Методы решения уравнений установившихся режимов

Общая характеристика методов

Методы решения систем уравнений — прямые (точные) и итерационные (приближенные). Прямые применяются для решения систем линейных урав-нений, итерационные — для решения систем линейных и нелинейных уравне-ний.

Нелинейные уравнения установившегося режима формируются, если в узлах сети задана постоянная мощность(нагрузка или генерация).

Суть итерационных методов: задается некоторое начальное прибли-жение неизвестных U (0) , которое постепенно уточняется в ходе выполнения ряда однотипных шагов вычислений (итераций). Если итерационный про-цесс сходится, то получаем искомое решение U (*) с заданной точностью.

Итерациями называются многократно повторяющиеся однотипные ша-ги вычислений.

Основные характеристики итерационных методов:

1. Условия сходимости к решению, при которых происходит приближе-ние к искомому решению U (*) , либо удаление от него;

2. Скорость сходимости. Характеризуется количеством итераций n, необ-ходимых для достижения решения с заданной точностью, или законом изменения вектора погрешности при переходе от итерации к итерации;

2.3. Характер сходимости. Сходимость – апе-риодическая или колебательная.

Возможно влияние на скорость сходимос-ти за счет введения дополнительных коэффици-ентов;

4. Необходимость хранения в памяти ЭВМ всех коэффициентов систем уравнений. Удобство программирования, простота алгоритмов и т.д.

Рассматриваем систему нелинейных уравнений установившегося режи-ма. В матричной форме она имеет вид:

(1)

В развернутой форме такая система уравнений может быть представлена в следующем виде:

(2)

Преобразуем систему (2) квиду, пригодному для решения ее итераци-онными методами. Для этого каждое уравнение системы решим относитель-но одной из неизвестных величин U_i:

(3)

Любое i-ое уравнение этой системы можно записать в общем виде:

(4)

Если задать начальные приближения неизвестных U (0) , подставить их в правую часть уравнений (4) и выполнить необходимые вычисления, опреде-лим следующее приближение неизвестных U (1) и т.д. Такая после-довательность действий соответствует методу простой итерации. Тогда (4) в итерационной форме:

(4а)

В матричной форме система (3) может быть записана следующим образом:

здесь — вектор неизвестных напряжений;

D — вектор свободных членов, ;

С — матрица коэффициентов при неизвестных, .

В итерационном виде система (5) принимает вид:

. (6)

Здесь к – номер приближения неизвестных.

Общий алгоритм итерационных методов решения СНАУ установившегося режима

1) Задание начальных приближений вектора неизвестных U (0) =U_ном.

Как правило, в качестве начальных приближений напряжений задают номи-нальные напряжения узлов U_ном.В некоторых случаях, в качестве начальных приближений напряжений принимают значения, полученные в предыдущих близких расчетах для данной схемы;

2) Задание точности расчета E, предельного количества итераций n_пред.,

начального значения счетчика итераций к=0 и других параметров расчета;

3) Выполнение итерации в соответствии с формулой (6):

;

4) Контроль завершения итерационного процесса:

Если условие не выполняется, то изменяем счетчик итераций (к=к+1) и возвращаемся к пункту (3). Повторяем расчет при новых приближениях неизвестных.

Если условие выполняется для всех значений U_i, то итерационный процесс завершается, найденные на последней итерации приближения неизвестных U ( k +1) принимаются в качестве искомых значений с заданной точностью.

Итерационные методы дают последовательность приближенных значе-ний неизвестных, сходящуюся к точному решению. Это означает, что су-ществует предел последовательности:

(7)

здесь U (* ) — точное решение при .

Таким образом, точное решение может быть получено лишь в резуль-тате бесконечного итерационного процесса. Всякий вектор U ( k ) , полученный на к-ой итерации, является приближенным решением системы уравнений.

Вектор погрешности этого приближенного решения:

(8)

Так как точное решение U (*) заранее неизвестно, то о погрешности судят по разности значений на смежных итерациях (к+1) и к, то есть по вектору поправок:

(9)

Если для всех і, то итерационный процесс завершается.

Такой подход к контролю завершения итерационного процесса — не единственный и не очень надежный, так как возможно такое незначительное изменение приближений от итерации к итерации даже вдали от решения.

Более строгим и надежным способом контроля завершения итераци-онных процессов является контроль невязок уравнений. Невязка уравнения – разность между левой и правой частями уравнения. Её значение получаем при подстановке в уравнения системы (2) очередного приближения неиз-вестных. Например, для 1-го уравнения:

. (10)

Для УУР невязка уравнения соответствует расчетному небалансу тока (мощ-ности) в узле. При подстановке точных значений неизвестных U₁ (*) ,U₂ (*) ,…,U_n (*) невязки будут равны нулю:

.

То есть если итерационный процесс сошелся, то невязки близки к нулю. И чем дальше приближение U_i ( k ) от точного решения, тем больше величина не-вязок. В общем случае вектор невязок можно определить:

(11)

Итерационный процесс сошелся, если выполняются условия завершения итерационного процесса:

(12)

Это условие является более надежным критерием окончания итерационного процесса.

Достаточным условием сходимости итерационного процесса для урав-нений установившегося режима является:

Т.о. условие сходимости определяется только соотношением элементов матрицы проводимостей Y . В ней диагональные элементы У_іі (собственные проводимости узлов) неравны нулю. Как правило, диагональные элементы матрицы проводимостей больше или равны суммы недиагональных элемен-тов. Т.е. при правильном формировании матрицы, это условие сходимости выполняется всегда.

Два вида сходимости итерационных процессов:

1. Экспоненциальный (апериодический):

Итерационный процесс может быть так же несходящимся (приб-лижения не приближаются и не удаляются от решения), либо рас-ходящимся (значения приближе-ний удаляются от точного реше-ния).

В случае не сходящихся или расходящихся итерационных процессов, нужно проверять правильность расчетов параметров схемы замещения, правильность расчета элементов и формирования матрицы проводимос-тей, анализировать величины токов и мощностей в заданных узлах.

Видео:Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задачаСкачать

Пример использования метода Ньютона для решения УУН

УЧЕТ КОМПЛЕКСНОГО ХАРАКТЕРА

ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И РЕЖИМА[1]

Система уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока:

.

(9.7)

При решении на ЭВМ системы уравнений узловых напряжений для сети переменного тока, как правило, она приводится к системе действительных уравнений порядка , где — число узлов схемы. Для этого представляют матрицы и вектор — столбцы с комплексными элементами в виде сумм матриц и вектор — столбцов с действительными элементами (при этом надо в виде такой суммы представить каждый комплексный элемент и учесть правило сложения матриц):

(9.8)

Подставляя (9.8) в (9.7), получим:

(9.9)

Уравнение (9.9) переписываем, разделяя действительные и мнимые слагаемые.

.	(9.10)
.	(9.11)

Иными словами, систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в виде блочного матричного уравнения:

(9.12)

Выражение (9.12) является системой действительных уравнений порядка и содержит неизвестных действительных и мнимых составляющих узловых напряжений, представленных в форме действительных чисел.

ОПИСАНИЕ РАСЧЕТА УР С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

(9.53)

где — вектор-функция.

Эти уравнения связывают между собой параметры установившегося режима электрической системы. Часть параметров режима задана (независимые переменные ). Обозначим вектор-столбец независимых переменных при расчете установившегося режима . Остальные (зависимые переменные ) могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных .

Число зависимых переменных равно числу уравнений установившегося режима. Это означает, что вектор-функция и вектор-столбец имеют одинаковую размерность. В зависимости от постановки задачи и способов задания исходных данных в состав векторов независимых и зависимых переменных и могут входить разные параметры режима.

Разделение параметров режима на зависимые и независимые переменные играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической устойчивости режимов и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор независимых переменных задан, то есть , следовательно, нелинейную систему уравнений (9.53) можно переписать как

(9.54)

Число уравнений в этой системе также равно числу зависимых переменных , то есть равно размерности вектора . В результате решения уравнений УР можно найти все зависимые переменные .

МЕТОД НЬЮТОНА

Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений представляет собой обобщение на многомерный случай метода касательных, применяемого для решения одного нелинейного уравнения.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значения неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение. Поясним идею этого метода на примере решения уравнения

	(5.4)
Решение уравнения — точка, в которой кривая проходит через нуль (рисунок 5.1): Рисунок 5.1- Графическая иллюстрация метода Ньютона

Зададим начальное приближение к решению уравнения и вычислим значение функции . Если точка достаточно близка к решению, то для его получения целесообразно разложить функцию в ряд Тейлора в окрестностях точки :

(5.5)

Выражению (5.5) соответствует касательная к функции, проведенная в точке . Такая касательная показана на рисунке 5.1. Для малых значений приближение (5.5) хорошо моделирует саму функцию , поэтому в качестве приближенного решения исходного уравнения целесообразно использовать решение линеаризованного уравнения (5.5), равное

(5.6)

Полученную точку можно использовать в качестве нового приближения и сделать шаг, в результате которого будет найдено приближение и т. д. Итерационный процесс получения решения показан на рисунке 5.1.

Аналогично определяется решение для системы нелинейных уравнений. Рекуррентное выражение, представленное в матричной форме записи, имеет вид:

(5.7)

где — матрица Якоби (или якобиан), составленная из частных производных;

— вектор невязок, вычисленный в точке ;

— вектор поправок к приближению .

Пример использования метода Ньютона для решения УУН

Для электрической сети, представленной на рисунке 5.2, определить напряжения в узлах, используя метод Ньютона (три итерации).

Для рассматриваемой схемы электрической сети может быть записана система нелинейных УУН в форме баланса токов:

(5.8)

Рисунок 5.2	Схема электрической сети.

Для решения методом Ньютона система УУН (5.8) представляется в форме баланса мощностей

(5.9)

И приводится к виду

Рекуррентное выражение метода Ньютона:

,

(5.10)

Где: 1) элементы матрицы Якоби вычисляются по формулам:

,

2) вектор невязок вычисляется в точке по следующим выражениям:

,

3) — вектор поправок к -му приближению .

Новые напряжения вычисляются по выражению

(5.11)

Для схемы электрической сети, представленной на рисунке 5.2, исходная система (5.9) имеет вид:

Начальное приближение: кВ

Вектор невязок записывается:

Элементы матрицы Якоби:

Для заданного начального приближения кВ элементы матрицы Якоби приобретают значение

Подставляем все найденные величины в и получаем систему двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Система двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Система двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Вектор невязок для 4-ой итерации составил бы:

Видео:11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

Уравнения узловых напряжений

Уравнения узловых напряжений (УУН) — система нелинейных (иногда линейных) алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются напряжения в узлах электрической сети, наиболее часто применяемая для расчёта установившегося режима электрической сети.

Видео:Методы решения уравненийСкачать

Содержание

Видео:c23 5, Корреляционная система уравнений: установившийся режимСкачать

Описание

Установившийся режим электрических систем можно рассчитывать при различных способах задания исходных данных в зависимости от физической сути и цели расчёта. В статье рассмотрен наиболее часто встречающийся и наиболее простой случай, когда известны сопротивления и проводимости всех пассивных элементов электрической сети. Кроме того, заданы постоянные величины всех значений токов (мощности) во всех узлах, кроме балансирующего и все ЭДС, а также напряжение одного узла — базисного. При этом необходимо определить напряжения всех [math](n-1)[/math] узлов и токи во всех m ветвях.

В общем случае базисный по напряжению и балансирующий узлы могут не совпадать. Как правило, при расчётах режимов электрических систем предполагают, что эти узлы совпадают, в дальнейшем для простоты изложения предполагается, что базисным по напряжению и балансирующим является один и тот же [math]n[/math] -й узел. Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно числу независимых узлов [math](n-1)[/math] . Уравнение первого закона Кирхгофа для [math]n[/math] -го узла является следствием уравнений для остальных [math](n-1)[/math] узлов и не входит в число независимых уравнений.

Если в качестве неизвестных принять [math](n-1)[/math] узловых напря¬жений, то установившийся режим можно описать только узловыми уравнениями, вытекающими из первого закона Кирхгофа и закона Ома [1] , [2] , [3] , [4] . Уравнения узловых напряжений следуют из первого закона Кирхгофа, если все токи в ветвях выразить через узловые напряжения и проводимости ветвей. Число уравнений узловых напряжений равно числу независимых узлов [math](n-1)[/math] .

Уравнения баланса токов представляют собой простейшую форму уравнений, описывающих установившиеся режимы. Существуют две математические модели уравнений узловых напряжений:

Отличительной особенностью этих моделей является то, что линейная модель предполагает задание комплексных значений токов, в отличие от нелинейной модели, которая предполагает задание активной и реактивной мощностей. В большинстве задач нагрузки в узлах задаются активной и реактивной мощностями, по этой причине обычно используется нелинейная модель.

Видео:Общие методы решения уравнений | Алгебра 11 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Вывод уравнений узловых напряжений

Для формирования УУН рассмотрим представленную на рис. 1 часть схемы замещения:

Первый закон Кирхгофа для к-го узла:

Наличие знака сопряжения в этом выражении обусловлено тем, что для идеального двухобмоточного трансформатора выполняется закон сохранения мощности [math]dot=dot=hatdot=hatdot[/math] , где индексами «Н» и «В» обозначены соответственно низшая и высшая обмотки трансформатора, поэтому, если [math]dot=dotdot<K_>[/math] , то из закона сохранения следует:

Подстановка полученных выражений в уравнение (1.1) с приведением подобных членов позволяет получить уравнение для k-го узла в виде:

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

В прямоугольной системе координат

В данной системе комплексные величины [math]displaystyle underline_, dot<U_>, dot<J_>[/math] представляются в виде

для проводимости справедливо следующее:

получаем, что [math]displaystyle underline=g-jb,[/math]

но для удобства расчёта матрицы проводимостей будем использовать соотношение

Запишем УУН для линейной ЭЭС:

левая часть данной системы характеризует токи, втекающие в k-й узел, правая часть — токи, вытекающие из того же узла, но с учетом влияния токов базы.

Подставляем (1), (2), (3) в (4), [math]dot_б[/math] представим аналогично уравнению (1), тогда имеем следующее:

[math]displaystyle begin sum_^ left( g_ + j b_ right) left( U_’ + j U_» right) = J_‘ + j J_»- left( g_ + j b_ right) left(U_’ + j U_»right), i = 1 ldots N end.[/math]

Сгруппируем и приведем подобные:

Сгруппируем относительно [math]j[/math] левую и правую части системы (5). Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые составляющие. Распишем в новой системе отдельно действительные и мнимые части. Получаем:

Представим данную систему (6) в матричной форме:

В случае, если [math]dot_б=U_б+j0,[/math] система (6) преобразуется к виду:

Соответственно упрощается матричная форма записи системы (8):

Вернемся к нелинейной модели ЭЭС. Для этого перенесем составляющую токов базы системы (4) в левую часть, изменив при этом диапазон [math]i=1 ldots (N-1)[/math] . Получаем:

Добавим, что [math]dot = P + j Q.[/math] (12)

Подставляем (11) в выражение (10), получаем следующее:

Подставляем (1), (3), (12) в (13), получаем:

[math]displaystyle begin sum_^ left( g_ + j b_ right) left( U_’ + j U_» right) = frac

, i = 1 ldots (N-1)end.[/math]

Раскрываем скобки, домножаем правую часть на сопряженное и группируем относительно [math]j[/math] :

Вынесем [math]j[/math] за знак суммы в левой части, а в правой части разобьем дробное выражение на две составляющие относительно [math]j[/math] , получим:

Преобразуем систему (14) к виду, аналогичному системе (8), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса токов:

Выведем систему нелинейных УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей. Для этого домножим систему (13) на [math]hat[/math] , получаем:

[math]displaystyle beginleft(U_i’-jU_i»right)sum_^left(g_+jb_right)left(U_’+jU_»right)=P_i-jQ_iend, i=1 ldots (N-1).[/math]

Вносим сопряженный комплекс напряжения под знак суммы и группируем относительно [math]j[/math] , имеем:

Преобразуем систему (17) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в прямоугольных координатах в форме баланса мощностей:

Видео:Методы решения уравненийСкачать

В полярной системе координат

Комплексное число можно представить в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:

[math]displaystyle dot=U_k’+jU_k» = V_k cdot e^ = V_k big(cos(δ_k)+j sin(δ_k)big).[/math]

Для того, чтобы вывести УУН в форме баланса мощностей в полярной системе координат, необходимо в систему (16) подставить показательную запись комплексного числа [math]dot[/math] . Выполнив это, получим:

[math]displaystyle begin V_i e^ sum_ limits^ (g_ + j b_) cdot V_k cdot e^ = P_i — j Q_i end, i= overline.[/math]

Переносим экспоненты в одну сторону:

[math]displaystyle begin V_isum_limits^V_k(g_+jb_) cdot e^ cdot e^=P_i-jQ_iend, i= overline.[/math]

Используя свойство степеней, выполним преобразования:

[math]displaystyle begin V_isum_limits^ V_k (g_+jb_) cdot e^ = P_i — jQ_iend, i= overline.[/math]

Переходим к тригонометрической форме:

[math]displaystyle begin V_isum_limits^ V_k bigg( big(g_ + jb_ big) big( cos(δ_k-δ_i) + j cdot sin(δ_k-δ_i) big) bigg) = P_i-jQ_i end, i= overline.[/math]

Группируем относительно [math]j[/math] :

Преобразуем систему (19) к виду, аналогичному системе (15), и получаем нелинейную систему УУН для сети переменного тока в полярных координатах в форме баланса мощностей:

Видео:Бакалавриат_ЭЭ_7 семестр_ПЭП_Математические методы расчета установившихся режимов СЭС_Лекция 3Скачать

Методы решения

Основные методы решения системы уравнений узловых напряжений:

1. Метод Гаусса-Зейделя — это один из самых первых разработанных методов. Обычно показывает более медленную сходимость по сравнению с другими итерационными методами. Основными особенности — это малое использование памяти и не требуется матричная алгебра.
2. Метод Якоби.
3. Метод Z-матриц.
4. Метод Ньютона-Рафсона — один из самых популярных методов решения, основанный на разложении в ряд Тейлора.
5. Метод голоморфного встраивания — прямой метод расчёта на основе комплексного анализа.

💡 Видео

Метод решения уравнений, чтобы не ошибаться в знакахСкачать

Алгебра 11 класс (Урок№50 - Системы уравнений. Методы решения систем уравнений.)Скачать

Алгебра 11 класс (Урок№49 - Уравнения. Методы решения уравнений.)Скачать

5 способов решения уравнений | Эрик Легион | 100балльный репетиторСкачать

МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Нестандартные методы решения уравнений, неравенств, систем. (часть 1).Скачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать