Методы решения функциональных уравнений для олимпиадников (3 видео)

Содержание

Функциональные уравнения. Методы их решения
Функциональные уравнения.
Просмотр содержимого документа «Функциональные уравнения.»
Исследовательская работа «Функциональные уравнения»
Скачать:
Предварительный просмотр:
📸 Видео

Видео:🚀Часть 1. Функциональные уравнения: Погружаемся глубже в математику🔮Скачать

Функциональные уравнения. Методы их решения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

БОУ ДПО (ПК) С «Чувашский республиканский институт образования»

Кафедра математики и информационных технологий

Курсовая работа на тему:

« Функциональные уравнения. Методы их решения»

Выполнил (а): учитель математики МБОУ «СОШ № 60»

Глава 1. Понятие функционального уравнения ………………………………. 5

Глава 2. Практическая часть. Методы решения функционального уравнения.9

Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся школы, — умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, в уравнении могут участвовать целые, рациональные и другие числа, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение, решать, которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.

Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование. функциональный уравнение коши

Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе. Так как эта тема в школьном курсе не изучается в виду её сложности, при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в части С ЕГЭ такие задачи встречаются.

В настоящее время практически нет никаких пособий, обучающих решению функциональных уравнений.

Поэтому ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать читателю со скромной математической подготовкой весь арсенал современных методов решения функциональных уравнений.

Цель работы — выяснить, что является функциональным уравнением их системами, найти способы решения и составить сборник задач для использования математическими классами.

1. изучение и анализ литературы;

2. поиск способов решения функциональных уравнений и их систем;

3. решение функциональных уравнений

4. составление сборника

Объект исследования: функциональные уравнения

Предмет исследования: изучение свойств и способов решения функциональных уравнений.

Структура: введение, понятие функционального уравнения, сборник задач, заключение.

Глава 1. Понятие функционального уравнения

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Часто встречаются на различных математических соревнованиях.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это

которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

, (2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х) ; (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

, , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение — значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax . Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) — непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить — то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) — класс функций, симметричных относительно прямой x = 1 , и т. д.

Видео:Старт Интенсива по функциональным уравнениям | Функциональные уравнения-1. Основные приёмыСкачать

Функциональные уравнения.

знакомство с нестандартными приёмами решения уравнений, которые базируются на различных свойствах функций: чётности или нечётности, монотонности, периодичности и т.п.

Просмотр содержимого документа
«Функциональные уравнения.»

МАОУ «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

Учебное пособие для дополнительных занятий в математических кружках

ученик 10 К класса МАОУ «Лицея №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина»

Козадаев В.С., кандидат педагогических наук, учитель математики

Книга адресована для школьников, руководителей математических кружков и всех любителей математики.

Пособие состоит из трёх частей:

Функциональные уравнения: классификация и методы решения;

Применение функциональных уравнений в решении задач;

Дополнение (Историческая справка+задачник).

В последнее время ключевую роль при успешном поступлении в ведущие вузы страны играет хорошее выступление на различных олимпиадах школьников (Всероссийская олимпиада школьников; олимпиады, проводимые вузами: «Физтех», «Росатом», «Ломоносов», «Покори Воробьёвы горы» и многие другие), а также сдача вступительных экзаменов в эти вузы (в основном, такие испытания проводит МГУ). Одна из тем, которая встречается в предлагаемых задачах, — функциональные уравнения. Таким образом, это пособие поможет абитуриентам при подготовке к поступлению в технические вузы. (Так, например, в 2016 году функциональные уравнения встречались в заочных турах олимпиад САММАТ и университета ИТМО по математике)

Также функциональные уравнения находят свое применение и в решении задач, напрямую с ними не связанными, причем не только в математике, но и других образовательных областях, например, в физике.

Глава I. Функциональные уравнения: классификация и методы решения. §1. Основные понятия и классификация функциональных уравнений

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – значит найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.

Примеры функциональных уравнений:

Наиболее важны и известны уравнения Коши:

В современной математике изучаются, в основном, дифференциальные уравнения, т.к. они имеют большое прикладное применение в физике и технике. Однако они практически не встречаются в олимпиадных задачах, потому что их решение зачастую требует специфических знаний из высшей математики, поэтому в нашем пособии мы их рассматривать не будем.

Несмотря на то, что каждая олимпиадная задача с функциональными уравнениями имеет своеобразный подход к решению, всё же можно выделить некоторые группы уравнений, объединенных общей идеей решения, основанной на каком-то математическом методе (метод подстановок) или анализе свойств функции (чётность/нечётность, монотонность, непрерывность и др.).

Итак, выделим следующие группы функциональных уравнений по методу их решения:

Метод подстановок (метод сведения к системе уравнений).

Использование функциональных уравнений с известными решениями.

В таких вузовских олимпиадах, как САММАТ, ИТМО встречались уравнения на 1-3 методы. Они проще и требуют скорее объёмных преобразований, чем специальных знаний и творческого подхода, в то время как 4 метод этом смысле сильно разнится с ними (задачи на него были на Всеросе, ММО, Турнире городов).

§2. Перебор переменных

Метод перебора переменных – самый простой среди выделенных мною.

Суть метода: подставить несколько каких-то «краеугольных» значений (0, 1, 2, -1 и т.д.) вместо переменных в данное функциональное уравнение, получив таким образом систему уравнений, и решить её.

1)Найти все такие функции, которые удовлетворяют системе неравенств

Возьмем . Тогда:

⇒

Ответ: .

2) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Ответ: .

§3. Метод подстановок

Метод подстановок довольно схож с методом перебора переменных.

Суть метода: подставить вместо переменных какие-то выражения вида g(x) так, чтобы получить решаемую систему уравнений.

Не всегда очевидно, какое именно выражение g(x) нужно подставить вместо x в аргументах функции вида (в первом примере , во втором , ). В таких случаях имеет смысл решить уравнение h(g(x))=x (или какому-то другому , все зависит от конкретного примера). В результате получаем решаемую систему уравнений.

1) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Подставляем в уравнение вместо x найденную g(x):

2) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Если действовать точно так же, как и в первом примере, быстро и красиво не получится. Но тем не менее, если вместо подставить , а уже потом применять метод подстановок, то получим систему уравнений:

Несмотря на внешнюю сложность, по сути система эквивалентна:

, откуда легко находим , т.е.

Метод подстановок бывает довольно громоздким и сложным в вычислениях и преобразованиях, но применяется часто.

§4. Использование функциональных уравнений с известными решениями

Суть метода: применить при решении функциональные уравнения, для которых уже известны описываемые решения.

1) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Возьмем вспомогательную функцию

Подставим в исходное уравнение

Т.е. функция g(x) удовлетворяет уравнению Коши, откуда

2) Найти все такие функции, которые удовлетворяют равенству

Поделим исходное уравнение на .

Введем дополнительную функцию

Т.е. функция удовлетворяет третьему уравнению Коши, откуда

Важно заметить, что метод Коши применяется для непрерывных функций.

Суть метода: постепенное отыскание решения функционального уравнения (вначале на множестве натуральных чисел, затем, с помощью математической индукции, на множестве целых, рациональных и, в заключение, действительных чисел).

Аддитивное уравнение Коши:

Решение (в непрерывных функциях).

Функция , где – решение этого уравнения, однако просто «заметить» недостаточно, необходимо строгое доказательство.

Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа, т.е.

Воспользуемся индукцией. Для натуральных чисел имеем: . База очевидна. Докажем переход от к . . . Теперь докажем . . Последние два равенства и означают . Тогда имеем:

. Теперь воспользуемся леммой*: если функции совпадают во всех рациональных точках, то они равны. Тогда имеем:

Лемма. Если значения двух непрерывных функций совпадают во всех рациональных точках, тогда во всех действительных точках.

Пусть – иррациональная точка. Выберем последовательность рациональных точек , сходящуюся к (например, последовательность десятичных приближений по недостатку).

Тогда в силу непрерывности функции последовательность будет сходиться к .

Аналогично, последовательность будет сходиться к .

По условию Переходя в этом равенстве к пределу при , получим .

Поскольку выбиралась произвольно, лемма доказана.

Самому решить это уравнение довольно сложно, если не невозможно, так что такой метод нужно просто запомнить.

Глава II.Применение функциональных уравнений в решении задач.

В пособии применение функциональных уравнений в решении задач будет рассмотрено, в первую очередь, с точки зрения идеи создания выделенной в классификации. Иными словами, методы решения таких задач основаны на свойствах функций, а не на методах решения функциональных уравнений (однако, если задача по сути представляет собой функциональное уравнение, конечно, применять метод подстановок и т.п. можно и нужно).

Конечно, легко решить это уравнение с помощью равносильного перехода или замены переменной. Однако есть и другой, не менее простой, метод решения.

Рассмотрим функцию с областью определения . , значит 0 – корень уравнения. – сумма двух непрерывных возрастающих функций и , следовательно, найденный корень – единственный.

(МГУ, БиоФак, 2005)

Запишем неравенство в виде , где . Область определения функции . – сумма двух непрерывных монотонно убывающих функций , т.е. убывающая.

Заметим, что , тогда неравенство равносильно системе:

(МГУ, ХимФак, 1989)

Данное уравнение имеет вид:

Функция определена на всей числовой прямой и является нечетной. При функция монотонно возрастает, будучи произведением двух монотонно возрастающих функций, принимающих только положительные значения( и ). Ввиду своей нечетности функция возрастает и при .

Пусть для двух чисел и выполняется равенство , т.е. . Поскольку , , что ввиду монотонности функции равносильно или . Таким образом, задача равносильна уравнению , т.е. .

Парабола симметрична относительно прямой , поэтому значения этой функции в точках и могут совпадать в двух случаях: точки и совпадают или они симметричны относительно .

Таким образом, имеем 2 случая:

Откуда легко находим (см. задачу 1) корни.

Глава III. Дополнение Историческая справка

Краткая история развития теории функциональных уравнений.

Проблема решения функциональных уравнений появилась одновременно с зарождением теории функций. В 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения. Н. И. Лобачевский получил формулу угла параллельности из функционального уравнения. Также английский математик Ч. Бэббидж рассматривал некоторые геометрические задачи с точки зрения функциональных уравнений. Г. Дарбу применял их к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии.

В современной математике рассматриваются, в основном, дифференциальные уравнения, которые находят широкое применение в физике и технике.

Краткая биография Коши.

Огюсте́н Луи́ Коши́ (21 августа 1789— 23 мая 1857) — блестящий французский математик и механик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.

Основные направления научной деятельности:

Математический анализ. О. Л. Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда и т. д. Курсы анализа Коши, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени..

Алгебра (доказал основную теорему теории симметрических многочленов, развил теорию определителей, найдя все главные их свойства, в частности теорему умножения (причем Коши исходил из понятия знакопеременной функции)).

Физика и механика. Внёс значительный вклад в формирование математического аппарата механики сплошных сред. Он первым стал рассматривать условия равновесия и движения выделенного объёма сплошной среды, на который действуют объёмные и поверхностные силы. В 1827 г. Коши установил свойство взаимности напряжений: давления на двух пересекающихся площадках с общим центром и одинаковой площадью обладают тем свойством, что проекция одного из них на нормаль ко второй площадке равна проекции второго давления на нормаль к первой площадке.

О. Л. Коши внес огромный вклад в развитие теории функциональных уравнений. Так, например, широко распространены уравнения Коши:

В области теории дифференциальных уравнений Коши принадлежат: постановка одной из важнейших общих задач теории дифференциальных уравнений (задача Коши), основные теоремы существования решений для случая действительных и комплексных переменных (для последних он развил метод мажорант) и метод интегрирования уравнений с частными производными 1-го порядка (метод Коши — метод характеристических полос).

Применение функциональных уравнений в физике.

Многочисленные задачи, связанные с описанием физических явлений и процессов, приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных. Среди таких уравнений наиболее простыми и в то же время наиболее важными являются так называемые линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядков в частных производных.

Рассмотрим уравнение , где – неизвестная функция двух переменных и ; и – заданные гладкие функции от , . Оно допускает следующее геометрическое толкование. Пусть в каждой точке области на плоскости задан вектор с координатами , . Тогда производная искомой функции в направлении векторного поля равна нулю. В частности, линии уровня функции в каждой точке касаются векторов . Таким образом, геометрически уравнение задает векторное поле, векторы которого касаются линий уровня искомой функции .

Решение уравнения сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Такой вид имеет, например, уравнений колебаний струны: , где – функция, описывающая колебания струны.

Также функциональными в физике являются уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа и другие. Однако решение этих уравнений уходит в область математического анализа, и описанные в пособии методы там никак не применимы.

Видео:Видеоквант: Функциональные уравненияСкачать

Исследовательская работа «Функциональные уравнения»

В работе рассматриваются понятие функционального уравнения, история их изучения, способы решения и практическое применение. Актуальность работы заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а при поступлении в престижные ВУЗы, на предметных олимпиадах такие задачи встречаются.

Видео:Функциональные уравнения (теория и примеры для ДВИ)Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
funktsionalnye_uravneniya.zip	2.42 МБ

Видео:Функциональное уравнение с американской олимпиадыСкачать

Предварительный просмотр:

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 11 с углубленным изучением отдельных предметов ЗМР РТ»

Автор работы: Багаутдинова Альбина,

ученица 11 «А» класса СОШ № 11

Научный руководитель: Петрова Ирина Владимировна,

I. Понятие функционального уравнения. 4

II. Способы решения функциональных уравнений. 6

Простейшие функциональные уравнения. 6
Решение функциональных уравнений методом подстановки. 7
Решение функциональных уравнений методом Коши. 16
Использование значений функции в некоторых точках. 18
Уравнение относительно f(x). 19
Графическое решение функциональных уравнений. 19

Список использованной литературы………………………………. ….. 22

Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся средней школы, − умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение решать которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.

Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование.

Актуальность работы заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в заданиях части С ЕГЭ такие задачи встречаются.

Цель работы — выяснить, что является функциональным уравнением, найти способы решения и научиться применять их на практике.

1. Изучение и анализ литературы;

2. Поиск способов решения функциональных уравнений;

3.Применение полученных знаний при решении функциональных уравнений.

Структура работы: введение, понятие функционального уравнения, способы решения функциональных уравнений, примеры решения функциональных уравнений, заключение.

Понятие функционального уравнения

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений).

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения.

Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.

Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса. Это уравнения f(x) = f(-x), f(-x) = — f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность. Простым видом функциональных уравнений является реккурентное соотношение , знакомое нам по теме Последовательности, которое , говоря формально, содержит неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига . ( пример реккурентного соотношения: ).

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x):

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х) ; (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение − значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax . Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) — непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить — то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) — класс функций, симметричных относительно прямой x = 1 , и т. д.

Способы решения функциональных уравнений

2.1 Простейшие функциональные уравнения

Решение простейших функциональных уравнений основано на применении простейших свойств различных функций.

Рассмотрим примеры решения простейших функциональных уравнений и неравенств.

1. Пусть функция у =f(х) возрастает на R. Решите:

а) уравнение f(3х + 2) = f(4х 2 + х);

б) неравенство f(3х – 48) ≤ f(-х 2 + х).

а) f(3х + 2) = f(4х 2 + х)

Есть такая теорема: если функция возрастает (убывает) на промежутке Х, то каждое своё значение она принимает в единственной точке. Поэтому,

х 1 =1 и х 2 = -0,5

Ответ: х 1 =1 и х 2 = -0,5.

б) f(3х – 48) ≤ f(-х 2 + х);

2. Пусть функция у =f(х) убывает на R. Решите неравенство

Решаем также как и в предыдущем задании, только меняем знак у неравенства, так как функция убывает на R.

3. Решить для всех где f принимает вещественные значения .

Положим : . Тогда и .

Теперь, положим :

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит для всех x и является единственным решением этого уравнения.

Ответ: х = 0, у = 0.

Решение функциональных уравнений методом подстановки

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций.

1. Найдите все функции, определённые на множестве , удовлетворяющие соотношению .

Придадим x значение . Получим

Из уравнения (1) выразим и подставим в уравнение (2).

Проверим, действительно ли функция f(x) удовлетворяет уравнению .

2. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению

2) Подставим в исходное уравнение, получим

3)Заменим z на получим

или после преобразований в правой части уравнения:

4)Итак, получили два уравнения:

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

3. Пусть — некоторое действительное число. Найти функцию f(x) , определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению

,где g – заданная функция, определённая при x ≠ 1 .

Решение: При замене

решением которой при a 2 ≠ 1 является функция

4. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x) :

В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z .

и первое уравнение принимает вид:

В результате получаем систему уравнений:

решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1 .

Ответ: g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

5. Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-х)у . (1)

Пусть f − функция удовлетворяющая уравнению (1). Поскольку (1) выполняется при всех значениях переменных х и у , то оно будет выполнятся и при конкретных значениях этих переменных. Подставив, например, у = 0 в исходное уравнение, мы получим f(х)=х. Это равенство должно выполнятся при любом действительном х .

Таким образом, (1) => f(х)≡х или, иными словами, никакая функция кроме f(х)≡х не может удовлетворять уравнению (1). Это, тем не менее, не доказывает, что функция f(х)≡х является решением функционального уравнения (1). Непосредственная проверка показывает, что найденная функция действительно удовлетворяет уравнению при всех х,у € R .

6. Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-sin х)у . (2)

Точно также, как и в предыдущей задаче, устанавливаем, что для функции f, которая удовлетворяет (2), должно выполнятся тождество f(х)≡х. Однако, подставив функцию f(х)=х в (2), мы тождества не получим. Поскольку никакие другие функции также не могут быть решениями (2), то данное уравнение решений не имеет.

Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f(х+у 2 +2у+1) = у 4 +4у 3 +2ху 2 +5у 2 +4ху+2у+х 2 +х+1. (3)

Поскольку мы хотим получить значение f(х) , попробуем избавится от слагаемого у 2 +2у+1 под знаком функции. Уравнение у 2 +2у+1=0 имеет одно решение у=-1 . Подставляя у= -1 в (3) получаем f(х)= х 2 -х+1 .

Ответ: f(х)= х 2 -х+1.

Найдите все функции f: R  R , которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f((х 2 +6х+6)у)=у 2 х 4 +12у 2 х 3 +48у 2 х 2 -4ух 2 +72у 2 х-24ух+36у 2 -24 (4)

Как и в прошлой задаче, мы хотим получить под знаком функции свободную переменную ( х или у ). В данном случае, очевидно, проще получить у . Решив уравнение х 2 +6х+6)у=0 относительно х получаем х 1 = -1, х 2 = -5 . Подстановка любого из этих значений в (4) дает нам f(у)=у 2 -4у .

9. Решите следующие функциональные уравнения.

в) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cos y

а) Положим у=1/x. Тогда f(1/y) + 2f(y) =3/y и f(y)+2f(1/y)=3y. Отсюда f(y)= 2/y – y.

б) Положим y=x-1/x , затем z=y-1/y. Получим систему трёх линейных уравнений относительно f(x), f(y), f(z), з которой находим

в) Положив у=π/2, получаем f(х+π/2) +f(x-π/2)=0 для любого х, откуда f(x+π)= — f(x). Заменив у на у+π/2, получаем

заменив теперь х- π/2 на х, имеем:

и с учетом предыдущего:

Положив х=0, получаем отсюда и из исходного уравнения:

Таким образом, искомая функция должна иметь вид a cos y +b sin y, где a,b – константы.

Решение: 1 ) Заменим на , получим или .

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

Решение: 1)Заменим в уравнении н а , получим 2 .

2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и сложим с уравнением 2 ,

1) Заменим в уравнени е на , .

2)Умножим уравнение н а и вычтем из уравнения , получим —

1)Заменим в уравнении на получим .

2)Выразим из исходного уравнения , получим

3)Подставим в уравнение , получим .

1.Заменим н а , получим

2.Умножим обе части уравнения на и вычтем из уравнения

Решение: 1)Пусть , тогда уравнение принимает вид:

2)Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:

1) Замени м н а , получим или .

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

2.3. Решение функциональных уравнений методом Коши

1. Найдите функцию , определённую на множестве натуральных чисел, удовлетворяющую условию , где d — некоторое действительное число.

Будем решать это уравнение по схеме, которая в математике называется методом Коши.

1. Найдём выражения для Получим , , .

2. Этот “эксперимент” подсказывает, что , где .

3. Проверим, действительно ли выполняется равенство , где . Применим для доказательства метод математической индукции.

1). Проверим, выполняется ли равенство при x=1 : — верно.

2). Предположим, что равенство верно при , где , т.е. — верно.

3). Докажем, что из этого следует равенство для x=n. Т.к. , то при x=n получим или ; . Значит, равенство верно для любого натурального n . Таким образом, решением заданного функционального уравнения будет функция , где f(1)- произвольное число.

2. Уравнение Коши

Найдите все непрерывные функции, удовлетворяющие условию .

Будем находить решение функционального уравнения постепенно, т.е. сначала найдём его решение, если является натуральным числом, затем – целым, потом рациональным и, наконец, — действительным.

1. Пусть y=x. Тогда .

2. При , получим , , …

3. Методом математической индукции доказываем, что при натуральных значениях . (1)

4. При x=1 получим . — постоянное число. Обозначим его через . Значит, для , имеем .

5. Положим в равенстве (1) , где , получим . Отсюда или . Обозначив через , получим . Значит, при положительном и рациональном x мы получим . Предполагая, что функция — непрерывна, получим , при , .

6. Возьмём в равенстве . Получим . Отсюда .

7. Возьмём в этом равенстве . Получим или .

Т.к. , то , т.е. . Итак, для любого действительного решением уравнения будет функция .

3. Найдите непрерывные функции , удовлетворяющие условию . (1)

Попробуем свести это уравнение к функциональному уравнению Коши с непрерывным решением . Пусть у=0 , тогда . Так как — постоянное число, обозначим его через и получим . Придадим теперь х значение . Получим . Из уравнения (1) получим или (2). Решением уравнения (1) является функция . Значит, решением уравнения (2) будет функция .

4. Найдите все непрерывные решения уравнений Коши:

a) f (хy) = f(x) + f(y) (x, y € R );

б) f(x + y) = f(xy) (x, y€ R);

в) f(x + y) = f(x)f(y) (x, y€. R).

a) Пусть вначале x > 0. Положим g(x) = f(e х ). Тогда g(x + y) = f(e х+у ) = f(e х e у ) = f(e х ) + f(e у ) =

=g(x) + g(y), т. е. g(x) удовлетворяет аддитивному уравнению Коши. Так как e х и f(x) непрерывны, то и g(x) непрерывна и имеет вид cx, где c- константа. Тогда f(x) имеет вид c ln x.

В частности, f(1) = 0. Положив x = y = -1, получаем f(1) = 2f(-1), откуда f(-1) = 0. Для произвольного x

б) Положив y = 0, получаем f(x) = f(0), т.е. f(x) ≡ const. Очевидно, что любая

в) Если f(x) = 0 для некоторого x, то f(z) = f(x)f(z-x) = 0 для любого z. В противном случае функция, будучи непрерывной, всюду имеет один и тот же знак. Так как f(2x) = (f(x)) 2 , то этот знак положителен и можно рассмотреть непрерывную

функцию g(x) := lnf(x). Имеем g(x+y) = ln(f(x)f(y)) = ln f(x)+ln f(y) = g(x)+g(y),

т.е. выполнено аддитивное уравнение Коши. Отсюда g(x) = cx для некоторого c, и

f(x) = e сх . Таким образом, либо f(x)≡ 0, либо f(x) ≡е сх .

Использование значений функции в некоторых точках

Иногда бывает невозможно найти подстановку, которая бы значительно упрощала бы вид уравнения. Однако, если зафиксировать одну из свободных переменных, некоторые члены уравнения могут также оказаться фиксированными. Для них можно ввести удобные обозначения и использовать при решении как обычные константы. Если эти константы войдут в ответ, проверка покажет, какие их значения являются допустимыми.

1. Решить уравнение f(x+f(y))=xy.

Подстановка у=0 даёт f(x+f(0))=0 . На первый взгляд пользы мало, так как мы не знаем, чему равно f(0) . Обозначим f(0)=с , тогда получаем f(х+с)= 0. сделав замену переменной t=x+c (подстановка х=t-c ), получаем f(с)=0 , но такая функция, очевидно, не удовлетворяет исходному уравнению, поэтому решений нет.

2. Решить уравнение f(x+f(y))=x+у

Снова сделаем подстановку у=0 и обозначим с=f(0) , получим f(х+с)=х . Замена t=х+с дает f(t)=t-c . Несмотря, на то, что точное значение с нам известно, мы уже знаем, что лишь функция вида f(х)=х-с , где c=const , могут удовлетворять уравнению при всех х,у. чтобы найти с, подставим найденную функцию в исходное уравнение (заодно таким образом сделаем проверку):

Отсюда видим, что равенство f(x+f(y))=x+у для всех х,у при с = 0 и только при нем. Поэтому ответ f(x)=x.

Решить уравнение f( x – f(y)) = x – y.

Решая это уравнение аналогично предыдущему, получим f(x) = x+c.

Если теперь сделать проверку, окажется, что

f(x — f(y)) = f(x — (y + c)) = (x — (y + c)) + c = x – y, для всех x; y; c € R .

Поэтому ответом будет семейство функций f ( x ) = x + c; c € R .

Уравнение относительно f(x)

Найти все f : R  R такие, что (f(x))² = 1

Рассматривая это как уравнение относительно неизвестного f(х) , получаем

Может показаться, что ответом будут две функции, f(х)=1, f(х)=-1 . Однако, это не так. Рассмотрим, например функцию

Несложно видеть, что данная функция удовлетворяет уравнению. Какой же смысл придать совокупности? Поскольку исходное равенство должно выполнятся для всех х € R, то и совокупность также должна выполняться для всех х € R, то есть для каждого х имеет место одно из равенств. Однако, неверным будет предположение, что одно из равенств выполняется сразу для всех х. Как мы увидели на примере, для одних х может выполняться одно из равенств, а для других – другое.

Попробуем охарактеризовать множество функций, задаваемое данным уравнением. Пусть А – множество тех х , для которых выполнено первое равенство. Тогда для всех остальных х должно быть выполнено второе. Мы видим, что множество А однозначно задает функцию f:

Ответ: E(f) = , где Е(f) обозначает множество значений f.

Найти все f: R  R такие, что ( f ( x ) + f ( y ))² = ( x + y ) ² .

Подстановка x = y = 0 дает f(0) = 0.

Подставив теперь у = 0, получим (f(x))² = x² .

Как мы уже знаем, для каждого х € R существуют две возможности:

f(x) = x или f(x) = -x. Однако в этом случае не все функции f с f ( x ) = ± x

будут решениями. Именно докажем, что лишь функции (x) = x и f(x) = -x удовлетворяют данному условию. Если f не совпадает ни с одной из этих функций, то найдутся такие x; y ≠ 0, что f(x) = x, f(y) = -y . Тогда подставив их в исходное уравнение, получим (x-y)² = (x+y)², откуда следует, что xy = 0 . Получили противоречие. Остается проверить, что указанные функции удовлетворяют уравнению при всех х, у € R.

Графическое решение функционального уравнения

При каких а и b для функции f(х)=a|x-b| +3a|x-b | выполнено условие при всех действительных х : f(х)=f(f(х)) ?

При а=0 функция f(х)=0, и уравнение, очевидно, удовлетворяется.
Пусть а>0, тогда при больших х>0 функция f(х)=а(х-b)+3a(x-b )=4ax-a(b+3b )>0

По рис.1 определяем, что возможно только равенство f(х)=х, если значения х достаточно велики и х>0. Конкретно, х>max.

Следовательно, возможные значения для параметров a и b определяются из системы:

которая имеет два решения:

При а=1/4, b=-1/3 получаем функцию

Ее график (рис.2) является графическим решением уравнения f(х)=f(f(х))

Теперь предположим, что а

Следовательно, возможные значения для параметров а и b определяются из системы

которая имеет два решения

Если a=-1/4, b=0, то функция f(х)=-|х| удовлетворяет уравнению f(х)=f(f(х))

Если a=-1/4, b=-1/3, тогда получаем функцию

А вот ее график (рис. 3) не является графическим решением уравнения f(х)=f(f(х)).

Целью данной работы было изучение понятия Функциональные уравнения, поиск способов решения и их практическое применение. В результате проведенных исследований я пришла к выводу, что термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Не зная методов их решения, решить их практически невозможно. Хотя функциональными уравнениями ученые – математики занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в школьных математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе.

Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и несут обучающую функцию, так как при поступлении в престижные Вузы, на олимпиадах, в заданиях части С ЕГЭ такие задачи встречаются, что только подчеркивает значимость выбранной темы.