- Методы решения тригонометрических уравнений.
- 1. Алгебраический метод.
- 2. Разложение на множители.
- 3. Приведение к однородному уравнению.
- 4. Переход к половинному углу.
- 5. Введение вспомогательного угла.
- 6. Преобразование произведения в сумму.
- Проект «Методы решения тригонометрических уравнений!
- Методы решения тригонометрических уравнений
- 💥 Видео
Видео:Все методы решения тригонометрических уравнений за 30 минутСкачать
Методы решения тригонометрических уравнений.
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos 
и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
Видео:Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Проект «Методы решения тригонометрических уравнений!
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
О бластное государственное автономное
дополнительного профессионального образования
«Белгородский институт развития образования»
Методы решения тригонометрических уравнений
Остапенко Татьяна Ивановна,
учитель математики и физики
МБОУ «Бехтеевская СОШ
Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.
Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида
sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать.
sinx = a, x = (-1) k arcsin a + πk, k Є Z,
arcsin a — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, синус которого равен a.
cosx= a, x= 
arccos a +2πk, k Є Z,
arccos a — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен a .
tq x = a, x = arctq a + πk, k Є Z,
arctg a — угол, содержащийся в промежутке от — π/2 до π/2, тангенс которого равен a .
ctq x = a, x = arcctq a + πk, k Є Z,
arcctg a — угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен a .
Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.
Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул.
При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций.
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений
Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения.
Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:
Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:
Методы решения тригонометрических уравнений.
При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа – число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции , используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.
Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций.
Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
1)Решить уравнение 2 sin 2 
+ 3 sin 
—2 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно sin 
.
Его корни: sin = 
, sin =—2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isin l 
1, решения первого можно записать так:
+2 k 
,
π
+ 2 k 
Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо заменить их все на какую-нибудь одну, используя тригонометрические тождества.
2) Решить уравнение 2 sin + cos = 2.
Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то получим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, используем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:
и 
.
Делая замену, получаем уравнение относительно
: 
.
Квадратное уравнение 
имеет корни 
откуда
Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:
Пусть
. Тогда можно продолжить преобразование: 
. Получаем простейшее уравнение 
т. е. 
, откуда 
, или 
Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.
Понижение порядка уравнения.
Формулы удвоения 
позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.
1)Решить уравнение
.
Можно заменить cos 2
на 2 cos 2 —1 и получить квадратное уравнение относительно cos , но проще заменить
на 
и получить линейное уравнение относительно
.
2) Решить уравнение
Подставляя вместо
, 
их выражения через
, получаем:
,
2
Использование тригонометрических формул сложения и следствий из них.
Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения.
1) Решить уравнение
.
Сложим два крайних слагаемых:
, откуда
,
. Тогда
, 
.
2) Решить уравнение
.
Преобразуем произведение синусов в сумму:
,
откуда
. Полученное уравнение можно решить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать 
в произведение. Удобнее воспользоваться условием равенства косинусов двух углов 
и
:
.
Получаем два уравнения:
.
Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче:
.
Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).
Так как
, то постоянные слагаемые можно считать членами второй степени.
Пример: 
.
Заменяя 4 на 
,получаем:
Переход к половинному углу
Рассмотрим этот метод на примере:
Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
t g ² ( x / 2 ) – 3 t g ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos 
и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
Пример. Решить уравнение: 
Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.
Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.
Пример. Решите уравнение 
Решение. Раскроем скобк и и преобразуем произведение
в сумму:
Умножим обе части уравнения на
. Заметим, что 
, 
не является решением данного уравнения. 
. Преобразуем левую часть уравнения:
; 
или 
тогда
или
, т.е. 
Исключим из найденных серий корни вида , :
а)
. Ясно, что
— четное число, т.е. 
, а потому 
.
б)
. Tax как 
, то 
,но тогда 
,
.
Ответ:
Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции.
Пример. Решите уравнение
.
Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:
При6авим к обеим частям уравнения по единице. 
;
Разделим обе части уравнения на 
и после преобразований получим.
Тогда 
или 
.
Из первой серии корней области определения принадлежит только 
,
но это серия корней содержится в серии. Нетрудно убедиться, что входит в область определения. Например:
что верно, поскольку левая часть — число четное, а правая — нечетное.
Ответ:
.
Тождественные преобразования одной из частей уравнения.
Пример. Решите уравнение 
.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
Откуда 
, тогда 
или 
Легко видеть, что 
Ответ: 
Использование свойств пропорции.
Необходимо помнить, что применение равенств
и т. д. приводит к изменению области определения уравнения. Так, у пропорции
существует ограничение: 
, а у пропорции 
место другое ограничение:
.
Пример. Решите уравнение 
Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: 
. Используем свойство пропорции: 
; 
Область определения исходного уравнения:
В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: 
откуда 
Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению значения
а) 
-верное равенство,
— решение исходного уравнения.
б) 
верное равенство.
в)
-1 
-1 — верное равенство, Ответ:
Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.
При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограниченность функций, и
. Покажем это на конкретных примерах.
Пример 1. Решите уравнение 
.
Решение. Так как 
, то 
,
, откуда 
и возможные корни данного уравнения 
Подставив эти значения в левую часть уравнения, получим
а последнее равенство возможно только при 
.
Следовательно, 
— решение данного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение 
.
Решение. Легко видеть, что 
и 
. Следовательно, 
, но тогда 
, 
, откуда 
, 
— возможные корни данного
уравнения. Подстановка в данное уравнение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.
Ответ:
.
Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени
При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.
Ответ: 
Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:
Ответ: 
Уравнения повышенной сложности
2sin 3 x +2sin 2 x cos x – sin x cos 2 x – cos 3 x = 0 | : cos 3 x ≠ 0;
т.к. уравнение однородное тригонометрическое 3-ей степени
2 tg 3 x + 2 tg 2 x – tgx – 1 = 0;
Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены, получим
(tg x + 1)(2tg 2 x – 1) = 0;
tgx = -1 х = — 
+ 
n , n ͼ Z
tgx= 
; х = arctg + k, k ͼ Z.
Ответ : — + n , n ͼ Z ; 
arctg + k, k ͼ Z.
( Сканави М.И. 8.081)
6sin 2 x + sin x cos x – cos 2 x = 2;
4sin 2 x + sin x cos x – 3 cos 2 x = 0; | : cos 2 x ≠ 0;
т. к. уравнение однородное тригонометрическое 2-ой степени
4tg 2 x + tg x – 3 = 0;
tgx = -1, х = — + n , n ͼ Z
tgx= 
; х = arctg + k, k ͼ Z.
Ответ : — + n , n ͼ Z;
arctg + k, k ͼ Z.
( Сканави М.И. 8.076)
sin x – sin 2 x + sin 5 x + sin 8 x = 0;
сгруппировав первое с третьим, второе с четвертым слагаемые левой части и применив формулы суммы и разности синусов, получим
2sin 3x cos 2x + 2sin 3x cos 5x = 0;
вынесем в левой части общий множитель за скобки и применим формулу суммы косинусов
2sin 3x ∙ 2 cos 
cos 
= 0;
sin 3x = 0, x = 
, n ͼ Z
cos = 0, x = 
+ 
, k ͼ Z
cos = 0; x = 
+ 
, m ͼ Z.
П
роизведем отбор корней, воспользовавшись тригонометрической окружностью
Ответ: , n ͼ Z ;
+ , k ͼ Z .
( Сканави М.И. 8.076)
= 2;
воспользуемся формулой косинуса двойного угла
= 2;
s
in 
= 1,
sin ≠ 0;
sin = 1;
х= + 4 
, k ͼ Z .
Ответ: 
+ 4 , k ͼ Z .
(Сканави М.И. 8.120)
+ 
— 
— 
=0
;понизим степень, воспользовавшись формулами косинуса двойного угла
1 +cos x +1 + cos 3x -1 +cos 4x -1 +cos 8x =0;
сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов
2cos 2x cos x + 2cos 2x cos 6x =0;
2cos 2x 2cos 3,5x cos 2,5x=0;
произведение всюду определенных множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю
cos 2x=0 2x= 
+ 
, n ͼ Z
cos 3,5x=0 3,5x= + 
, m ͼ Z
cos 2,5x=0; 2,5x= + , k ͼ Z;
x
= + 
, n ͼ Z
x= + 
, m ͼ Z
x= 
+ 
, k ͼ Z .
Ответ: 
+ , n ͼ Z ;
+ , m ͼ Z ;
+ , k ͼ Z .
Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.
В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.
Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов.
Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип.
Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.
Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. – 1995. — №2. –с. 40 – 42.
Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982 г.
Г. И. Глейзер История математики в школе. – М.: «Просвещение» 1983г.
Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» — М.: Илекса, 2013.- 200 с.:ил.
Крамор В.С. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1979.
Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г.
Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. — М.: Новая школа, 1993.
Видео:Алгебра 10 класс (Урок№47 - Методы решения тригонометрических уравнений.)Скачать
Методы решения тригонометрических уравнений
Разделы: Математика
Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
| сos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2 ), cos y = a/v(a 2 + b 2 ), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2 ) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = ( tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = ( tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.
Решение: Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x
4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),
т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + 
k, k€z,
Ответ: (-1) к+1 /6 + k, k€z.
2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
решим способом разложения на множители
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х
/2 +
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.
Ответ: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.
Решение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg x = 1 и tg x = 2,
откуда х = /4 + m, m€z,
х = arctg 2 + k, k€z.
Ответ: /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.
4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 4
2 sin (5x + 6) = 4.
Решение: Метод введения новой переменной
Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 42 sin у = 4
1 – 2 sin 2 у + 4
sin у = t, где t€[-1;1]
2t 2 – 42t + 3 = 0
t = 2/2 и t = 32/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])
sin (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,
х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.
Ответ: (-1) к ?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0
Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:
х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.
Ответ: (0; /2 + k) k€z.
6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0
Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”
(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;
(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если
(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:
sin х – 1 = 0, и cos х = 0,
sin х = 1, и cos х = 0, следовательно
х = /2 + k, k€z
Ответ: /2 + k, k€z.
7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.
Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.
– 1
0 
cos 2 х 1
0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2
2 2 + cos 2 х 3
sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 
2
-2 sin 5х + sin х 2, т.е.
sin 5х + sin х 2,
имеем левая часть 2, а правая часть 2,
равенство возможно если, они оба равны 2.
cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно
х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).
Ответ: /2 + k, k€z.
8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.
Решение: Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.
(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,
2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,
Возникают три случая:
- cos х/2 = 0, х/2 = /2 + k, k€z, х = + 2k, k€z;
- cos 5/2х = 0, 5/2х = /2 + k, k€z, х = /5 + 2/5k, k€z;
- cos х = 0, х = /2 + k, k€z.
Ответ: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х1 = /5 + 2/5k, х2 = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.
9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.
Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:
2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,
(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.
Получаем два уравнения:
cos 3х + 1 = 0, х =
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х 8 х – cos 5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 t убывает с ростом t.
Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:
sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,
т.е. sin х может принимать значения -1, 0
Ответ: /2 + k, + 2k, k€z.
Для полноты картины рассмотрим ещё пример.
12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.
Решение: Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.
Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:
1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).
Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.
Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.
Эти значения х удовлетворяют уравнению.
Если 
cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ: /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Решение: Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде
1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.
обозначив sin 2х = t, -1 t 1,
получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,
решая которое, находим t1 = 1/2, t2 = – 4
уравнение sin 2х = 1/2
2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .
уравнение sin 2х = – 4 решений не имеет.
Ответ: (- 1) к //12 + k /2, k€z .
14. Решить уравнение: sin 9х + sin х = 2.
Решение: Решим уравнение методом оценки. Поскольку при всех значениях а выполнено неравенство sin а1,то исходное уравнение равносильно sin х = 1 и sin 9х =1,откуда получаем х = /2 + 2k, k€z и х = /18 + 2n, n€z.
Решением будут те значения х, при которых выполнено и первое, и второе уравнение. Поэтому из полученных ответов следует отобрать только х = /2 + 2k, k€z.
Ответ: /2 + 2k, k€z.
15. Решить уравнение: 2 cos x = 1 – 2 cos 2 x – v3 sin 2х.
Решение: воспользуемся формулой:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
и перепишем уравнение в виде
2 cos x = – cos 2х – 3 sin 2х.
Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим уравнение:
2 cos x = – 2 (1/2 cos 2х + 3/2 sin 2х),
которое можно записать в виде
2 cos x = – 2 (cos а cos 2х + sin а sin 2х),
где очевидно, а = /3. Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы:
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
приходим к уравнению
2 cos x = – 2 cos (2х – /3),
cos x + cos (2х – /3) = 0.
Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле:
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2,
cos x + cos (2х – /3) = 2 cos (3х/2 – /6) cos (/6 – х/2) = 0
Это уравнение расщепляется на два уравнения
cos (3х/2 –
cos (/6 – х/2) = 0,
решение которых уже не представляет сколь нибудь значительных трудностей.
Ответ: 2/9(2 + 3n), 2/3(2 + 3 k), n, k€z.
16. При каких значениях параметра а, уравнение а sin x – 4 cos x = 5, имеет решения?
Решение: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу введения дополнительного аргумента:
а sin x – 4 cos x = (а 2 + 16) sin (x – y), где y определяется из условий sin y = – 4/(а 2 + 16), и cos y = а /(а 2 + 16).
Но значение y нас не интересует. Поэтому данное уравнение перепишем в виде
(а 2 + 16) sin (x – y) = 5,
sin (x – y) = 5/(а 2 + 16), это уравнение имеет решение при условии 5/(а 2 + 16) 1.
Решим это неравенство:
5/
5 (а 2 + 16),
(а 2 + 16) 5,
а 2 + 16 25,
а 2 9, или
а 3, следовательно
а € (-
;-3] U [3; ).
Ответ: (-;-3] U [3; ).
17. При каких значениях параметра а, уравнение 2 sin 2 x + 3 cos (x +2 а) = 5, имеет решения?
Решение: поскольку 0 sin 2 x 1, и -1 cos (x +2а) 1 левая часть уравнения может равняться 5 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.
Это означает, что исходное уравнение равносильно системе уравнений sin 2 x = 1, и cos (x +2 а) = 1.
sin x = – 1, sin x = 1, cos (x +2 а) = 1;
х = /2 + n, n€z, и x +2 а = 2 к, к€z;
х = /2 + n, и x = – 2 а + 2 к;
/2 + n = – 2 а + 2 к;
2 а = 2 к – /2 – n;
а = к – /4 – n/2;
а = – /4 + /2 (2к – n);
а = – /4 + m/2, m€z.
Ответ: – /4 + m/2, где m€z.
Рассмотренные выше примеры лишь иллюстрируют несколько общих рекомендаций, которые полезно учитывать при решении тригонометрических уравнений. Из приведённых примеров видно, что дать общий рецепт в каждом конкретном случае невозможно.
Ежегодно варианты экзаменационных материалов ЕГЭ содержат от 4-х до 6-ти различных задач по тригонометрии. Поэтому параллельно с повторением теоретического материала значительное время должно быть отведено решению конкретных задач, в том числе и тригонометрических уравнений. А умение можно выработать, только получив практические навыки в решении достаточного числа тригонометрических уравнений.
💥 Видео
Методы решения тригонометрических уравнений часть 1Скачать
Решение тригонометрических уравнений методом вспомогательного углаСкачать
Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
Решение тригонометрических уравнение в ЕГЭ для новичков | ЕГЭ Математика | Аня Матеманя | ТопскулСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать
Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать
10 класс, 31 урок, Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение)Скачать
Урок № 17. Тригонометрические уравнения. Метод введения новой переменной.Скачать
Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать
Алгебра и начала анализа. 10 класс. Методы решения тригонометрических уравнений /23.11.2020/Скачать
Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
