Методы решения уравнений путем последовательных приближений (5 видео)

Метод последовательных приближений решения дифференциального уравнения

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике для уравнения (1) выполнены условия а) и б) теоремы существования и единственности решения задачи (1)-(2).

Решение задачи (1)-(2) может быть найдено методом последовательных приближений , который состоит в следующем.

Строим последовательность функций, определяемых рекуррентными соотношениями

В качестве нулевого приближения можно взять любую функцию, непрерывную в окрестности точки , в частности — начальное значение Коши (2). Можно доказать, что при сделанных предположениях относительно уравнения (1) последовательные приближения сходятся к точному решению уравнения (1), удовлетворяющему условию (2), в некотором интервале , где

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения n-м приближением , даётся неравенством

где . Применяя метод последовательных приближений, следует остановиться на таком , для которого не превосходит допустимой погрешности.

Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Очевидно, что для данного уравнения на всей плоскости выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Строим последовательность функций, определяемых соотношениями (3), приняв за нулевое приближение :

Ясно, что при . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция решает поставленную задачу Коши.

Пример 2. Методом последовательных приближений найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию в прямоугольнике

Решение. Имеем , т. е. . За берем меньшее из чисел , т. е. . Последовательные приближения согласно (4) будут сходится в интервале . Составляем их

Абсолютная погрешность третьего приближения не превосходит величины

Замечание. Функция должна удовлетворять всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Следующий пример показывает, что одной непрерывности функции недостаточно для сходимости последовательных приближений.

Пусть функция определена следующим образом:

На множестве , функция непрерывна и ограничена постоянной . Для начальной точки последовательные приближения при имеют вид:

Поэтому последовательность для каждого не имеет, предела, т. е. последовательные приближения не сходятся. Заметим также, что ни одна из сходящихся подпоследовательностей и не сходится к решению, поскольку

Если же последовательные приближения сходятся, то полученное решение может оказаться неединственным , как показывает следующий пример: .

Возьмем начальное условие ; тогда

Беря в качестве нулевого приближения функцию , будем иметь

так что все последовательные приближения равны нулю и поэтому они сходятся к функции, тождественно равной нулю. С другой стороны, функция представляет собой также решение этой задачи, существующее на полупрямой .

Содержание

3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)
Метод последовательных приближений
Метод простой итерации
Готовые работы на аналогичную тему
🔥 Видео

Видео:Метод итераций (последовательных приближений)Скачать

3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

Что можно сделать всегда и притом множеством способов.

Выберем начальное приближение x0Î [a;b].

Вычислим новые приближения:

Xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула — формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс Сходящийся .

Условие сходимости (3.9)

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется Бесконечный Итерационный процесс.

Можно получить Приближенное Решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

, (3.10)

Где ε — заданная точность; i — номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис. 3.7 Итерационный процесс для случая 0 1 xÎ[a, b].

Методы решения уравнений путем последовательных приближений

Рис. 3.10 Итерационный процесс для случая £ — 1 xÎ[a, b].

Из анализа графиков следует, что скорость сходимости растет при уменьшении значения

Метод достаточно прост, обобщается на системы уравнений, устойчив к погрешности округления (она не накапливается).

При разработке алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций следует предусмотреть защиту итерационного процесса от зацикливания: использовать в качестве дополнительного условия завершения итерационного процесса превышение заданного максимального числа итераций.

Рис 3.11. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций:

Основной проблемой применения метода является обеспечение сходимости итерационного процесса: нужно найти такое эквивалентное преобразование (3.1) в (3.7), чтобы обеспечивалось условие сходимости (3.9) .

Простейшие эквивалентные преобразования, например:

F(x) = 0 => x+f(x) = x, т. е. φ(x) = x + f(x)

Или выразить явно x из (3.1)

F(x) = 0 => x — φ(x) = 0 => x = φ(x)

Не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы Сходящегося итерационного процесса.

Пусть .

Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде

Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

Константу l вычислить по формуле:

(3.11)

Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле

Xi = xi+1− λ f(x) (3.12)

Где i=1,2,… — номер итерации, x0Î[a, b] – начальное приближение.

Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].

Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.

Из уравнения выразим явно x:

Проверим условия сходимости для полученной формулы:

, ,

для x Î (0;1].

Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.

Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).

, , для всех x Î [0;1].

Наибольшее значение принимает при x = 1, т. е.

Следовательно .

Формула Сходящегося итерационного процесса

Уточним корень с помощью данной формулы.

Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).

Вычислим первое приближение

Проверим условие завершения итерационного процесса

Расчет следует продолжить.

X6 = 0,453917 − ответ, т. к.

Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:

Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.

Видео:5. Метод последовательных приближенийСкачать

Метод последовательных приближений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Одной из целей этого метода состоит в нахождении приближенных решений уравнений. Одним из таких методов является метод простой итерации.

Видео:Решаем диффуры методом последовательных приближенийСкачать

Метод простой итерации

Метод простой итерации — один из самых простейших численных методов для решения уравнений.

Идея метода простой итерации.

Пусть нам необходимо решить уравнение $fleft(xright)=0$.

Вначале для его решения приведем его к эквивалентному уравнению вида

Рассмотрим пример такого приведения:

Привести уравнение $-x^2=0$ к виду $x=varphi (x)$.

Решение.

Здесь есть три способа такого преобразования:

После этого каким-либо образом выбирается начальное приближение $x_0$, вычисляется значение $varphi (x_0)$ и находится уточненное значение $x_1=varphi (x_0)$. Следующее уточненное значение будет находиться как $x_2=varphi (x_1)$ и т.д. Каждый такой шаг называется шагом итерации.

Сформулируем и докажем следующую теорему:

Функция $varphi (x)$ определена и дифференцируема на отрезке $[a,b]$ и $varphi (x)in [a,b]$. Тогда, если textbar $’left(xright)|

Процесс итерации $x_n=varphi (x_)$ сходится независимо от начального положения $x_0$;

$<mathop_ x_n >=X$ — единственный корень уравнения $x=varphi (x)$ на отрезке $[a,b]$.

Доказательство.

item Так как $X=varphi (x)$ и $x_n=varphi (x_)$, то

[x_n-X=varphi left(x_right)-varphi left(xright)=left(varphi left(x_right)-varphi left(xright)right)frac<x_-x><x_-x>=] [=frac<varphi left(x_right)-varphi left(xright)><x_-x>cdot x_-x]

По теореме о среднем, получаем

Пусть $M=max |’left(xright)|$, тогда $|x_n-X|le M|x_-x|$. Также$|x_-X|le M|x_-x|$. Но тогда получим

То есть получим, что

Следовательно, для того чтобы метод сходился нужно, чтобы $M=max |’left(xright)|$ было меньше единицы, значит $left|’left(xright)right|

Рассмотрим $x_n=varphi (x_)$ и $x_=varphi (x_n)$.

[x_-x_n=varphi left(x_nright)-varphi (x_)]

По теореме о среднем $x_-x_n=f’left(x_nright)(x_n-x_)$.

Так как $left|’left(xright)right|le q

Из двух полученных неравенств, имеем

Пусть $|x_n-X|le varepsilon $, тогда $x_0,x_1,dots ,x_n$ нужно вычислять до тех пор, пока не выполнится неравенство $|x_n-x_|le frac$, тогда получим, что $X=x_npm varepsilon $. Отсюда следует, что $X$ корень уравнения $x=varphi (x)$, то есть $X=varphi (X)$.

Предположим, что это уравнение имеет еще один корень $X’=varphi left(X’right)$. Отсюда $X’-X=varphi left(X’right)-varphi left(Xright)$, тогда $left(X’-Xright)left|1-‘left(Cright)right|=0$. Значит $X’=X$.

Готовые работы на аналогичную тему

Теорема доказана.

Из теоремы будет вытекать погрешность метода простой итерации. Она определяется следующей формулой:

Также из нее можно выделить критерий окончания метода простой итерации. Он говорит, что процесс итерации необходимо продолжать до выполнения следующего неравенства:

Рассмотрим теперь на примере использование метода простой итерации.

Решить уравнение $sinx-x^2=0$ с точностью до $varepsilon =0,001$.

Решение.

Вначале приведем уравнение к виду $x=varphi (x)$.

Очевидно, что корень уравнения находит на отрезке $left[frac,fracright]$.

Найдем $varphi (x)$:

Она возрастает на отрезке $left[frac,fracright]$, следовательно принимает максимальное значение, при $x=frac$. $left|’left(xright)right|le left|’left(fracright)right|approx 0,312$.

Условие выполняется, $q [|x_n-x_|le varepsilon ]

Это неравенство выполнится на 5 шаге.

Приведем таблицу промежуточных решений, взяв за $x_0$ единицу:

Ответ: приближенное значение с заданной точностью — $0,8765$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08 04 2021