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация (n=2). Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов дифференциальных уравнений n-го порядка.

Модуль 4 — «ОДУ высших порядков»

pdf Лекции 18-19 . Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения. Дифференциальный оператор L[y], его свойства. Линейное пространство решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейная зависимость и независимость системы функций на промежутке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. Размерность пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля и ее следствия. Понижение порядка однородного линейного уравнения (при известном частном решении).

pdf Лекции 20-21 . Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для n=2). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации постоянных (вывод для n=2). Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

pdf Лекция 22 . Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство и фазовые траектории. Задача и теорема Коши. Частные и общее решения. Сведение дифференциального уравнения высшего порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение нормальной системы к дифференциальному уравнению высшего порядка (вывод для n=2). Первые интегралы системы. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Интегрируемые комбинации. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений.

pdf Лекция 23 . Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных.

pdf Лекция 24 . Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных корней).

Видео:Интеграл: Азы интегрирования. Высшая математикаСкачать

Библиотека

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Видео:Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

В нашей библиотеке выкладываются методические указания, учебники, лекции — в общем, все материалы, которые могут пригодиться для обучения. Вы можете скачать их совершенно бесплатно.

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

ХИМИЯ

1. Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей химии / Ф.З.Бадаев, А.М.Голубев, В.М.Горшкова, В.Н.Горячева, Н.Н.Двуличанская, Н.М.Елисеева, В.И.Ермолаева, О.И.Романко, М.Б.Степанов, И.В.Татьянина, Г.Н.Фадеев. Под ред. В.И.Ермолаевой. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 — скачать
2. Химия. Учебник для ВУЗов / А.А.Гуров, Ф.З.Бадаев, Л.П.Овчаренко, В.Н.Шаповал. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003 — скачать
3. Отличная таблица Менделеева — перейти
4. Онлайн-калькулятор для балансировки окислительно-восстановительных реакций — перейти

Видео:Математика без ху!ни. Интегралы, часть 1. Первообразная. Дифференцирование и интегрирование.Скачать

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1. Кинематика точки и простейшие движения твердого тела . Методические указания / А.Н.Виноградов, Н.Н.Пилюгина, О.П.Феокистова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994 — скачать
2. Кинематика плоского движения твердого тела . Методические указания и варианты курсового задания / В.В.Дубинин, А.Ю.Карпачев, Б.П.Назаренко и др. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007 — скачать
3. Плоскопараллельное движение твердого тела / Я.М.Клебанов, Л.Б.Черняховская, Л.А.Шабанов. — Самара: Изд-во СамГТУ, 2008 — скачать
4. Динамика материальной точки . Методические указания к курсовой работе по теоретической механике / Ю.С.Саратов, В.Н.Баранов, Н.Л.Нарская. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999 — скачать
5. Общие теоремы динамики . Методические указания и курсовая работа по динамике / В.В.Дубинин, Н.Н.Никитин, О.П.Феокистова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1986 — скачать
6. Общие теоремы динамики . Курс лекций / Е.П.Черногоров. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2010 — скачать
7. Теоретическая механика . Конспект лекций / А.М.Красюк. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009 — скачать
8. Динамические реации подшипников . Методические указания по выполнению курсовой работы по теоретической механике / П.В.Занозин, Л.Е.Ефремова, Ю.Д.Плешаков. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1986 — скачать
9. Колебания линейной системы с одной степенью свободы . Методические указания к выполнению курсовой работы по разделу курса теоретической механики «Динамика» / М.М.Ильин, А.А.Пожалостин, Г.М.Тушева. — М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э.Баумана, 1989 — скачать
10. Шпаргалки к экзаменационным билетам по разделу курса теоретической механики «Динамика» — скачать

Видео:Как распознать талантливого математикаСкачать

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Поверхности второго порядка . Методические указания к выполнению типового расчета / О.А.Бархатова, Г.С.Садыхов. Под ред. А.В.Копаева. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005 — скачать

Видео:Математика это не ИсламСкачать

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1. Линейная алгебра . Методические указания к выполнению типового расчета / Е Б.Павельева, В.Я.Томашпольский. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2010 — скачать
2. Линейная алгебра . Электронное учебное издание / А.Н.Канатников, А.П.Крищенко. — скачать

Видео:КАК РАЗОБРАТЬСЯ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕСкачать

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. Интегралы и дифференциальные уравнения . Экзаменационные билеты для 2-го семестра 1-го курса фак-ов МТ и РК / МГТУ им. Н.Э.Баумана, факультет ФН, кафедра «Высшая математика», 2012 — скачать

Видео:Математика без Ху!ни. Ряды. Часть 1. Сумма ряда. Сходимость. Геометрическая прогрессия.Скачать

ФИЗИКА

1. З адачи домашнего задания по курсу физики. Раздел «Механика» . 1 курс, 2 семестр — скачать

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

ТЕОРИЯ МАШИН И МЕХАНИЗМОВ

1. Движение механизма под действием приложенных сил. Методические указания к рубежному контролю / Б.И.Плужников, В.В.Синицын, С.Е.Люминарский — скачать
2. Теория машин и механизмов. Методические указания и задания для выполнения курсового проекта / С.Г.Петров, Ю.Н.Лазарев, В.Е.Головко, Н.В.Кузнецова, С.А.Брушко, А.В.Васильев. — СПб, 2007 — скачать
3. Теория машин и механизмов. Курсовое проектирование: учебное пособие / Г.А. Тимофеев, Л.А. Черная — МГТУ им. Баумана, 2017 — скачать
4. Теория машин и механизмов. Курсовое проектирование / Г.А. Тимофеев, Н.В. Умнов — МГТУ им. Баумана, 2010 — скачать

Видео:Дельта альфа альфа штрих | МФТИСкачать

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

1. Полный набор лучших в МГТУ им. Баумана лекций по сопромату от Тычины Константина Александровича в одном архиве — скачать

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Мгту 2 семестр интегралы и дифференциальные уравнения

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения 2

В обычной школьной математике школьники привыкли, что в задачах и уравнениях, к которым эти задачи сводятся, неизвестными являются одно или несколько чисел, т.е.

постоянных величин. Однако с развитием математики и более глубоким осознанием возникающих проблем, которые можно было решить, применяя математику, стали появляться задачи, в которых неизвестными являются не постоянные величины, а переменные, т.е. функции. Уравнения, содержащие неизвестную функцию, которую надо найти, называются функциональными. Большой класс функциональных уравнений связывает между собой аргумент, искомую функцию и её производную. Как правило, аргументом является время. Например, при прямолинейном движении точки уравнение F (t, x, v, a ) = 0 связывает координату x (t ) точки, её скорость v (t ) = dx и ускорение dt a (t ) = dv = d 2 в любой момент времени t, что может быть записано в виде x dt dt F t, x, dx, d 2 = 0. Уравнение, связывающие аргумент, искомую функцию и её одну x dt dt или несколько первых производных, называется дифференциальным уравнением.

Оказывается, дифференциальными уравнениями связаны между собой многие физические величины, например, величина заряда на конденсаторе, электрический ток и скорость его изменения в замкнутом контуре. Дифференциальными уравнениями описываются многие процессы в технике, химии, экономике, биологии, психологии и т.д.

Дифференциальное уравнение, в котором, кроме аргумента и искомой функции входят производные искомой функции вплоть до п-го порядка, называется дифференциальным уравнением п-го порядка. Если дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию одного аргумента, то оно называется обыкновенным. А если неизвестная функция зависит от двух или большего числа аргументов и в уравнение входят частные производные этой функции, то тогда оно называется дифференциальным уравнением с частными производными. В настоящем пособии рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет бесконечное число решений, зависящих от п произвольных констант. Чтобы найти значения этих констант, надо еще задать дополнительные начальные условия.

В настоящем пособии разбираются методы решения дифференциальных уравнений, в основном, первого и второго порядка. Подробно разбираются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов. Данное пособие будет полезно студентам экономических и технических специальностей.

С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

1.1. Введение в дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет вид F ( x, y, y ) = 0, где х – dy аргумент, y = y ( x ) – неизвестная функция (которую надо найти), y = – её dx производная. Его решение надо начать с того, что привести его в виду:

dy y = f ( x, y ) = f ( x, y ), где f ( x, y ) – известная функция.

dx Дифференциальное уравнение имеет бесконечное число различных решений. Каждое из таких решений называется частным решением. Совокупность всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную константу С, т.е. имеет вид y = ( x, C ) ; это значит, что при любом значении C = C0 функция y ( x, C0 ) является решением, и любое частное решение можно найти из общего, подобрав соответствующее значение константы С. Если задано дополнительное начальное условие:

y ( x0 ) = y0, то, как привило, можно найти единственное частное решение, удовлетворяющее ему.

Дифференциальное уравнение вида y = f ( x, y ) с начальным условием y ( x0 ) = y называется задачей Коши. Решение дифференциального уравнения может быть получено как в явном виде y = y ( x ) (у выражено через х), так и в неявном, т.е. в виде G ( x, y ) = (когда не удается явно выразить у через х). В последнем случае решение дифференциального уравнения называется интегралом этого ДУ.

Теорема Коши. Если в некоторой (двумерной) окрестности1 точки M 0 ( x0 ; y0 ) f ( x, y ) функция f ( x, y ) и её частная производная по у непрерывны, то найдется такая y (одномерная) окрестность точки x0 в которой решение задачи Коши y = f ( x, y ), y ( x0 ) = y0, существует и единственно.

1.2. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида Мы будем классифицировать эти уравнения в зависимости от вида функции f ( x, y ).

1) f ( x, y ) = g ( x ) h( y ) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид Окрестность точки M 0 на плоскости – это внутренность круга или квадрата с центром в данной точке M 0.

Метод решения: разделить переменные (т.е. отделить их друг от друга), а затем проинтегрировать:

( xy ) – дифференциальное уравнение с однородной2 правой частью, т.е.

данное дифференциальное уравнение имеет вид:

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u( x ) :

Интегрируя, находим функцию u( x ), а затем и y ( x ) = x u( x ).

3) f ( x, y ) = A( x ) y + B ( x ) (где A( x ) и B( x ) – некоторые известные функции) – линейное дифференциальное уравнение, т.е. вида y = A( x ) y + B( x ).

Метод решения: существуют два метода решения этого уравнения, которые различаются лишь обозначениями.

Первый метод (метод Бернулли): Решение линейного дифференциального уравнения y = A( x ) y + B( x ) ищут в виде произведения двух функций y = u ( x ) v( x ), которые находят по формулам:

Обоснование: пусть y = u( x ) v ( x ), тогда y = u v + u v, подставим в ДУ (*), получим Мы имеем одно дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями u( x ) и v ( x ). Однозначно эти функции найти нельзя. Добавим еще одно условие, а именно, положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении. Получим систему однородная функция порядка k– функция нескольких переменных f ( x1, x2. xn ), для которой выполняется равенство f ( x1, x2. xn ) = f ( x1, x2. xn ) для любого R. Однородная функция f ( x1, x2. xn ) = f ( x1, x2. xn ). Однородная функция двух переменных f ( x, y ) зависит только от отношения переменных, т.е. имеет вид f ( x, y ) = дифференциальных уравнений:

Возьмем частное решение первого уравнения u ( x ) = e Второй способ решения линейного ДУ y = A( x ) y + B( x ) :

(метод Лагранжа вариации постоянной).

Сначала решим соответствующее линейное однородное ДУ Решив это уравнение, получим его общее решение y = C y1 ( x ), где y1 ( x ) = e Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения y = A( x ) y + B( x ) будем искать в виде y = C ( x ) y1 ( x ), где функцию C ( x ) надо найти.

Найдем производную y = C ( x ) y1 ( x ) + C ( x ) y1 ( x ) и подставим её в неоднородное ДУ Поскольку y1 A( x ) y1 C ( x ) y1 C ( x ) A( x ) y1, получим такое уравнение:

находим C ( x ) (при этом возникает настоящая произвольная постоянная).

Понятно, что эти два метода различаются лишь обозначениями:

– дифференциальное уравнение типа Бернулли, т.е. это ДУ вида Для этого ДУ также существуют два метода решения: метод Бернулли и метод сведения к линейному ДУ.

Первый метод: метод Бернулли.

пусть Опять положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении. Получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

Из первого уравнения находим функцию u ( x ) (без произвольной константы), а из второго – функцию v ( x ) (с произвольной константой С).

Второй метод решения дифференциального уравнения Бернулли: сведение его к линейному ДУ.

Умножим обе части уравнения Бернулли на (1 ) y, введем новую переменную z = y1, тогда z x = (1 ) y y и получится линейное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции z( x ) :

Решая это линейное ДУ методом Бернулли или (что почти одно и тоже) методом Лагранжа, находим функцию z( x ), а затем и y ( x ) = z1.

5) если дифференциальное уравнение первого порядка из этих четырех видов, надо его «перевернуть», т.е. записать в виде.

При этом часто получается линейное ДУ или ДУ типа Бернулли относительно неизвестной функции x( y ), которые решаем вышеописанными способами с тем исключением, что во всех формулах х и у меняются местами.

А именно, решение дифференциального уравнения (1) ищется в виде x = u ( y ) v( y ), где а дифференциальное уравнение (2) сводится к линейному ДУ умножением обеих частей на (1 )x и введением новой переменной z = x1, получится z = A1 ( y ) z + B1 ( y ).

6) Если дифференциальное уравнение имеет вид P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0, то его надо сначала привести к виду один из вышеописанных методов. Если оно не является дифференциальным уравнением ни одного из вышеуказанных четырех видов, то надо проверить, не является ли выражение P( x, y )dx + Q ( x, y )dy полным дифференциалом некоторой функции U ( x, y ), т.е. проверить, существует ли такая функция U ( x, y ), что U P ( x, y ), U Q ( x, y ) во всех точках области, в которой ищется решение данного дифференциального уравнения. Как известно из курса дифференциального исчисления функций нескольких переменных, если область односвязна, такая функция U ( x, y ) существует тогда и только тогда, когда и во всех точках этой области выполняется условие Если это условие выполнено, то данное ДУ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Чтобы его решить, надо найти функцию U ( x, y ) :

Для нахождения функции C ( y ) надо найти U = F + C и приравнять функции Q ( x, y ).

Если требуемая функция U ( x, y ) найдена, то общее решение данного ДУ имеет вид 1.3. Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение. (а) Запишем данное ДУ в виде Правая часть этого ДУ имеет вид произведения двух функций: одной, зависящей только от х, и другой, зависящей только от у, т.е. это ДУ с разделяющимися переменными.

Разделяем их (т.е. отделяем их друг от друга) и интегрируем:

Отсюда (б) Запишем данное ДУ в виде Это ДУ с однородной правой частью, т.к. его правая часть зависит только от dx 1 + y Получили ДУ с разделяющимися переменными, решим его:

Это линейное ДУ, т.к. оно имеет вид y = A( x ) y + B( x ), где A( x ) = 1, B( x ) = 2ln x + 1.

Решение ищем в виде y = u( x ) v ( x ), где (г) Дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из известных нам типов, поэтому попробуем «перевернуть» его, получим:

ДУ относительно неизвестной функции x( y ), A( y ) = 1, B( y ) = y 3, его решение ищем в поэтому общее решение есть x = y (C 1 y 3 ) = Cy 1 y 4.

(д) Если записать данное ДУ в виде Это дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из первых четырех типов.

Поэтому проверим, не является ли исходное ДУ уравнением в полных дифференциалах. Здесь Следовательно, левая часть данного дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U ( x, y ) и Найдем функцию U ( x, y ) :

Следовательно, C ( y ) = 2cos 2 y C ( y ) = sin 2 y.

Окончательно, U ( x, y ) = x 3 + 2 x y 2 + sin 2 y, и решение нашего ДУ имеет вид Ответы: (а) y = C Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

Решение. (а) Сделаем замену z = 4 x + y + 1, тогда z = 4 + y y = z 4, подставим в исходное ДУ, получим ДУ с разделяющимися переменными:

Подставим начальное условие ( x = 0, y = 1) и определим значение константы С:

(б) Запишем данное ДУ в виде y = f ( x, y ) :

Это ДУ типа Бернулли с показателем = 3. Умножим обе части этого ДУ на ДУ относительно неизвестной функции z( x ) :

Подставляем начальное условие ( x = 1, y = 1 2 ), получаем знак «плюс» и C = 3.

Окончательно y = 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

3. Найти общее решение дифференциального уравнения:

4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию:

2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F ( x, y, y, y ) = 0, где y = y ( x ) – неизвестная функция, которую надо найти. Общее решение такого ДУ зависит от двух произвольных констант С1 и С2, значения которых можно найти, если заданы начальные условия: значение искомой функции и её производной в некоторой точке:

y ( x0 ) = y0, y ( x0 ) = y1, получится частное решение. Дифференциальное уравнение вида y = f ( x, y, y ), где f – известная функция трех переменных, вместе с начальными условиями называется задачей Коши.

Теорема Коши. Если в некоторой (трехмерной) окрестности3 точки M 0 ( x0 ; y0 ; y1 ) функция f ( x, y, y) и её частные производные и непрерывны, то найдется такая (одномерная) окрестность точки x0, в которой решение задачи Коши y = f ( x, y, y ), y ( x0 ) = y0, y ( x0 ) = y1, существует и единственно.

Дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид F ( x, y, y, y. y ( n ) ) = 0, где y = y ( x ) – неизвестная функция. Общее решение такого ДУ зависит от п произвольных констант C1, C2. Cn, значения которых можно найти, если заданы начальные условия:

значение искомой функции и её производных порядка от 1 до (n 1) включительно в некоторой точке: y ( x0 ) = y0, y ( x0 ) = y1. y ( n 1) ( x0 ) = yn 1, получится частное решение.

2.2. Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков.

1) Простейшее дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид y ( n ) = f ( x ), где f ( x ) – известная функция. Решение такого дифференциального уравнения находится пкратным последовательным интегрированием функции f ( x ), при каждом интегрировании возникает аддитивная постоянная.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения y = sin 2 x.

Решение. Последовательно находим:

Общее решение содержит три произвольные константы ( C1 = 1 C1 ):

Далее рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые с помощью подходящей замены сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка.

Окрестность точки M 0 в пространстве – это внутренность шара или куба с центром в данной точке M 0.

2) ДУ второго порядка F ( x, y, y, y ) = 0 не содержит явно у, т.е. имеет вид F ( x, y, y ) = 0. Метод решения: ввести новую переменную p = p( x ), тогда которое, находим функцию p ( x ) = y (зависящую от константы С1), затем с помощью интегрирования находим y ( x ) = p ( x )dx (при этом появится вторая константа С2).

Пример 4: Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно у, положим p = p ( x ), тогда y = p, получится линейное ДУ первого порядка относительно неизвестной Здесь A( x ) = ctg x, B( x ) = 2sin 3 x.

Теперь находим и саму функцию Ответ: y = 2 x cos x + 3sin x + 1 sin 3x C1 cos x + C2.

3) ДУ второго порядка F ( x, y, y, y ) = 0 не содержит явно х, т.е. имеет вид F ( y, y, y ) = 0. Метод решения: ввести новую переменную p = p( y ), тогда, по формуле порядка F ( y, p, py p ) = 0, решив которое, находим функцию p ( y ) = y = (она будет содержать также произвольную константу С1). Последнее уравнение есть ДУ первого получаем искомое решение (в неявной форме) содержащее вторую произвольную константу.

Замечание. Если заданы начальные условия и не требуется получить общее решение (а только частное), то значения каждой константы следует находить сразу после её появления подстановкой начальных условий.

Пример 5: Найти частное решение для ДУ второго порядка с начальными условиями: y (0) = 1, y (0) = 2.

Решение. Поскольку данное ДУ второго порядка не содержит явно х, положим y = p ( y ), тогда y = py p. Получим дифференциальное уравнение первого порядка с однородной правой частью (которое одновременно является и ДУ типа Бернулли с параметром = 1 ) относительно неизвестной функции p ( y ) :

Первый способ. Решим уравнение (3) как ДУ с однородной правой частью: Положим Подставив это в уравнение (3) получим ДУ с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем Подставив в последнее равенство начальные условия y (0) = 1, y (0) = 2, определим нужный знак и значение константы С1: 2 = ±1 2C1 0 C1 = 2, перед корнем должен стоять знак «минус», и тогда Последнее уравнение есть ДУ с разделяющимися переменными, решим его:

получим 4 0 = 0 + C2 C2 = 2, следовательно, частное решение (в неявной форме) имеет вид:

Подставляя сюда еще раз начальное условие выбираем знак «плюс».

Умножим обе части этого ДУ на множитель (1 ) p = 2 p и положим z = p1 = p 2.

Тогда zy = 2 ppy. Получим 2 ppy = 1 2 p 2 2 y zy = 2 z 2 y. Решим это линейное ДУ:

Далее решение такое же, что и первым способом.

4) Порядок ДУ можно понизить, используя формулы Тогда, если в ДУ удалось представить левую и правую части в виде полных производных (по x) выражений F ( x, y, y) и G ( x, y, y), т.е. в виде то тогда F ( x, y, y Пример 6: Найти общее решение ДУ второго порядка y y = ( y )2 + y 2 sin x.

Решение. Это ДУ второго порядка содержит явно и х, и у, и y и y. Перепишем его в данное ДУ имеет вид = sin x. Следовательно, Ответ: y = C2eC1x sin x.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) второго порядка имеет вид где a ( x ) 0. Если f ( x ) 0, это ЛДУ называется однородным, а если f ( x ) T 0, то оно называется неоднородным. Общее решение однородного ЛДУ (ОЛДУ) второго порядка имеет вид где 1 ( x ), 2 ( x ) – два линейно независимых4 частных решения этого уравнения, образующее его фундаментальную систему решений (ФСР). Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид yон = yoo + yчн., где yон – общее решение неоднородного ЛДУ, yчн – какое-то частное решение неоднородного ЛДУ yoo – общее решение соответствующего однородного ЛДУ.

Пусть дано ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами a + b + c = 0 – соответствующее характеристическое уравнение, имеющее вещественные или комплексные корни 1, 2. Тогда общее решения ОЛДУ (4) имеет следующий вид (в зависимости от знака дискриминанта D = b 2 4ac ):

(а) если D 0 и 1, 2 – различные вещественные корни, то (в) если D 0 и корни 1, 2 = ± i – комплексные, причем, R, R +, i – мнимая единица ( i 2 = 1 ), то Пример 7. Найти общее решение ОЛДУ:

Решение. Составляем соответствующее характеристическое уравнение и находим корни.

функции y1 ( x ). yn ( x ) называются линейно зависимыми на промежутке ( ; ), если тождественное равенство 1 y1 ( x ) +. + 1 y1 ( x ) 0 на ( ; ) выполняется при некоторых 1. n, не равных одновременно нулю. В противном случае, т.е. если тождественное равенство 1 y1 ( x ) +. + 1 y1 ( x ) 0 на ( ; ) возможно только при 1 =. = n = 0, функции y1 ( x ). yn ( x ) называются линейно независимыми на промежутке ( ; ). Две функции y1 ( x ) и y2 ( x ) линейно независимы тогда и только когда, когда они не пропорциональны, т.е. 2 const.

3.2. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных Этот метод позволяет находить общее решение любого неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ), если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ).

Рассмотрим подробно ЛДУ второго порядка.

Теорема. Пусть для однородного ЛДУ второго порядка нам известно его общее решение:

Тогда для неоднородного ЛДУ общее решение можно найти в виде где производные C1 ( x) и C2 ( x) являются решениями системы двух линейных уравнений с расширенной матрицей:

Эта система всегда имеет единственное решение на любом промежутке, где непрерывны все коэффициенты ОЛДУ и a ( x ) 0.

Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения Решение. Напишем соответствующее однородное ЛДУ:

4 y + y = 0, составим для него характеристическое уравнение 4 2 + 1 = 0 и yоо = C1 cos x + C2 sin x. Общее решение данного уравнения (5) будем искать в виде В данном случае 1 ( x) = cos x, 2 ( x) = sin x.Производные функций C1 ( x) и C2 ( x) удовлетворяют системе линейных уравнений с расширенной матрицей:

Решим эту систему по формулам Крамера:

Следовательно, C1 ( x ) = 1 = Теперь, интегрируя, находим:

где C1, C2 = const. Подставляя полученные функции C1 ( x) и C2 ( x) (7) в (6) получим искомое общее решение неоднородного ЛДУ (5):

(черту над настоящими константами уже можно опустить).

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

2. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Найти общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка:

4. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) имеет вид:

или, символически, Соответствующее однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) имеет вид или, символически, L [ y ] = Структура общего решения однородного ЛДУ п-го порядка. Общее решение ОЛДУ (9) с непрерывными коэффициентами имеет вид где 1 ( x). 1 ( x) – линейно независимые частные решения этого ЛДУ, образующие константы.

4.1. Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами.

где ai = const R, a0 0.

Многочлен называется характеристическим для ОЛДУ (3). Алгебраическое уравнение P( ) = также называется характеристическим.

Построение фундаментальной системы решений для ОЛДУ с постоянными коэффициентами п-го порядка Пусть 1, 2. k – все корни (вещественные и/или комплексные) характеристического уравнения (4), а натуральные числа r1, r2. rk – соответствующие кратности этих корней. Это значит, что характеристический многочлен разлагается в произведение и общее количество корней с учетом их кратностей равно порядку п ОЛДУ, т.е.

Заметим также, что все коэффициенты характеристического уравнения вещественны, и поэтому его комплексные корни попарно комплексно сопряжены, т.е. если имеется корень = + i кратности r, то имеется и корень = i той же кратности r.

(1°) Каждому вещественному корню j = R кратности r соответствуют ровно r различных функций, составляющих ФСР уравнения (10):

(2°) Каждой паре комплексно сопряженных корней j = ± i, где R, R +, каждый из которых имеет кратность r, соответствуют r пар функций, составляющих ФСР уравнения (3) (а всего их 2r ):

Полная фундаментальная система решений ОЛДУ (10) состоит из всех функций, построенных таким образом для всех корней характеристического уравнения.

Пример 9. Найти общие решения следующих ОЛДУ:

Решение. Запишем для каждого ОЛДУ характеристический многочлен P( ) и разложим его на множители:

равны 1. Поэтому yоо = C1e 2 x + C2e x cos ( x 3 ) + C2e x sin ( x 3 ) ;

1 = 1, r1 = 2, 2 = 3, r2 = 1, поэтому yоо = C1e x + C2 xe x + C3e3 x.

1 = 0, r1 = 3; 2 = 2, r2 = 1, 3 = 2, r3 = 1, 4,5 = 0 ± 2i, r4,5 = 1, общее решение Общее решение неоднородного ЛДУ есть сумма частного решения этого НЛДУ и общего решения соответствующего однородного ЛДУ Символически:

Пусть правая часть f ( x) неоднородного ЛДУ (1), т.е. L [ y ] = f ( x ), является суммой других функций а для каждого k = 1. m функция yk ( x) является частным решением неоднородного ЛДУ L [ y ] = f k ( x). Тогда функция yo ( x ) = y1( x ) +. + ym ( x ) является частным решением уравнения (8).

4.2. Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и Мы умеем строить общее решение yоо ( x) однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами:

Для этого надо составить характеристического уравнения найти его корни 1, 2. k и определить их кратности r1, r2. rk (натуральные числа, т.е. целые положительные).

Условимся считать, что если вещественное или комплексное число не является корнем данного характеристического уравнения, то мы все равно будем считать его корнем кратности ноль.

Для нахождения общего решения yон ( x) неоднородного ЛДУ надо знать его какое-нибудь частное решение yчн ( x), поскольку yон = yчн + yоо.

Такое частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов в том случае, если функция f ( x) имеет специальный вид первого или второго типа.

Специальный вид правой части 1-го типа: f ( x ) = e x Pm ( x), где R, Pm ( x) – многочлен степени т.

Пусть число является корнем кратности r характеристического уравнения. В этом случае частное решение можно найти в виде:

где P ( x) – многочлен степени т с неопределенными коэффициентами. Напомним, что многочлены степени 0, 1 и 2 с неопределенными коэффициентами имеют вид A, Ax + B, Ax 2 + Bx + D соответственно ( A, B, D. – неопределенные коэффициенты, которые надо найти).

Чтобы найти эти коэффициенты, следует:

(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции yчн = x r e x Pm ( x) ;

(2) подставить их в данное НЛДУ a0 y ( n) + a1 y ( n1) +. + an1 y + an y = e x P( x), привести подобные и сократить левую и правую части на e x ;

(3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа;

получится система линейных уравнений (число этих уравнений будет равно (m + 1) – числу искомых неопределенных коэффициентов);

(4) Решить полученную систему уравнений.

Специальный вид правой части 2-го типа: f ( x) = e x ( Pm ( x) cos x + Qk ( x ) sin x ), где R, R +, Pm ( x) и Qk ( x) – многочлены степени т и k соответственно (один из этих многочленов может вовсе отсутствовать, т.е. быть нулевым). Нулевой многочлен будем считать имеющим степень минус один.

Пусть комплексные числа = ± i являются корнями характеристического уравнения кратности r и N = max. В этом случае частное решение можно найти в виде :

Чтобы найти коэффициенты многочленов PN ( x) и QN ( x ), надо:

(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции yчн = x r e x Pm ( x) ;

(2) подставить их в данное НЛДУ сократить левую и правую части на e x ;

(3) Представить левую часть в виде в виде A( x) cos x + B( x) sin x, где A( x) и B ( x) – многочлены, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при cos x (т.е. в A( x) и Pm ( x) ), а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в многочленах при sin x, т.е. при B ( x) и Qk ( x) );

получится система из 2( N + 1) линейных уравнений;

(4) Решить полученную систему уравнений.

Замечание. Часто правая часть f ( x) не имеет специального вида, но является суммой нескольких функций f ( x ) = f1 ( x) +. + f s ( x), где каждая из функций fi ( x) имеет специальный вид 1-го ил 2-го типа. В этом случае, по теореме 8, частное решение имеет вид yчн = y1 ( x) +. + ys ( x), где yi ( x) – частное решение для НЛДУ Пример 10. Найти общее решение НЛДУ y 2 y 3 y = (4 x + 8)e x + 13sin 2 x.

Решение. Для соответствующего однородного ЛДУ y 2 y 3 y = 0 характеристическое уравнение 2 2 3 = 0 имеет корни 1 = 1 и 2 = 3 кратности r = 1 каждый. Общее решение ОЛДУ есть yоо = С1e x + C2e3 x. Правая часть есть сумма двух функций f ( x) = ( x + 2)e x + 13sin 2 x = f1 ( x) + f 2 ( x), имеющих специальный вид 1-го и 2-го типа соответственно. Частное решение есть сумма: yчн = y1 ( x) + y2 ( x), где (1) f1 ( x) = e x Pm ( x) = e x ( x + 2), = 1 – корень кратности 1, m = 1, следовательно Находим первую и вторую производные:

и подставим в уравнение (12), получим:

Сократим на e x, приведем слева подобные:

0 x 2 8 Ax + (2 A 4 B) = x + 2 и приравняем коэффициенты при x1 и x0 слева и справа, получим систему:

Находим первую и вторую производные:

и подставим в уравнение (13), получим:

приравняем слева и справа коэффициенты при cos 2x и sin 2x, получим систему уравнений:

Пример 11. Не находя неопределенных коэффициентов, указать вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного линейного ДУ y IV 5 y 36 y = 0, для чего найдем корни характеристического уравнения:

Следовательно, общее решение есть yоо = C1e3 x + C2 e 3 x + C3 cos 2 x + C4 sin 2 x.

Правая часть исходного неоднородного ЛДУ есть сумма трех функций:

общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид yон = yоо + yчн, где yчн = y1 + y2 + y3 и yi ( x ) – частное решение неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f i ( x ), i = 1, 2, 3.

1) для неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f1 ( x ) = 3sin 2 x частное решение есть:

2) для неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f 2 ( x ) = xe3 x частное решение есть:

3) для неоднородного ЛДУ y IV 5 y 36 y = f 3 ( x ) = x 2 e 2 x частное решение есть:

Поэтому для всего исходного нелинейного ЛДУ общее решение имеет вид Здесь С1, С2, C3, C4 – произвольные постоянные (которые всегда присутствуют в общем решении дифференциального уравнения), Ai, Bi (i = 1, 2, 3) и D2 – конкретные числовые постоянные, которые, в принципе, можно найти (методом неопределенных коэффициентов), но в данной задаче это не требуется.

1. Найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений:

2. Найти общие решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов:

3. Найти вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (сами коэффициенты не находить!):

1. Что такое дифференциальное уравнение?

2. Что такое порядок дифференциального уравнения?

3. Сколько произвольных констант имеет общее решение дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?

4. Как выглядит начальное условие (начальные условия) для дифференциального уравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?

5. Что такое задача Коши для дифференциального уравнения: (а) первого порядка;

(б) второго порядка?

6. Что такое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, и как 7. Что такое дифференциальное уравнение с однородной правой частью и как его 8. Как выглядит линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и какие способы его решения вы знаете?

9. Как выглядит дифференциальное уравнение типа Бернулли, и какие способы его решения вы знаете?

10. Что такое дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, и как его 11. В каких случаях можно понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка? Как это сделать?

12. Как выглядит линейное дифференциальное уравнение п-го порядка:

(а) однородное; (б) неоднородное?

13. Какими свойствами обладают частные решения однородного линейного дифференциального уравнения?

14. Что такое фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения?

15. Какова структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения?

16. Как находить фундаментальную систему решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: (а) второго порядка (б) п-го порядка?

17. Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения?

18. В чем состоит принцип наложения частных решений для неоднородного линейного дифференциального уравнения?

19. В чем суть метода Лагранжа решения неоднородного линейного дифференциального уравнения? Почему этот метод также называется методом вариации постоянных?

20. Какие неоднородные линейные дифференциальные уравнения можно решать методом неопределенных коэффициентов. В каком виде следует искать частное решение? Как находить неопределенные коэффициенты?

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.:

Интеграл-Пресс, 2006. – 544 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

3. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 352 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. VIII).

4. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова и Б.П. Демидовича. – М.:

Наука, 1986. – 368 с.

5. Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 37 с.

6. Пелевина И.Н., Раров Н.Н., Филиновский А.В. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 38 с..

«Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева. Кафедра: Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей. Самолёт Ан-2. Учебное пособие. (Компьютерный вариант) Составил: Сошин В.М. Компьютерная обработка: студент Гонюшов Е. Пособие предназначено для студентов 1-го курса специальности 13.03., изучающих конструкцию самолета Ан-2 по дисциплине Авиационная техника. Размер файла: 7,27 Мбаит. Файл помещен в компьютере Server ауд. 113-5 Имя файла: E:. »

«Федеральное агентство по образованию Уральский государственный технический университет УПИ М. В. Белоусов Литье и обработка цветных металлов и сплавов Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой Металлургия алюминия Методические указания к лабораторным занятиям для всех форм обучения специальности 150102 – Металлургия цветных металлов, специальности 080502 – Экономика и управление на предприятии В работе представлены описания нескольких способов получения отливки в лабораторных. »

«Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет Ученые Республики Беларусь Барташевич Александр Александрович к 75-летию со дня рождения Минск 2012 1 Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет Библиотека Отдел справочно-библиографической и информационной работы Ученые Республики Беларусь Барташевич Александр Александрович к 75-летию со дня рождения Библиографический указатель Минск От составителя Библиографический список. »

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Брестский государственный технический университет Кафедра бухгалтерского учета, анализа и аудита Организация бухгалтерского учета и аудита Методические рекомендации и задания к контрольной работе для студентов, обучающихся по специальности Э.01.07.00. Бухгалтерский учет, анализ и аудит заочной формы обучения Брест 2001 г. УДК 338.24.42. В методических рекомендациях представлена программа курса “Организация бухгалтерского учета. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова (СЛИ) Кафедра бухгалтерского учета, анализа, аудита и налогообложения КОНТРОЛЬ И РЕВИЗИЯ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов по специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит всех форм. »

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Севастопольский национальный технический университет ОЦЕНКА РЕЗЕРВОВ РОСТА ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ТРУДА РАБОЧИХ Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине Экономика предприятия для студентов экономических специальностей всех форм обучения Севастополь 2012 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 336. Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра информационных систем Посвящается 60-летию высшего профессионального лесного образования в Республике Коми Ю. А. Жук МУЛЬТИМЕДИЙНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Учебное пособие Утверждено учебно-методическим советом. »

«СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАШИНЫ И ОБОРУДОВАНИЕ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 651600 Технологические машины и оборудование специальности 150405 Машины и оборудование лесного комплекса СЫКТЫВКАР 2007 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО. »

«Федеральное агентство по образованию ; : • : lllllll Е.А. Ростовцев ИСТОРИЯ КНИЖНОГО ДЕЛА Часть I Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 200?. Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.А. Ростовцев ИСТОРИЯ КНИЖНОГО ДЕЛА Часть I Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета УДК 93/99 (075.8) ББК 76. Y Р Р о с т о в ц е в Е. А. История книжного дела. Часть I: Учеб. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ ЗАНЯТИЯ СТУДЕНТОВ ПО РАЗВИТИЮ ФИЗИЧЕСКИХ КАЧЕСТВ И УКРЕПЛЕНИЮ ЗДОРОВЬЯ Методические указания к теоретическим и практическим занятиям для студентов всех специальностей дневной формы обучения по дисциплине Физическое воспитание и спорт Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 37.037. Самостоятельные занятия студентов по. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ВЕДУЩИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КАЧЕСТВА ЧЕЛОВЕКА И МЕТОДИКА ИХ РАЗВИТИЯ Методические указания к теоретическим занятиям для студентов всех специальностей дневной формы обучения по дисциплине Физическое воспитание и спорт Севастополь 2007 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 796.011 (07) Ведущие физические качества человека и методика их развития: Метод. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет Методические указания для выполнения расчетно-графического задания по дисциплине Финансовый учет для студентов 3 курса специальности 7.050106 — Учет и аудит дневной формы обучения Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК Методические указания для выполнения расчетно-графического задания по дисциплине Финансовый учет для студентов 3. »

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ТОРГОВО — ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу Холодильная техника и технология (для студентов специальности 260501 и 080104) Контрольная работа №2 Cанкт — Петербург 2008 Составители: доц. Цуранов О.А., доц. Крысин А.Г. Методические указания к выполнению контрольной работы №2 по курсу Холодильная. »

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) Круглые лесоматериалы Методические указания Ухта, УГТУ, 2013 УДК 674.038 ББК 43.90 Б 91 Бурмистрова, О. Н. Б 91 Круглые лесоматериалы [Текст] : метод. указания / О. Н. Бурмистрова, М. А. Воронина. – Ухта : УГТУ, 2013. – 60 с. Методические указания предназначены для выполнения контрольных работ по дисциплине. »

«ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое учебное пособие представляет собой первую часть курса лекций по дискретной математике. Кроме этой части предполагается издание двух частей теоретического материала. Вторая часть будет посвящена дискретному анализу, логике предикатов и теории кодирования и криптографии, в частности, кодированию экономической информации. Третья часть будет посвящена теории графов и ее приложению в экономике и управлении, в частности, сетевому планированию и управлению дискретными системами. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова (СЛИ) Кафедра бухгалтерского учета, анализа, аудита и налогообложения БЮДЖЕТИРОВАНИЕ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов по специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит всех форм. »

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к теоретическим и практическим занятиям ТАКТИКА НАПАДЕНИЯ В БАСКЕТБОЛЕ по дисциплине Физическое воспитание и спорт для студентов всех специальностей дневной формы обучения Севастополь 2005 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 37.037. Тактика нападения в баскетболе Методические указания по физвоспитанию /Сост. »

«Л.А. ЖАРИКОВА, Н.В. НАУМОВА БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЁТ В ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАНАХ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет Л.А. ЖАРИКОВА, Н.В. НАУМОВА БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЁТ В ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАНАХ Рекомендовано Учёным советом университета в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов экономических специальностей Тамбов Издательство ТГТУ 2008 УДК 657(100) ББК У052.2 Ж345 Рецензенты: Кандидат экономических наук, доцент. »

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольной работы по дисциплине Маркетинг для студентов экономических специальностей заочной формы обучения Севастополь 2012 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 2 УДК 339.138 Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине Маркетинг для студентов экономических. »

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова КАФЕДРА ВОСПРОИЗВОДСТВА ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по специальности 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Очная Заочная Курс 1 1. »

© 2013 www.diss.seluk.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

🎦 Видео

День студента мехмата МГУ #мгу #умскул #физика #математика #учеба #подготовкаогэ #подготовкакегэСкачать

Родители не представляют, как сложно учиться на ФизтехеСкачать

Математика без ху!ни. Двойные интегралы. Часть1. Как вычислять.Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать