Методы решение систем логарифмических уравнений

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению (f(x)=g(x)) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида (log_a f(x)=log_a g(x))

Неравенства ( begin f(x)gt 0\ g(x)gt 0 end ) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для (x) в явном виде;
2) решить уравнение (f(x)=g(x));
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения (f(x)) и (g(x)) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение (f(x)=g(x));
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для (f(x)) и (g(x)), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (lg(2x+3)+lg(x+4)=lg(1-2x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin 2x+3gt 0\ x+4gt 0\ 1-2xgt 0 end Rightarrow begin xgt-frac32\ xgt-4\ xltfrac12 end Rightarrow -frac32lt xltfrac12Rightarrow xinleft(-frac32;frac12right) )
Решаем уравнение:
(lgleft((2x+3)(x+4)right)=lg(1-2x))
((2x+3)(x+4)=1-2x)
(2x^2+11x+12-1+2x=0)
(2x^2+13x+11=0)
((2x+11)(x+1)=0)
( left[ begin x_1=-5,5\ x_2=-1 end right. )
Корень (x_1=-5,5notin left(-frac32;frac12right),) т.е. не подходит.
Корень (x_2=-1in left(-frac32;frac12right)) — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида (log_ f(x)=log_ g(x))

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение (log_(x^2-4)=log_(2-x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin x^2-4gt 0\ 2-xgt 0\ x+5gt 0\ x+5ne 1 end Rightarrow begin xlt -2cup xgt 2\ xlt 2\ xgt -5\ xne -4 end Rightarrow begin -5lt xlt -2\ xne -4 end Rightarrow xin (-5;-4)cup(-4;-2) )
Решаем уравнение:
(x^2-4=2-x)
(x^2+x-6=0)
((x+3)(x-2)=0)
( left[ begin x_1=-3\ x_2=2 — text end right. )
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение (log_(x+1)=log_(x+3))
Основания (2ne 4), и нельзя сразу написать (x+1=x+3).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
(log_2(x+1)=log_(x+1)^2=log_4(x+1)^2)
Тогда исходное уравнение примет вид: (log_4(x+1)^2=log_4(x+3))
И теперь: ((x+1)^2=x+3)
(x^2+x-2=0)
((x+2)(x-1)=0)
( left[ begin x_1=-2\ x_2=1 end right. )
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
( begin x+1gt 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt -3 end Rightarrow xgt -1 )
Корень (x_1=-2lt -1) — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) ( log_2(x+1)-log_2(x-1)=1 )
ОДЗ: ( begin x+1gt 0\ x-1gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1 end Rightarrow xgt 1 )
(log_2left((x+1)(x-1)right)=log_22)
(x^2-1=2Rightarrow x^2 =3)
( left[ begin x_1=-sqrtlt 2 — text\ x_2=sqrt end right. )
Ответ: (sqrt)

б) ( 2log_5(x-1)=log_5(1,5x+1) )
ОДЗ: ( begin x-1gt 0\ 1,5x+1gt 0 end Rightarrow begin xgt 1\ xgt-frac23 end Rightarrow xgt 1 )
Преобразуем: (2log_5(x-1)=log_5(x-1)^2)
Получаем: (log_5(x-1)^2=log_5(1,5x+1))
((x-1)^2=1,5x+1)
(x^2-2x+1-1,5x-1=0Rightarrow x^2-3,5x=0Rightarrow x(x-3,5)=0)
( left[ begin x_1=0lt 1 — text\ x_2=3,5 end right. )
Ответ: 3,5

в) ( log_3(3-x)+log_3(4-x)=1+2log_3 2 )
ОДЗ: ( begin 3-xgt 0\ 4-xgt 0 end Rightarrow begin xlt 3\ xlt 4 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (1+2log_3 2=log_3 3+log_3 2^2=log_3(3cdot 4)=log_3 12)
Получаем: (log_3left((3-x)(4-x)right)=log_3 12)
((3-x)(4-x)=12Rightarrow 12-7x+x^2=12Rightarrow x(x-7)=0)
( left[ begin x_1=0\ x_2=7gt 3 — text end right. )
Ответ: 0

