Презентация к уроку
Цель:
- повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений (потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический);
- расширить представления учащихся о функционально-графическом методе решения логарифмических уравнений;
- акцентировать внимание учащихся, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;
- формирование у учащихся умений: сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;
- усиление прикладной направленности курса алгебры и начала анализа.
Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе “Алгебра и начала анализа 11” автора А.Г.Мордковича.
Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений.
I. Актуализация знаний учащихся.
На последних уроках вы изучали очень сложную тему “Логарифмы”. Что вы уже знаете по этой теме:
1) определение логарифма,
2) свойства логарифмов,
3) логарифмическая функция,
4) логарифмические уравнения,
5) методы решения логарифмических уравнений.
Найдите блок “Блиц опрос” на рабочих листах.
1. Блок “ Блиц опрос”.
1)Вычислить значение выражения.
2) Выяснить при каких значениях x имеет смысл выражение
3) Сопоставить функцию и график. (Приложение 1. Рис.1,2,3,4)
Среди перечисленных функций найти:
А) ограниченную и снизу, и сверху;
Б) монотонно возрастающую.
5) Решите уравнения.
Аристотель говорил , что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом.
Звучит музыка. (Историческая справка)
Вы знаете — открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах “Пифагора-Архита”. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию.
И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.
В основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – .
является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.
И этим практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство. Давайте в этом убедимся
Найдите на рабочем листе блок “Звукоизоляция”.
С помощью этой формулы можно рассчитать коэффициент звукоизоляции.
D – коэффициент звукоизоляции.
р0 – давление звука до поглощения
р – давление звука, прошедшего через стену
A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ
Если коэффициент звукоизоляции D=20дБ, то
т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D=50дБ.
Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический. Мы работаем с блоком №III.
Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений.
Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму (Приложение 1.Рис.5). Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.
Слайд “Функционально-графический метод решения” (3 разновидности)
1. Использование графических иллюстраций (Приложение 1. Рис.6).
Пример. (обратить внимание на несовершенность этого способа)
2. Использование свойства монотонности функций.
Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке Х функция y=f(x) возрастает, y=g(x) убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.
y=log5 (5 x – 4) функция возрастает при x > log5 4,
y = 1 – x функция убывает при любом x.
Если x = 1, то log5 (5 – 4) = 1 – 1, 0=0.
3. Использование ограниченности функций. Если в уравнении f(x) = g(x) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f(x) равно А и наименьшее значение другой y = g(x) равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений
< f(x)=A, g(x)=A.
log3 ((2x-5) 2 +9) = 2-sin 2 6x
Оценим левую часть уравнения (2х-5) 2 +99
В силу возрастания функции y=logt имеем log
((2x-5) 2 +9)
2.
Оценим правую часть уравнения
0 sin 2 6
x
1, -1
-sin 2 6
x
0, 1
2-sin 2 6
x
2.
< log3 ((2x-5) 2 +9) 2,
2-sin 2 6 x
2;
< log3 ((2x-5) 2 +9)=2, 2-sin 2 6 x=2.
Проверка: 2-sin 2 62.5=2, 2-sin 2 15
=2, 2=2 – верно.
Есть вопросы? Мы переходим к следующему блоку рабочего листа “Самостоятельная работа”. Эти уравнения мы будем решать одним из способов функционально-графического метода. На решение уравнения отводится 3 минуты.
Давайте обсудим способ решения каждого уравнения.
Номер задания соответствует номеру группы. I группа……… II….
- 3 x =10-log2x
- log5x=
- log2((x-2) 2 +4)=2-sin 2 5
x
- log3x=-|x-1|
- log0,2(2x-1)=2x 2 -x-16
- log5((4x-5) 2 +25)=2-sin 2 8
x
Проверить 1, 2 группы (каждой группе даются образцы с решениями). Проверьте свое решение с контрольным образцом. Оставшиеся задания вы решите дома.
Домашнее задание.
А желающие могут решить уравнение повышенного уровня сложности:
Коэффициент звукоизоляции кирпичной стены в один кирпич равен 50 дБ. Каков коэффициент звукоизоляции стены в два кирпича?
y=3 x возрастает на (0;+),
y=10-log2x убывает на (0;+).
Используя теорему о единственности корня, подбором находим, что
При х=2, получим 3 2 =10-log22?
2. log5x =
y= , D(y):x
0.
Ответ: 5 Проверкой убеждаемся, что х=5 является корнем уравнения.
3. log2 ((x-2) 2 +4)=2-sin 2 5x.
Оценим (x-2) 2 +4, т.к. (x-2) 2 0, то (x-2) 2 +4
4, в силу возрастания функции
у= log2 t, имеем log2 ((x-2) 2 +4) 2;
< log2 ((x-2) 2 +4) 2,
2-sin 2 5 x
2;
< log2 ((x-2) 2 +4)=2, (x-2) 2 +4=2; < x=2, Проверка при х=2.
2-sin 2 10=2,
4. Пример (Приложение1.Рис.7). log3x=-|х-1|
y= log3x, D(y)=(0;+ ).
x=1 . Проверкой убеждаемся, что х=1 является корнем уравнения.
2x-1>0, 2x>1, x>.
Функция y= log0.2 (2x-1) – убывает на (;+
). Рис.7
Функция y=2x 2 -x-16 – возрастает на (;+
).
Т.к. x0= – вершина параболы и
2 -3-16, log0.25=-1, -1=-1.
6. log5((4x-5) 2 +25)=2-sin 2 8x.
Оценим левую часть уравнения. (4x-5) 2 0, (4x-5) 2 +25
25.
Учитывая, что у=log5t возрастает, имеем log5((4x-5) 2 +25) 2
Оценим правую часть. -1 — sin 2 8
x
0, 1
2- sin 2 8
x
2. Приходим к системе
< log5 ((4x-5) 2 +25) 2,
2-sin 2 8 x
2;
< log5 ((4x-5) 2 +25)=2, 2-sin 2 8 x=2.
Решаем одно из уравнений системы.
log5 ((4x-5) 2 +25)=2, (4x-5) 2 +25=25, 4x-5=0, х=1,25.
При х=1,25 другое уравнение обращается в верное равенство.
Итог.
Мы сегодня разобрали детально 3 разновидности функционально-графического метода. Надеюсь, что тема вам понятна, и вы сможете справиться с заданиями на ЕГЭ.
2008 год по инициативе президента Российской Федерации объявлен годом семьи. Демографическая ситуация в России настораживает политиков, социологов. А обоснованы ли эти опасения, ответят математики.
Предлагаю решить вам следующую задачу.
Задача.Число людей в нашей стране ежегодно уменьшается на часть. Через сколько лет население уменьшится в 10 раз, если демографическая ситуация не изменится?
Пусть через х лет число людей в стране уменьшится. Сейчас в стране n человек. Тогда получим уравнение:
С вычислением десятичного логарифма вы знакомились при изучении параграфа 50, пример №5.Если при решении у вас возникли вопросы, обратитесь к нему дома.
Ответ: примерно 476 лет.
Ребята, а вы знаете, что сейчас в стране ?140 млн. человек, а станет всего 14 млн. человек в России. Это всего лишь население двух таких крупных городов, как Москва.
Статисты утверждают, что для того, чтобы исправить ситуацию каждая семья должна иметь 3-4 ребенка. Проблема есть, но будущее России в ваших руках.
Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги.
Видео:Математика. Методы решения логарифмических уравнений (9-10)Скачать
конспект урока на тему: «Разновидности функционально — графического метода решения логарифмических уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МОУ СОШ № 33 г.Липецка
Алгебра и начала анализа
Аксёнова Нина Ивановна
Тема урока «Разновидности функционально — графического метода решения логарифмических уравнений»
Тип урока :комбинированный.
повторить определение логарифма, свойства логарифмической функции, основные способы решения логарифмических уравнений ( потенцирование, введение новой переменной, функционально-графический способы );
расширить представления учащихся о функционально- графическом методе решения логарифмических уравнений;
акцентировать внимание учащихся на том, в заданиях какого типа рациональнее применять функционально-графический метод;
формировать у учащихся умения сравнивать и анализировать, сопоставлять и делать выводы;
усилить прикладную направленность курса алгебры и начала анализа.
Данная тема является важным этапом в формировании представлений о различных способах функционально-графического метода решения логарифмических уравнений в школьном курсе алгебры и начала анализа в программе «Алгебра и начала анализа 11 » автора А.Г.Мордковича.
Необходимо выделить 4 часа на объяснение и отработку навыка решения логарифмических уравнений.
I. Актуализация знаний учащихся.
На последних уроках вы изучали очень сложную тему «Логарифмы». Что вы уже знаете по этой теме:
5)методы решения логарифмических уравнений.
Найдите блок « Блиц опрос» на рабочих листах.
II. Блок « Блиц опрос».
1) Вычислите значение выражения.
а ) log 5 75 — log 5 3, б ) log 3 6 + log 3 1,5.
2) Выясните при каких значениях x имеет смысл выражение:
а) log 3 (12 – х), б) log 6 (х 2 + 12).
3) Сопоставьте функцию и график.
3. y =log (x-1)
Среди перечисленных функций найдите:
а) ограниченную и снизу, и сверху;
б) монотонно возрастающую.
5) Решите уравнения.
Учитель: «Аристотель говорил, что ум заключается не только в знаниях, но и в умениях применять знания на деле. И действительно, любые знания ценны только тогда, когда они не только достоверны и точны, но и имеют практическую значимость для человечества в целом»
Звучит музыка. III.(Историческая справка)
Вы знаете — открытие логарифма связано с музыкой. Дело в том, что вся пифагорская теория музыки основывалась на законах «Пифагора — Архита». Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла переводить из одной тональности в другую мелодию.
И лишь только в 1700 году немецкий органист Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на 12 равных частей.
В основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем – .
является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.
И этим практическое использование логарифмов не ограничивается. Музыка, астрономия, физика, экономика (что очень близко для вашего класса), архитектура и строительство тоже связаны с понятием логарифма. Давайте в этом убедимся
Найдите на рабочем листе блок «Звукоизоляция».
С помощью этой формулы можно рассчитать коэффициент Звукоизоляции.
D – коэффициент звукоизоляции.
р0 – давление звука до поглощения
р – давление звука, прошедшего через стену
A – константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ
Если коэффициент звукоизоляции D =20дБ, то
т.е. снизилось давление звука в 10 раз. (Такую звукоизоляцию имеет дерево.). Я вам предлагаю дома вычислить во сколько раз снижает давление звука кирпич, если его коэффициент звукоизоляции D =50дБ.
Вначале урока мы с вами вспомнили различные методы решения логарифмических уравнений. И мне хочется рассмотреть с вами более подробно функционально-графический метод. Мы работаем с блоком № III .
Существует несколько разновидностей функционально-графического метода решений логарифмических уравнений.
Готовясь к этому уроку, я проанализировала процент выполнения заданий с логарифмическими уравнениями выпускниками города на ЕГЭ за 3 года. Ребята, обратите внимание на диаграмму. Вы видите, что в 2006 году процент выполнения заданий резко снизился. Это объясняется тем, что именно в этом году в КИМы были включены уравнения, при решении которых надо было воспользоваться функционально-графическим методом. Вот поэтому на сегодняшнем уроке мы будем решать логарифмические уравнения именно этим методом.
IV.Слайд «Функционально-графический метод решения»
1. Использование графических иллюстраций.
Пример. (обратить внимание на несовершенность этого способа). Облость применения графического метода решения уравнений ограничена, поскольку с его помощью можно рассматривать только задания, в которых требуемые для построения графики хорошо ивестны, а искомые точки пересечения не выходят за пределы чертежа, кроме того , на отыскание решений влияют неизбежные погрешности чертежа.
Проверка:
2. Использование свойства монотонности функций.
Если в уравнении f ( x ) = g ( x ) на промежутке Х функция y = f ( x ) возрастает, y = g ( x ) убывает, то уравнение f ( x ) = g ( x ) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти методом подбора.
Функция log 5 (5 x – 4) функция возрастает при x > log 5 4, функция y = 1 – x убывает при любом x .
Если x = 1 , то log 5 (5 – 4) = 1 – 1, 0 = 0, значит, 1 – корень уравнения.
3. Использование ограниченности функций.
Если в уравнении f ( x ) = g ( x ) на промежутке X наибольшее значение одной из функций y = f ( x ) равно А и наименьшее значение другой y = g ( x ) равно А, то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно на промежутке Х системе уравнений
log 3 ((2 x -5) 2 +9)=2- sin 2 6 π x
1) Оценим левую часть уравнения
В силу возрастания функции y = log t имеем log
((2 x -5)²+9)≥2.
Видео:Графический метод решения показательных уравнений и неравенств Алгебра 10 (база)Скачать
2. Функционально-графический метод
Теория:
Точка пересечения единственная, так как y = 2 x — возрастающая функция, а y = 4 − 2 x — убывающая функция. Корнем уравнения 2 x = 4 − 2x является первая координата точки пересечения x = 1 .
Построим в одной системе координат графики функций y = 1 3 x и y = 3 .
Графики функций пересекаются в точке ((-1; 3)). Значит, уравнение 1 3 x = 3 имеет одно решение x = − 1 .
Итак, из уравнения 1 3 x = 1 3 − 1 мы получили x = − 1 .
📸 Видео
84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать
Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать
Методы решения логарифмических уравненийСкачать
Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать
13 Функционально графический способ решенияСкачать
Занятие 2. Функционально графический методСкачать
ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать
11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать
Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать
Решение логарифмических уравнений #shortsСкачать
Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать
11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать
Логарифмическая функция, ее свойства и график. 11 класс.Скачать
Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать
7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Решение логарифмических уравнений ПРИМЕР #37 Метод логарифмированияСкачать
Показательные уравнения. 11 класс.Скачать