Методы решения системы нелинейных уравнений методом ньютона

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

(5.1)

С действительными левыми частями. Систему (5.1) можно представить в матричном виде

(5.2)

Здесь приняты следующие обозначения:

— вектор аргументов, а — вектор – функция.

Для решения системы (5.2) воспользуемся методом последовательных приближений. Предположим, что найдено Р-ое приближение Xp = (X1(P), X2(P) , . Xn(P)) одного из изолированных корней X = (X1, X2, X3, . Xn) векторного уравнения (5.2). Тогда точный корень уравнения (5.2) можно представить в виде

(5.3)

Где — поправка (погрешность) корня на N – ом шаге.

Подставив выражение (5.3) в (5.2), получим

(5.4)

Предположим, что функция F(X) — непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей X и X(P). Тогда левую часть уравнения (5.4) разложим в ряд Тейлора по степеням малого вектора ε(P), ограничиваясь линейными членами:

, (5.5)

Или в развернутом виде:

(5.6)

Из анализа формул (5.5) и (5.6) следует, что под производной F¢(X) следует понимать матрицу Якоби системы функций F1 , F2, . Fn, относительно переменных X1, X2, X3, . Xn, то есть:

. (5.7)

Выражение (5.7) в краткой записи можно представить:

(5.8)

Выражение (5.6) представляет собой линейную систему относительно поправок (I = 1, 2, . N) с матрицей W(X), поэтому формула (5.5) может быть записана в следующем виде:

(5.9)

Отсюда, предполагая, что матрица W(X(P)) — неособенная, получим:

(5.10)

Теперь, подставив выражение (5.10) в формулу (5.3), окончательно получим:

(5.11)

Таким образом, получили вычислительную формулу (метод Ньютона), где в качестве нулевого приближения X(0) можно взять приближенное (грубое) значение искомого корня.

Пример 5.1. Рассмотрим применение метода Ньютона на примере системы двух нелинейных уравнений

(5.12)

Прежде чем разбирать конкретные шаги по решению системы (5.12), распишем в общем виде якобиан для системы из двух уравнений

Здесь A, B, C, D – функционалы от переменных X1, x2. Нас фактически интересует W-1. Пусть матрица W— неособенная, тогда обратная матрица вычисляется

Теперь вернемся к системе (5.12). Графическое решение этой системы дает две точки пересечения: М1 (1.4; -1.5) и М2 (3.4; 2.2). Зададим начальное приближение:

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Нелинейные системы и уравнения

В более общем случае мы имеем не одно уравнение (1), а систему нелинейных уравнений $$ begin tag f_i(x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, quad i = 1, 2, ldots n. end $$ Обозначим через ( mathbf = (x_1, x_2, ldots, x_n) ) вектор неизвестных и определим вектор-функцию ( mathbf(mathbf) = (f_1(mathbf), f_2(mathbf), ldots, f_n(mathbf)) ). Тогда система (2) записывается в виде $$ begin tag mathbf(mathbf) = 0. end $$ Частным случаем (3) является уравнение (1) (( n = 1 )). Второй пример (3) — система линейных алгебраических уравнений, когда ( mathbf (mathbf) = A mathbf — mathbf ).

Видео:МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Метод Ньютона

Видео:Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Численные методы. Лекция 14Скачать

Решение нелинейных уравнений

При итерационном решении уравнений (1), (3) задается некоторое начальное приближение, достаточно близкое к искомому решению ( x^* ). В одношаговых итерационных методах новое приближение ( x_ ) определяется по предыдущему приближению ( x_k ). Говорят, что итерационный метод сходится с линейной скоростью, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*) ) и итерационный метод имеет квадратичную сходимость, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*)^2 ).

В итерационном методе Ньютона (методе касательных) для нового приближения имеем $$ begin tag x_ = x_k + frac, quad k = 0, 1, ldots, end $$

Вычисления по (4) проводятся до тех пор, пока ( f(x_k) ) не станет близким к нулю. Более точно, до тех пор, пока ( |f_(x_k)| > varepsilon ), где ( varepsilon ) — малая величина.

Простейшая реализация метода Ньютона может выглядеть следующим образом:

Чтобы найти корень уравнения ( x^2 = 9 ) необходимо реализовать функции

Данная функция хорошо работает для приведенного примера. Однако, в общем случае могут возникать некоторые ошибки, которые нужно отлавливать. Например: пусть нужно решить уравнение ( tanh(x) = 0 ), точное решение которого ( x = 0 ). Если ( |x_0| leq 1.08 ), то метод сходится за шесть итераций.

Теперь зададим ( x_0 ) близким к ( 1.09 ). Возникнет переполнение

Возникнет деление на ноль, так как для ( x_7 = -126055892892.66042 ) значение ( tanh(x_7) ) при машинном округлении равно ( 1.0 ) и поэтому ( f^prime(x_7) = 1 — tanh(x_7)^2 ) становится равной нулю в знаменателе.

Проблема заключается в том, что при таком начальном приближении метод Ньютона расходится.

Еще один недостаток функции naive_Newton заключается в том, что функция f(x) вызывается в два раза больше, чем необходимо.

Учитывая выше сказанное реализуем функцию с учетом следующего:

1. обрабатывать деление на ноль
2. задавать максимальное число итераций в случае расходимости метода
3. убрать лишний вызов функции f(x)

Метод Ньютона сходится быстро, если начальное приближение близко к решению. Выбор начального приближение влияет не только на скорость сходимости, но и на сходимость вообще. Т.е. при неправильном выборе начального приближения метод Ньютона может расходиться. Неплохой стратегией в случае, когда начальное приближение далеко от точного решения, может быть использование нескольких итераций по методу бисекций, а затем использовать метод Ньютона.

При реализации метода Ньютона нужно знать аналитическое выражение для производной ( f^prime(x) ). Python содержит пакет SymPy, который можно использовать для создания функции dfdx . Для нашей задачи это можно реализовать следующим образом:

Видео:Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

Решение нелинейных систем

Идея метода Ньютона для приближенного решения системы (2) заключается в следующем: имея некоторое приближение ( pmb^ ), мы находим следующее приближение ( pmb^ ), аппроксимируя ( pmb(pmb^) ) линейным оператором и решая систему линейных алгебраических уравнений. Аппроксимируем нелинейную задачу ( pmb(pmb^) = 0 ) линейной $$ begin tag pmb(pmb^) + pmb(pmb^)(pmb^ — pmb^) = 0, end $$ где ( pmb(pmb^) ) — матрица Якоби (якобиан): $$ pmb(pmb^) = begin frac<partial f_1(pmb^)> & frac<partial f_1(pmb^)> & ldots & frac<partial f_1(pmb^)> \ frac<partial f_2(pmb^)> & frac<partial f_2(pmb^)> & ldots & frac<partial f_2(pmb^)> \ vdots & vdots & ldots & vdots \ frac<partial f_n(pmb^)> & frac<partial f_n(pmb^)> & ldots & frac<partial f_n(pmb^)> \ end $$ Уравнение (5) является линейной системой с матрицей коэффициентов ( pmb ) и вектором правой части ( -pmb(pmb^) ). Систему можно переписать в виде $$ pmb(pmb^)pmb = — pmb(pmb^), $$ где ( pmb = pmb^ — pmb^ ).

Таким образом, ( k )-я итерация метода Ньютона состоит из двух стадий:

1. Решается система линейных уравнений (СЛАУ) ( pmb(pmb^)pmb = -pmb(pmb^) ) относительно ( pmb ).

2. Находится значение вектора на следующей итерации ( pmb^ = pmb^ + pmb ).

Для решения СЛАУ можно использовать приближенные методы. Можно также использовать метод Гаусса. Пакет numpy содержит модуль linalg , основанный на известной библиотеке LAPACK, в которой реализованы методы линейной алгебры. Инструкция x = numpy.linalg.solve(A, b) решает систему ( Ax = b ) методом Гаусса, реализованным в библиотеке LAPACK.

Когда система нелинейных уравнений возникает при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных, матрица Якоби часто бывает разреженной. В этом случае целесообразно использовать специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы.

Можно также воспользоваться методами, реализованными для систем линейных уравнений.

Видео:Методы численного анализа - Метод Ньютона, секущих для решения систем нелинейных уравненийСкачать

Метод Ньютона

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Правила ввода функции, заданной в явном виде

2. Примеры правильного написания F(x) :
   1. 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
   2. x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
   3. x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
   4. Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .

   Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
   Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

   1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α_i,β_i] , в которых содержится один корень уравнения.
      1. f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
      2. f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
      3. f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
   2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

   Видео:4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать

   

   Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)

   Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

   📹 Видео

   Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать

   

   15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

   

   Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

   

   Вычислительная математика. Лекция 4. Решение нелинейных уравнений и систем уравненийСкачать

   

   Метод Ньютона | Лучший момент из фильма Двадцать одно 21Скачать

   

   10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

   

   Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

   

   11 Метод Ньютона (Метод касательных) Mathcad Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

   

   Решение нелинейного уравнения методом Ньютона (касательных) (программа)Скачать

   

   МЗЭ 2021 Лекция 9 Метод Ньютона для решения нелинейных уравненийСкачать

   

   Метод Ньютона для решения нелинйеных уравнений в MS ExcelСкачать

   

   10 Метод Ньютона (Метод касательных) C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

   

   Численные методы. Вебинар. ( 24.12.21 ) Решение систем нелинейных уравнений.Скачать

   

   Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать