- Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.
- Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.
- Как решить систему линейных уравнений?
- Презентация по математике для 7 класса «Способы решения систем линейных уравнений»
- Описание презентации по отдельным слайдам:
- Краткое описание документа:
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Дистанционные курсы для педагогов
- Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
- Другие материалы
- Вам будут интересны эти курсы:
- Оставьте свой комментарий
- Автор материала
- Дистанционные курсы для педагогов
- Подарочные сертификаты
- Системы уравнений
- Способ подстановки
- Способ сравнения
- Способ сложения или вычитания
- 🌟 Видео
Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.
Пример:
Пара значений (x=3);(y=-1) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо (x) и (y), оба уравнения превратятся в верные равенства (begin3-2cdot (-1)=5 \3 cdot 3+2 cdot (-1)=7 end)
А вот (x=1); (y=-2) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» (begin1-2cdot(-2)=5 \3cdot1+2cdot(-2)≠7 end)
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «(x=3); (y=-1)» пишут так: ((3;-1)).
Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.
Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.
Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0))
Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).
Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:
И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее
Способ алгебраического сложения.
Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:(begina_1 x+b_1 y=c_1\a_2 x+b_2 y=c_2end).
Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, ((3) и (3)) или противоположны по значению (например, (5) и (-5)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на (2), а второе — на (3).
(begin2x+3y=13 |cdot 2\ 5x+2y=5 |cdot 3end)(Leftrightarrow)(begin4x+6y=26\15x+6y=15end)(Leftrightarrow)
Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.
Найдите неизвестное из полученного уравнения.
Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.
Ответ запишите парой чисел ((x_0;y_0)).
Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.
Пример. Решите систему уравнений: (begin12x-7y=2\5y=4x-6end)
Приводим систему к виду (begina_1 x+b_1 y=c_1\a_2 x+b_2 y=c_2end) преобразовывая второе уравнение.
«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на (3).
Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.
Делим уравнение на (8), чтобы найти (y).
Игрек нашли. Теперь найдем (x), подставив вместо игрека (-2) в любое из уравнений системы.
Икс тоже найден. Пишем ответ.
Приведите каждое уравнение к виду линейной функции (y=kx+b).
Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .
Ответ: ((4;2))
Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений (x_0) и (y_0) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему (begin3x-8=2y\x+y=6end), мы получили ответ ((4;2)). Проверим его, подставив вместо икса (4), а вместо игрека (2).
Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.
Пример. Решите систему уравнений: (begin3(5x+3y)-6=2x+11\4x-15=11-2(4x-y)end)
Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.
Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на (2).
Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
Подставим (6x-13) вместо (y) в первое уравнение.
Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
Перенесем (117) вправо и приведем подобные слагаемые.
Поделим обе части первого уравнения на (67).
Ура, мы нашли (x)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем (y).
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Презентация по математике для 7 класса «Способы решения систем линейных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Описание презентации по отдельным слайдам:
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (7 класс)
Презентация составлена учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Респубрики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной
Способы решения: СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ: 1. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую 2. Подставляют во второе уравнение найденное выражение; 3. Решают полученное уравнение с одной переменной 4. Находят соответствующее значение другой переменной.
Например: 3х + 2у = 4 х – 4у = 6 Решение: из второго уравнения x = 4y+6 Подставим данное выражение в первое уравнение: 3(4y+6)+2y=4 12y+18+2y=4 14y = -14 y=-1 Найдем х: x=4∙(-1)+6 x=2 Ответ: (2;-1)
ПРИМЕР 1: Решим систему: 5х – у = 16 10х – 3у = 27 Решение: Выразим из 1 уравнения: -у = 16-5x, тогда y = -16+5x = 5х-16 Выражение у = (5х-16) подставим во второе уравнение системы вместо у: 10x — 3(5x-16)=27 10x — 15x + 48 = 27 — 5x = — 48 +27 — 5x = -21 х = 4,2 Найдем у: у = 5х-16 = 5· 4,2 – 16 =21-16= 5 ОТВЕТ: (4,2; 5)
СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ: 1. умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами; 2. складывают почленно полученные уравнения; 3. решают полученное уравнение с одной переменной; 4. находят соответствующее значение второй переменной.
ПРИМЕР 1: Решим систему: 2х – 3у = 11 3х + 7у = 5 Решение: первое уравнение умножим на (-3), а второе — на 2 — 6х + 9у = — 33 6х + 14у = 10 23y=-23 y=-1 Найдем х: 2x — 3·(-1)=11 2x + 3 = 11 2х = -3 +11 2х = 8 х = 4 ОТВЕТ: (4;-1)
ПРИМЕР 2: Решим систему: 3х + 10у = 19 — 4х + 5у = -7 Решение: умножим второе уравнение на (-2) 3х + 10у = 19 8х – 10у = 14 11x=33 x=3 Найдем у: -4∙3+5y=-7 5y=12 -7 5у = 5 у =1 ОТВЕТ: (3;1)
Решить системы: 1) 3х+4у =7 9х-4у = -7 х-3у =6 2у-5х = -4 4х -6у =2 3у -2х =1 -2х+3у =-1 4х +у =2 2х +у =6 -4х +3у =8 3(х+у)+1=х+4у 7-2(х-у)=х-8у 5+2(х-у)=3х-4у 10-4(х+у)=3у-3х 2х — 7у = 3 3х + 4у = -10 5х + 2у = -9 4х – 5у = 6 5(х+у)-7(х-у) = 54 4(х+у)+3(х-у) = 51
Проверим: 1) х=0; у=7/4 2) (0; -2) 3) любое число 4) Х =0,5; у=0 5) х=1; у=4 6) (-1;-1) 7) (6 1/9; 5/9) 8) х = -2; у=-1 9) (-1;-2) 10) (9; 6)
Краткое описание документа:
В данной презентации для 7 класса рассматриваются два алгоритма решения систем линейных уравнений: способом подстановки и способом алгебраического сложения. Приведены примеры решения систем линейных уравнений данными способами, а так же составлены задания для самостоятельной работы обучающихся с последующей самопроверкой. Материал данной работы может быть использован как на обобщающем уроке по данной теме или частями при прохождении каждого способа решения систем линейных уравнений. Можно его использовать и в девятом классе как повторительный материал при подготовке к ГИА.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Видео:7 класс, 39 урок, Метод алгебраического сложенияСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 573 325 материалов в базе
Другие материалы
- 30.01.2013
- 1881
- 1
- 30.01.2013
- 1574
- 3
- 30.01.2013
- 12426
- 128
- 29.01.2013
- 21634
- 256
- 29.01.2013
- 1606
- 0
- 28.01.2013
- 1930
- 0
- 28.01.2013
- 4617
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 31.01.2013 3587
- PPTX 363 кбайт
- 9 скачиваний
- Рейтинг: 2 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Мишарина Альбина Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 5 лет и 4 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 28859
- Всего материалов: 56
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек
Время чтения: 2 минуты
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов
Время чтения: 2 минуты
Инфоурок стал резидентом Сколково
Время чтения: 2 минуты
В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы
Время чтения: 1 минута
Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Системы уравнений
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
 | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Видео:Урок по теме ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
| | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
| 3x | — 2y = 16; |
| 3( 2 + 4y ) | — 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
| 3(2 + 4y) — 2y = 16; |
| 6 + 12y — 2y = 16; |
| 6 + 10y = 16; |
| 10y = 16 — 6; |
| 10y = 10; |
| y = 10 : 10; |
| y = 1. |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Видео:Урок по теме СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 7 классСкачать
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
| | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):
| x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
| -4y = 2 — x | -2y = 16 — 3x |
| y = (2 — x) : — 4 | y = (16 — 3x) : -2 |
Составляем из полученных выражений уравнение:
| 2 — x | = | 16 — 3x |
| -4 | -2 |
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
| ||||||
| 2 — x = 32 — 6x | ||||||
| —x + 6x = 32 — 2 | ||||||
| 5x = 30 | ||||||
| x = 30 : 5 | ||||||
| x = 6 |
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
| x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
| 6 — 4y = 2 | 3 · 6 — 2y = 16 |
| -4y = 2 — 6 | -2y = 16 — 18 |
| -4y = -4 | -2y = -2 |
| y = 1 | y = 1 |
Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
| | x — 4y = 2 |
| 3x — 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
| | x — 4y = 2 |
| -6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| + | x — 4y = 2 |
| -6x + 4y = -32 | |
| -5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x — 4y) · 3 = 2 · 3
| | 3x — 12y = 6 |
| 3x — 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| — | 3x — 12y = 6 |
| 3x — 2y = 16 | |
| -10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
| 3x — 2y = 16 |
| 3x — 2 · 1 = 16 |
| 3x — 2 = 16 |
| 3x = 16 + 2 |
| 3x = 18 |
| x = 18 : 3 |
| x = 6 |
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
🌟 Видео
Урок СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСССкачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 классСкачать
Графический метод решения систем линейных уравнений 7 классСкачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
Решение систем уравнений методом сложенияСкачать
Как ЛЕГКО РЕШАТЬ Систему Линейный Уравнений — Метод СложенияСкачать
Алгебра 7. Урок 8 - Системы линейных уравненийСкачать
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать
7 класс, 37 урок, Системы двух линейных уравнения с двумя переменными. Основные понятияСкачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения. 6 класс.Скачать