г) ( log_2^2x+log_2 x^2+1=0 )
ОДЗ: (xgt 0)
(log_2x^2=2log_2x)
Получаем: (log_2^2x+2log_2x+1=0)
Замена: (t=log_2 x)
(t^2+2t+1=0Rightarrow(t+1)^2=0Rightarrow t=-1)
Возвращаемся к исходной переменной: (log_2x=-1)
(x=2^=frac12)
Ответ: (frac12)

д) ( x^=10 )
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg ⁡x). Тогда (x=10^t)
Подставляем:
((10^t)^t=10Rightarrow 10^=10^1Rightarrow t^2=1Rightarrow t=pm 1)
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin lg x=-1\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,1\ x_2=10 end right. )
Оба корня подходят.
Ответ:

e) ( sqrtcdot log_5(x+3)=0 )
ОДЗ: ( begin xgeq 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgeq 0\ xgt -3 end Rightarrow xgeq 0 )
( left[ begin sqrt=0\ log_5(x+3)=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x+3=5^0=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=-2lt 0 — text end right. )
Ответ: 0

ж) ( log_2+2log_x=log_(x+1) )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ x+1gt 0\ 5x-2gt 0\ 5x-2ne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xgt -1\ xgtfrac25\ xnefrac35 end Rightarrow begin xgtfrac25\ xnefrac35 end )
Преобразуем: (log_2+2log_x=log_(2x^2))
Подставляем: (log_(2x^2)=log_(x+1))
( 2x^2=x+1Rightarrow 2x^2-x-1=0Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 Rightarrow left[ begin x_1=-frac12 — text\ x_2=1 end right. )
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) ( log_4log_2log_3(2x-1)=frac12 )
ОДЗ: ( begin 2x-1gt 0\ log_3(2x-1)gt 0\ log_2log_3(2x-1)gt 0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ 2x-1gt 3^0\ log_3(2x-1)gt 2^0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ 2x-1gt 3^1 end Rightarrow )
( Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ xgt 2 end Rightarrow xgt 2 )
Решаем:
(log_2log_3(2x-1)=4^=2)
(log_3(2x-1)=2^2=4)
(2x-1=3^4=81)
(2x=82)
(x=41)
Ответ: 41

б) ( log_2(9-2^x)=25^<log_5sqrt> )
ОДЗ: ( begin 9-2xgt 0\ 3-xgt 0 end Rightarrow begin 2^xlt 9\ xlt 3 end Rightarrow begin xltlog_2 9\ xlt 3 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (25^<log_5sqrt>=25^<log_(sqrt)^2>=25^<log_(3-x)>=3-x)
Подставляем: (log_2(9-2^x)=3-x)
(9-2^x=2^)
(9-2^x-frac=0)
Замена: (t=2^xgt 0)
( 9-t-frac8t=0Rightarrow frac=0Rightarrow begin t^2-9t+8gt 0\ tne 0 end Rightarrow begin (t-1)(t-8)=0\ tne 0 end Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=8 end right. )
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin 2^x=1\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin 2^x=2^0\ 2^x=2^3 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=3 end right. )
По ОДЗ (xlt 3), второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) ( lgsqrt+lgsqrt+1=lg 30 )
ОДЗ: ( begin x-5gt 0\ 2x-3gt 0 end Rightarrow begin xgt 5\ xgtfrac32 end Rightarrow xgt 5 )
Преобразуем: (lg 30-1=lg 30-lg 10=lgfrac=lg 3)
Подставляем: (lgsqrt+lgsqrt=lg 3)
(frac12lg(x-5)+frac12lg(2x-3)=lg 3 |cdot 2)
(lg(x-4)+lg(2x-3)=2lg 3)
(lgleft((x-5)(2x-3)right)=lg 3^2)
((x-5)(2x-3)=9Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 Rightarrow 2x^2-13x+6=0)
( (2x-1)(x-6)=0Rightarrow left[ begin x_1=frac12lt 5 — text\ x_2=6 end right. )
Ответ: 6

г) ( frac+frac+frac=0 )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ lg xne 0\ lg 10xne 0\ lg 100xne 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xne 1\ 10xne 1\ 100xne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xneleft<frac;frac;1right> end )
Преобразуем: (lg 10x=lg 10+lg x=1+lg 10)
(lg 100x=lg 100+lg x=2+lg x)
Подставляем: (frac+frac+frac=0)
Замена: (t=lg x)
begin frac1t+frac+frac=0Rightarrow frac1t+frac=-fracRightarrow frac=-fracRightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2Rightarrow 5t^2+8t+2=0\ D=8^2-4cdot 5cdot 2=24, t=frac<-8pm 2sqrt>=frac<-4pm sqrt> end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=frac<-4- sqrt>\ lg x=frac<-4+ sqrt> end right. Rightarrow left[ begin x=10frac<-4- sqrt>\ x=10frac<-4+ sqrt> end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left<10frac<-4pmsqrt>right>)

e) ( x^<frac>=10^ )
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg x.) Тогда (x=10^t)
Подставляем: begin (10^t)^<frac>=10^\ frac=t+1Rightarrow t(t+7)=4(t+1)Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\ t^2+3t-4=0Rightarrow (t+4)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-4\ t_2=1 end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=-4\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,0001\ x_2=10 end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left)

ж) ( 4^=(2x^2+2x+5)^ )
ОДЗ: ( begin 1-xgt 0\ 2x^2+2x+5gt 0 end Rightarrow begin xlt 1\ Dlt 0, xinmathbb end Rightarrow xlt 1 )
По условию: begin log_3(1-x)=log_4left((2x^2+2x+5)^right)\ log_3(1-x)=log_32cdotlog_4(2x^2+2x+5) end Перейдем к другому основанию: $$ frac=fraccdotfrac |cdot lg 3 $$ (frac=frac=frac=frac12) begin lg(1-x)=frac12cdotlg(2x^2+2x+5) |cdot 2\ 2lg(1-x)=lg(2x^2+2x+5)\ lg(1-x)^2=lg(2x^2+2x+5)\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\ x^2+4x+4=0\ (x+2)^2=0\ x=-2 end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) ( begin lg x+lg y=lg 2\ x^2+y^2=5 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ ygt 0 end )
Из первого уравнения: (lg(xy)=lg 2Rightarrow xy=2)
Получаем: ( begin xy=2\ x^2+y^2=5 end Rightarrow begin y=frac2x\ x^2+left(frac2xright)^2-5=0 end )
Решаем биквадратное уравнение: begin x^2+frac-5=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin x^4-5x^2+4=0\ xne 0 end \ (x^2-4)(x^2-1)=0Rightarrow left[ begin x^2=4\ x^2=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm 2\ x=pm 1 end right. end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=1\ y=frac2x=2 end \ begin x=2\ y=frac22=1 end end right. )
Ответ: (left)

б) ( begin x^=27\ x^=frac13 end )
ОДЗ: (xgt 0, xne 1)
Логарифмируем: ( begin y+1=log_x27=log_x3^3=3log_x3\ 2y-5=log_xfrac13=log_x3^=-log_x3 end )
Замена: (z=log_x3) begin begin y+1=3z\ 2y-5=-z |cdot 3 end Rightarrow begin y+1=3z\ 6y-15=-3z end Rightarrow begin 7y-14=0\ z=5-2y end Rightarrow begin y=2\ z=1 end end Возвращаемся к исходной переменной: $$ begin y=2\ log_x3=1 end Rightarrow begin x^1=3\ y=2 end Rightarrow begin x=3\ y=2 end $$
Ответ: (3;2)

в*) ( begin 3(log_y x-log_x y)=8\ xy=16 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0, xne 1\ ygt 0, yne 1 end )
Сделаем замену (t=log_x y). Тогда (log_y x=frac=frac1t)
Подставим в первое уравнение и решим его: begin 3left(frac1t-tright)=8Rightarrowfrac=frac83Rightarrow begin 3(1-t^2)=8t\ tne 0 end\ 3t^2+8t-3=0Rightarrow (3t-1)(t+3)=0Rightarrow left[ begin t_1=frac13\ t_2=-3 end right. end Прологарифмируем второе уравнение по (x): $$ log_x(xy)=log_x16Rightarrow 1+log_x y=log_x16Rightarrow 1+t=log_x 16 $$ Получаем: begin left[ begin begin t=frac13\ log_x16=1+t=frac43 end \ begin t=-3\ log_x16=1+t=-2 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x^=16 end \ begin t=-3\ x^=16 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x=(2^4)^=2^3=8 end \ begin t=-3\ x=(16)^=frac14 end end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin begin x=8\ log_x y=frac13 end \ begin x=frac14\ log_x y=-3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=8\ y=8^=2 end \ begin x=frac14\ y=left(frac14right)^=64 end end right. end
Ответ: (left)

г*) ( begin (x+y)cdot 3^=frac\ 3log_5(x+y)=x-y end )
ОДЗ: (x+ygt 0)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: begin log_3left((x+y)cdot 3^right)=log_3frac\ log_3(x+y)+(y-x)=log_3frac\ log_3(x+y)-log_3frac=x-y end Получаем:(x-y=3log_5(x+y)=log_3(x+y)-log_3frac)
Решим последнее уравнение относительно (t=x+y) begin 3log_5 t=log_3 t-log_3frac\ 3cdotfrac-log_3t=-log_3frac\ log_3tcdotleft(frac-1right)=-log_3frac\ log_3t=-frac<log_3frac><frac-1>=-frac=log_35\ t=5 end Тогда: (x-y=3log_5t=3log_55=3)
Получаем систему линейных уравнений: begin begin x+y=5\ x-y=3 end Rightarrow begin 2x=5+3\ 2y=5-3 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end end Требование ОДЗ (x+y=4+1gt 0) выполняется.
Ответ: (4;1)

Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Разделы: Математика

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока: Урок повторного контроля знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

• Образовательная — обобщение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
• Развивающая — развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
• Воспитывающая — воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:

• выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
• осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
• познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

• Методы самообучения
• Приемы устного опроса.
• Приемы письменного контроля.
• Коллективная учебная деятельность.
• Организация работы в группах.
• Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

• компьютер, мультимедийный проектор и экран;
• тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин)
2. Проверка домашнего задания (3 мин)
3. Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
4. Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
5. Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
6. Итоги урока (4 мин)
7. Домашнее задание (2 мин)

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

• По определению логарифма.
• Метод потенцирования.
• Метод введения новой переменной.
• Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
• Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

1. log₂(3 — 6x) = 3
2. lg(х 2 — 2х) = lg (2х + 12)
3. 5 х + 1 — 5 х — 1 = 24
4. х lg х = 10000
5. 3 2х + 5 = 3 х + 2 + 2
6. log₃ 2 x — log₃ x = 3
7. log₂x — log₄x = 3
8. 2 x = x 2 — 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):

• Найти наименьший корень уравнения.
• Найти сумму корней уравнения.
• Найти разность корней уравнения.
• Найти произведение корней уравнения.
• Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения log₆(3x + 88) — log₆ 11 = log₆ x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log₄ (x — 3) + 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения: log₂(2+5)+ log_0,5(-х-0,5) = 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение — log₆ x + 34 = () 2 + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log _a x = b, a > 0, a 1.

log _a f(x) = b, a > 0, a 1.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если log_b a = c, то a = b c .

Решить уравнение log₂ x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 , x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Уравнения вида log_a f(x) = b, a > 0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log₃(5х — 1) = 2.

ОДЗ: 5х — 1 > 0; х > 1/5.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х 2 — 2х — 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х 2 — 2х — 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х 2 — 2х — 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x)) c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Суть метода заключается в переходе от уравнения

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:

х> -1,5+ , х 2 — 3х — 5 = 7 — 2х,

х 2 — х — 12 = 0, откуда х₁ = -3, х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f(x) = log _a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

log_b a + log_b c = log_b (a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

log_b a — log_b c = log_b (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m log_b a = log_b a m , где a > 0; b > 0, b 1; m R.

Пример 1. Решить уравнение log₆ (x — 1) = 2 — log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ ((x — 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х — 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x — 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅ (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.

Пример 3. Решить уравнение log₂ (6 — x) = 2 log₆ x.

Решение. На области определения 0 2 , откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)-1) 2 = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа.

Пусть t = log_a f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x — lg x — 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения — интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t 2 — t — 6 = 0. Его корни t₁ = -2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3 .

Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х 2 — 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log₃ (-x) = 2, отсюда —х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа, A 0, В 0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log_a f(x) 0. Учитывая, что log_a f(x) log_f(x) a=1

(свойство log_b a = 1/ log_a b), получим уравнение

Замена log_a f(x)=t, t R приводит его к квадратному At 2 + Ct + B = 0.

Из уравнений log_a f(x)= t₁, log_b f(x)= t₂ найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) 1.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.

Умножим обе части уравнения на log₅ (x+2) 0, получим

или, заменив log₅ (x+2) = t, придем к квадратному уравнению

Возвращаемся к первоначальной переменной:

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

ОДЗ: x > 0, х 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению log_a f(x) = log_a g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно log_a x.

Пример. Решить уравнение 3 2log 4 x+2 =16x 2 .

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=log_a x , t R. Решив квадратное уравнение At 2 + (B-а)t-log_a C=0, найдем его корни t₁ и t₂. Значение x найдем из уравнений t₁ = log_a x и t₂=log_a x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log₃ t монотонна, то

Введём новую переменную t, где t = log₃ x, t R.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:

Введем новую переменную t=log₂x, получим квадратное уравнение t 2 — 3t + 2 = 0,

1) Найти наибольший корень уравнения: lq(x+6) — 2 = 1 /₂lq(2x -3) — lq25

3) Пусть (х₀;y₀) — решение системы уравнений

4) Пример .Решите систему уравнений

Решение. Решим эту систему методом перехода к новым переменным:

Заметим, что x>0 и у R является областью определения данной системы.

Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 3, получим:

Тогда по обратной теореме Виета переменные и и v являются корнями квадратного уравнения

z 2 -z-12 = 0

Следовательно, решения данной системы найдем как множество решений совокупности двух систем а) и б):

а) б)

Решениями указанных систем являются соответственно пары (27;4), (; -3).

Ответ: (27; 4), (; -3).

5) Пример. Решите систему уравнений

Перейдем к новым переменным:

x = 2 u >0, 1оg₂ у = v, у = 2 v >0.

В новых переменных данная система имеет вид:

Следовательно, и и v являются корнями квадратного уравнения :

z 2 -42 + 3 = 0

Отсюда следует, что достаточно решить систему

Другое решение найдем из-за симметричности х и у, т. е. если (х; y) — решение, то (у; х) также является решением.

5. Самостоятельная работа.

1. Вычислите значение выражения: 11-3log₃

2. Решите уравнения:

3.Решите систему уравнений :

1. Вычислите значение выражения: 13-3log₂

2. Решите уравнения:

6.Подведение итогов урока:

Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Система логарифмических уравнений

Содержание:

Видео:Логарифмические уравнения и их системы. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Система логарифмических уравнений

При решении логарифмических систем также используют способ замены, алгебраического сложения и т.д., а также свойства логарифмических функций. Рассмотрим это на примерах:

Задача пример №169

Решите систему уравнений

Решение:

понятно, что > 0 и > 0.

Из первого уравнения системы получим = 6 — , из второго получим = 3 или = 8.

Таким образом, получаем систему Подставим = 6 — в уравнение = 8 . Тогда получим квадратное уравнение . Его корнями являются числа = 2, = 4. Подставим их в = 6 — , получим = 4, = 2.

Решением данной системы является пара (2; 4) и (4; 2).

Задача пример №170

Решите систему уравнений

Решение:

из первого уравнения системы имеем — = 2. Выполним замену: во второе уравнение = 72 вместо подставим = 2 + . Тогда можно записать = 36. Отсюда и получим, что = 1. Тогда = 3.

Таким образом, решением данной системы является пара (3; 1).

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

💡 Видео

Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Алгебра 11 класс Системы Логарифмических уравненийСкачать

Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Решение систем логарифмических уравнений Урок 4 1Скачать

✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем логарифмических уравнений. Подготовка к ГВЭ11+ЕГЭ 2021 по математике #78Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенстваСкачать