Методы решения иррациональных уравнений и систем уравнений

п.1. Решение иррациональных систем уравнений

п.2. Решение иррациональных систем неравенств

Внимание!
В иррациональных неравенствах возводить одновременно в чётную степень обе стороны можно только при условии, что обе стороны неотрицательны .
При выполнении этого условия знак неравенства сохраняется.
Иначе – знак неравенства не сохраняется, и получаем ложное высказывание.

Возводить одновременно в нечётную степень можно в любом случае.

Решение: ( left< begin mathrm<-2leq x lt frac<sqrt-1>> & \ mathrm & endright. ) прямоугольник на координатной плоскости.

Сторона CD в множество решений не входит.

Видео:Как решать иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений. (часть 1).Скачать

Уроки по теме: «Иррациональные уравнения. Системы иррациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Понятие иррационального уравнения.

Решение иррациональных уравнений и систем уравнений.

О.Ю.Серикова, преподаватель математических дисциплин ГБПОУ «Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького»

Основные методы решения иррациональных уравнений: метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, метод введения новых переменных. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений. Решение систем иррациональных уравнений.

Практическое занятие.

Решение иррациональных уравнений и их систем.

Решение иррациональных уравнений.

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Основными методами решения иррациональных уравнений явля ются следующие: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) метод введения новых переменных. В некоторых случаях оказывается целесообразным применение различных искус ственных приездов. Появление посторонних корней может произойти за счет того, что при возведении обеих частей заданного урав нения f ( x ) = g (х) в четную степень мы получаем уравнение, являюще еся следствием не только этого уравнения, но и уравнения f (х) = g ( x ). Действительно, ( g (х)) 2 = ( — g ( x )) 2 .

Если уравнение f (х)= — g (х) имеет корни, то именно они являются посторонними корнями заданного уравнения f ( x ) = g ( x ). Так, если заданным является уравнение х — 1=3, то при возведении обеих частей уравнения х —1=3 в квадрат мы получаем уравнение (х — 1) 2 = 3 2 , т. е. х 2 — 2х — 8 = 0, корнями которого являются и корень заданного уравнения х = 4, и значение х=- 2, являющееся корнем уравнения х — 1 = -3, но не удовлетворяющее заданному уравнению.

Еще пример. Дано уравнение Возведя обе части уравнения в квадрат, мы получаем уравнение 1 — х = х 2+ 2х+1, т. е. х 2 +х = 0. Это уравнение является следствием заданного урав нения. Его корнями будут х ₁ = -3 и х ₂ = 0. Нетрудно убедиться, что х ₁ = -3 является корнем заданного уравнения, а х ₂ = 0 — посто ронний корень (это корень уравнения ). Напомним, что если обе части уравнения f ( x ) = g ( x ) неотрицательны, то уравнения f ( x ) = g ( x ) и ( f ( x ))= ( g (х)) равносильны.

Отметим еще, что уравнения f (х) = g (х)и f ( x ) = — g ( x ) имеют од ну и ту же область определения. Поэтому, решив заданное уравнение методом возведения обеих его частей в четную степень и даже убедившись затем, что найденный корень х = х ₀ принадлежит его области определения, еще нельзя утверждать, что x = х ₀ является корнем за данного уравнения. Однако если x = х ₀ не принадлежит облает определения заданного уравнения, то это точно посторонний корень который получен за счет расширения области определения заданной уравнения в результате использования формулы .

Рассмотрим уравнение Его область к определения является луч [2; ). После возведения обеих частей это го уравнения в квадрат и уединения радикала получим уравнение .

Областью определения этого уравнения является множество .

Корнями уравнения являют ся значения х ₁ = 3 и х ₂ = -2. Первый корень принадлежит области определения заданного уравнения, т. е. может являться его корнем. Второй же корень не принадлежит области определения заданного уравнения, т. е. является посторонним корнем.

Вместе с тем второй корень принадлежит области определения уравнения . Таким образом, посторонний корень появился за счет расширения области определения заданного урав нения.

Причиной появления посторонних корней могут быть также не которые замены, выполняемые в ходе решения иррационального уравнения.

По этим причинам необходимой частью реше ния иррационального уравнения является проверка.

В зависимости от вида корней (простые или громоздкие), от их количества (один, два или бесконечное множество), а иногда и в зависимости от выбранного способа решения эти корки прове ряются либо подстановкой в заданное уравнение, либо путем доказательства равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения, либо каким-то другим путем (с использованием области определения заданного уравнения, с обращением к промежуточных уравнениям и т. д.).

1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Пример 1. Решим уравнение (1)

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: и далее

После возведения в квадрат последнего уравнения получим:

8х 2 +16х-24=9х 2 -186х+961,

и далее х 2 — 202х + 985 = 0, откуда находим х ₁ = 5, х ₂ == 197.

Проверка. Найденные корни несложно проверить непосред ственно подстановкой в уравнение (1).

1)

Таким образом, х ₁ = 5, является корнем заданного уравнения.

2) , т. е. х ₂ = 197 — посторонний корень. Таким образом, только х = 5 является корнем за данного уравнения.

Замечание. Это уравнение допускает следующее изящное решение. Имеем . Несложно подбором найти корень уравнения х = 5. Так как далее функция возрастает, а функция убывает, то других корне уравнение не имеет.

Пример 2. Решим уравнение

(2)

Решение. Возведем обе части уравнения (2) в квадрат и уеди ним затем полученный радикал:

(3)

После возведения в квадрат обеих частей уравнения (3) и после дующего приведения подобных членов получим квадратное уравнение

которого являются значения и

Проверка. Проверять найденные корни подстановкой в урав нение (2) явно нецелесообразно. Поступим следующим образом. Найдем область определения уравнения (2). Из системы неравенство

находим, что этой областью является луч [2; ). Выясним, принад лежат ли найденные корни этому лучу. Имеем:

Таким образом, х ₁ > 2 принадлежит лучу [2; ), и, значит, х ₁ может являться корнем уравнения (2). Далее,

Таким образом, х ₂ х ₂ не принадлежит [2; ), и, значит х ₂ не является корнем уравнения (2).

Вернемся теперь к х ₁ . Выясним знак разности, находящейся правой части уравнения (3). Имеем:

Пример 3. Решим уравнение (4)

Решение. Преобразуем уравнение (4) к виду и возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

х 2 + х – 5 = 25 – 10

Уединим корень и приведем подобные члены: (5)

Возведем обе части уравнения (5) в квадрат: 100(х 2 + 8х – 4) = (7х +26) 2 , или

51 х 2 + 436х – 1076 = 0

Из последнего уравнения находим х ₁ 1=2, х ₂ =

Проверка. Первый из найденных корней нетрудно проверить подстановкой в исходное уравнение. Такая проверка показывает, что х=2 — корень уравнения (4). Попытка проверить таким же спосо бом второй корень приводит к громоздким вычислениям. Можно, однако, поступить по-другому. Выясним, является ли х ₂ = не является корнем уравнения (5). Но уравнение (5) –следствие уравнения (4). Итак, корнем уравнения (4) является х = 2.

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Уединив , получим

После приведения подобных членов и уединения корня получим уравнение откуда (х + 13) 2 (х +1) = 64 (х = 1) 2 , и далее (х + 1) ((х + 13) 2 – 64 (х + 1) = 0.

Таким образом, задача сводится к решению совокупности:

Проверка. Подстановкой найденных значений х в заданное уравнение убеждаемся, что все они являются его корнями.

Пример 5 . Решим уравнение (6)

Решение. Возведем обе части уравнения (6) в куб. Получим:

Восполь зовавшись уравнением (6), заменим выражение

выражением

(7)

Сократим на 3 и возведем обе части последнего уравнения в куб: (2х+10(6х+1)(2х-1)= — (2х+1) 3 , и далее (2х + 10 ((6х + 1) (2х – 1) + (2х + 1) 2 )=0, откуда находим х ₁ = — 0, 5,х ₂ = 0.

Проверка. Подстановкой найденных значений х в заданное уравнение (6) убеждаемся, что его корнем является х = -0, 5.

2. Метод введения новых переменных

Пример 6. Решим уравнение

(8)

Решение. Уединение корня и возведение обеих частей уравне ния (8) в квадрат привели бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение (8) легко сводится к квадратному. Действительно, умножив обе его части на 2, получим: , и далее

Положив получим у 2 — 2у —8 = 0, откуда у, =4, у ₂ = —2. Значит, уравнение (8) равносильно следующей сово купности уравнений: .

Из первого уравнения это совокупности находим х ₁ =, х ₂ = -2.

Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна уравнению (8), причем второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение . Эта подстановка показывает, что оба найденных значения х являются корнями этого уравнения, а значит, и заданного уравнения (8).

Пример 7. Решим уравнение (9)

Решение. Областью определения уравнения (9) является луч [5; ). В этой области выражение можно представить сле дующим образом:

Так как 2х = х + х, то уравнение (9) далее можно переписать так:

Положив , получим квадратное уравнение у 2 +2у — 48 = 0, из которого находим у ₁ =6, у ₂ = — 8. Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:

Из первого уравнения совокупности находим x = , второе уравнение совокупности решений не имеет.

Проверка. Легко показать, что х = является корнем уравнения . Но это уравнение равносильно уравнению (9), значит, х = является корнем и уравнения (9).

Пример 8. Решим уравнение (10)

Решение. Положим

Тогда уравнение (10) примет вид u +- v = 2. Но для нахождения зна чений новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы, полу чим: u 4 = 1- x , v = 15 + x .

Сложим уравнения последней системы: и + v =16.

Таким образом, для нахождения v , и мы имеем следующую сим метрическую систему уравнений:

Решив ее, находим:

Таким образом, решение уравнения (10) свелось к решению следую щей совокупности систем уравнений:

Решив эту совокупность, находим x ₁ = 1, х ₂ = —15.

Проверка. Проще всего проверить найденные корни подста новкой их непосредственно в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба найденных значения х являются корнями задан ного уравнения.

3. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений

Пример 9 . Решим уравнение (11)

Решение. Умножив обе части заданного уравнения на сопряженное выражение

, то уравнение примет вид

Как легко видеть, x ₁ = 0 является корнем этого уравнения. Остает ся решить уравнение

Сложив данное и полученное уравнения, придем к уравнению

.

Решая уравнение методом возведения в квадрат, получим:

8х 2 +12х + 20 =-9х 2 + 12х + 4,

х 2 ==16, х = 4, х = -4.

Проверка. Поочередно подставляя найденные значения х =4. Таким образом, х = 4 – единственный корень уравнения.

Квадрат, получим: 8х+12х+20=9х+12х+4

х=16, х = 4, х = -4

Проверка. Поочередно подставляя найденные значения в данное уравнение убеждаемся, что ему удовлетворяет только значение х=4. Таким образом, х=4 –единственный корень уравнения.

4. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 10. Решим уравнение

Решение.Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 11. Решим уравнение

Решение. Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения.

5. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение

Теорема. Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример 12. Решим уравнение

Решение. При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 13 . Решим уравнение

Решение.Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т.е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

6. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула

Пример 14. Решим уравнение

Решение.Преобразуем уравнение следующим образом :

Обозначим и решим полученное уравнение

Разбирая отдельно случаи , находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 15. Решим уравнение

Решение.Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 16. Решим уравнение.

Решение.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

8. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1. Решим уравнение

Решение.Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если то

В последнем равенстве заменяют на и получают

Далее легко избавиться от кубической иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2 . Решим уравнение

Решение. Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что студент решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на одно и тот же уравнение посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение уравнений разными способами.

Пример 3. Решим уравнение

(1)

Решение. Способ 1.

Возведем обе части уравнения в куб:

Используя равенство (1) имеем:

корни которого

Ответ:

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4. Решим уравнение

Решение.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения ( в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5. Решим уравнение

Решение.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

1.Найдите сумму корней уравнения (

Ответ: 0,25

2.Решите уравнение

3. Решите уравнение

4.Найдите сумму корней уравнения 9 (отв.5)

5.Решите уравнение

6.Решите уравнение 40-14х+х 2 =2(х-4)

7. Решите уравнение

Задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом С ₁ и С ₂

1.Решите уравнение

Так как х.Поэтому

2. Решите уравнение

3. Решите уравнение 40-14х+х 2 =2(х-4)

(х-10)(х-4)=2(х-4) , (х-4)(х-10-2)=0

Последний корень не удовлетворяет условию t 0.

Ответ: 4;12+2

Системы иррациональных уравнений.

Пример 1 . Решим систему уравнений

(11)

Решение. Положим . Тогда первое уравнение системы (110 примет вид u +=2, откуда находим u = 1. Таким образом решение системы сводится к решению следующей системы: (12)

Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы и освободившись от знаменателя приходим к системе . Из которой находим:

.

Проверка. При условии, что и , системы (11), (12) равносильны, значит решением системы являются пары (2;1), (1, ).

Пример 2 . Решим систему уравнений

(14)

Решение. Так как а и , то система (14) примет вид: .

Эта система равносильна следующей совокупности систем:

(15)

Полагая , получим совокупность систем .

Решение первой системы совокупности не вызывает затруднений. При решении второй системы этой совокупности следует учесть, что х – у v

Таким образом, из совокупности находим: .

Проверка. Первые два решения легко проверить непосредственной подстановкой в систему (14). Однако проверить таким же способом третье решение непросто системе (14), а система (14) равносильна заданной системе (15). Поэтому решения совокупности (15) являются решениями и системы (14).

Вычислите: а) 2 б) в) г)

Решите уравнение: а) б)

Постройте график функции

Решите уравнение

Решить уравнение

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение имеет один корень.

1. Вычислите: а) 2 б) в) г)

Решите уравнение: а) б)

Постройте график функции

Решите уравнение

Решить уравнение

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение имеет один корень.

Амелькин В. В. Рабчевич В. Л. Задачи с параметрами: справочное пособие по математике. – второе издание – Мн.:ООО «Асар», 2002.

Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике., М.: Просвещение, 2002.

Литвиненко В. Н. и др. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ. мат. спец. пед. инс-ов.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Просвещение, 1991.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Алгебра

План урока:

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. 11 класс.Скачать

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Видео:Иррациональные уравнения. Метод равносильных преобразований.Скачать

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Видео:Система иррациональных уравнений #1Скачать

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. Практическая часть. 1ч. 11 класс.Скачать

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Видео:8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Видео:Иррациональные уравнения и их системы. Практическая часть. 2ч. 11 класс.Скачать

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

🎬 Видео

Нестандартные методы решения иррациональных уравненийСкачать

Как решать иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений. (часть 2)Скачать

Решение иррациональных уравнений: метод заменыСкачать

9 класс, 13 урок, Иррациональные системы. Системы с модулямиСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Более сложные иррациональные уравнения. Иррациональные уравнения Часть 2 из 2Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№20 - Иррациональные уравнения и неравенства.)Скачать

Система иррациональных уравнений #3Скачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать