Методы приближенного вычисления корней уравнения

Приближенное вычисление корней в уравнениях

Приближённое решение уравнений :

1.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

1. Способ касательных (или способ Ньютона).
2. Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).

Приближённое решение уравнений.

Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.

В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:

Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений — алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.

На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.

Пусть нужно решить уравнение:

Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)

C осью Ох (рисунок №1)

С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь.

Итак, пусть корень Е уравнения (1) «зажат» между двумя его приближениями а и b по недостатку и по избытку а

Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

Проведём хорду АВ (рисунок№3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.

Уравнение хорды имеет вид:

Поэтому в точке С:

Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке №2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f(х) имеет знак, противоположный знаку f«(х).

Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f«(х)>0 (рисунок №3), — в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого значения корня получаем:

x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)

( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим последовательность а 0

Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):

так как f(1,588)=-0,817 0

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

1.2 Способ касательных (или способ Ньютона).

В том из концов дуги АВ (рисунок №5), в котором знаки f(х) и f«(х) совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох. Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку №2 (f`(x)>0, f«(x)>0), — в остальных случаях рассуждают опять-таки аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:

и поэтому в точке Д:

Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a, x1`] поступаем так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок №5), и в результате для нового приближённого значения корня получим:

х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).

Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем отрезок [a, х2`] и находим новое приближение х3` и т. д. В результате получим последовательность:

все более точных приближённых значений корня, причём:

xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)

Эта формула справедлива для всех четырёх случаев, изображённых на рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять воспользоваться формулой (5), как и в первом случае, легко устанавливается сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…,xn`,… к значению Е

Пример №2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения

с точностью до 0,01.

В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2,а f«(х)=12x^2.Так как f(х) и f«(х) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а именно:

f(1,7)=0,952>0 и f«(1,7)>0, то применяем формулу:

x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда

Применяем второй раз способ касательных:

х2= x1- f(x1)/ f` (x1), где f(x1)= f(1,646)=0,048, f` (1,646) =15,838;

f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

1.3 Комбинированный способ

(комбинированное применение способов хорд и касательных).

Этот способ состоит в одновременном использовании способов хорд и касательных. Остановим своё внимание опять на случае, отвечающем первому рисунку №2. Значения x1 и x1`, вычисляем по прежним формулам, т. е. принимаем:

x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x1 0 изображён на рисунке №7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет положительный единственный корень, лежащий на отрезке 1 0,f«(x)>0 т. е. знак производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:

Формулы (10) дают:

При этом x1`- x1=0,012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй шаг:

При этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна. Таким образом:

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Модуль 1. Модуль 1. Численные методы решения нелинейных уравнений. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью

Модуль 1. Модуль 1. Численные методы решения нелинейных уравнений. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

1. Численные методы решения нелинейных уравнений.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№20 - Нахождение приближённых значений квадратного корня.)Скачать

1.1. Постановка задачи.

Видео:Приближенное вычисление квадратного корня. Алгебра, 8 классСкачать

1.2. Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.

Видео:8 класс, 43 урок, Приближенные вычисленияСкачать

1.3. Уточнение корней методом деления отрезка пополам.

Видео:Сходящийся метод простой итерации для приближенного вычисления корня нелинейного уравненияСкачать

1.4. Уточнение корней методом касательных.

Видео:Формула для приближенных вычисленийСкачать

1.5. Уточнение корней методом хорд.

Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

2. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью.

Видео:Приближенное вычисление корнейСкачать

Литература.

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать

1. Численные методы решения нелинейных уравнений.

Видео:Приближённые вычисления 1. Квадратный кореньСкачать

1.1. Постановка задачи.

Пусть имеется уравнение вида

где f (x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство │x* – xпр │ 0, m – натуральное.

Известен следующий рекуррентный (итерационный) процесс нахождения членов последовательности t0, t1, t2, …, где

, n = 0, 1, 2, … . (6)

При этом оказывается [4], что полученная последовательность сходится при любом t0>0 к точному значению и при том достаточно быстро.

Удобно в качестве t0 брать значение с одной верной значащей цифрой, которую легко найти подбором.

Итерационный процесс нахождения очередного приближения к величине корня прекращается, как только выполнится неравенство . При этом с точностью ε.

Пример 5. Найти с точностью ε = 0,000001 (или ε = 10-6).

Решение. Здесь a = 1,25, ε = 10-6. Пусть t0 = 1,1 (т. к. 1,12≈1,25). Из формулы (6) при m = 2 имеем:

, n = 0, 1, 2, … .

Значит . Так как требуется найти значение корня с точностью ε = 10-6, т. е. с шестью верными значащими цифрами после запятой, при вычислении t1 количество цифр после запятой берем с запасом (например, семь цифр).

Аналогично вычисляем t2 = 1,1180339…; . Продолжаем итерационный процесс: t3 = 1,1180339… . Итак, на третьем шаге (итерации) результат в требуемых знаках (шесть цифр после запятой) повторился, т. е. .

Значит, с точностью 10-6.

Видео:Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

3. Практикум.

Численные методы решения нелинейных уравнений.

В заданиях данной группы нужно выбрать правильные ответы из приведенного списка. Обратите внимание, что правильный ответ может быть не единственным. Вам надо указать через запятую буквы соответствующие правильным высказываниям.

1. Какие из следующих функций являются трансцендентными?

2. Поиск корней методом половинного деления применим к функциям:

a) к многочленам любых степеней.

b) к непрерывным, но не дифференцируемым функциям.

c) к функциям, имеющим разрывы.

d) любым непрерывным.

3. Отметьте высказывания, относящиеся к поиску корней методом половинного деления:

a) Существуют уравнения, для которых есть только численное решение и нет аналитического.

b) Это самый быстрый метод поиска корней.

c) Это самый точный метод.

d) Это один из самых простых вычислительных методов поиска корней уравнения

e) Этот метод не требует дополнительных условий сходимости.

f) Этим методом можно искать корни многочленов любых степеней.

В заданиях данной группы нужно выбрать правильный ответ из приведенного списка. Обратите внимание, что правильный ответ должен быть единственным

4. Решить уравнение, значит

a) найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество;

b) доказать, что таких значений неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество нет;

c) найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество или доказать, что корней нет;

d) найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в верное тождество и доказать, что корней нет.

5. Для какой из приведенных ниже функций y = f(x) уравнение f(x) = 0 не имеет корней

6. Отделение корней уравнения f(x)=0 – это

a) нахождение интервалов длиной ε из области определения функции y=f(x);

b) нахождение корней из области определения функции y=f(x);

c) нахождение интервалов с одним корнем вне области определения функции y=f(x);

d) нахождение интервалов из области определения, в каждом из которых содержится ровно один корень.

7. Какая из этих формул верна и применяется в методе деления отрезка пополам для определения достижения точности?

8. Какая из этих формул верна и применяется в методе деления отрезка пополам для определения X – приближённого значение корня на отрезке [a; b]?

9. Аналитическое отделение корней уравнения f(x) = 0 основано на теореме:

a) если функция f(x) непрерывна на [a, b], принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

b) если f ‘(x) существует и непрерывна, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

c) если функция f(x) принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

d) если f ‘(x) непрерывна и меняет знак на [а, b], то на этом отрезке содержится хотя бы один корень.

10. Необходимым условием сходимости метода касательных при решении уравнения у = f(x) является:

a) f(x) непрерывна на [a, b] и сохраняет на нем свой знак;

b) f ‘(x) существует и сохраняет знак;

c) f(x) и f ‘(x) непрерывны на [a, b] и сохраняют знак;

d) f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке [a, b], f ‘(x) непрерывна и сохраняет знак на отрезке [a, b].

11. Укажите интервал изоляции корня уравнения .

12. Какому графику соответствуют условия , , , , ?

13. Известно, что уравнение имеет три корня. Минимальное количество начальных точек, определяющих отрезки изоляции корней, для полного решения методом половинного деления:

В заданиях данной группы нужно вписать числовой ответ или дополнить предложение.

14. Дано нелинейное уравнение x2sinx + 1 = 0 и начальное приближение x0 = 3,3. Первое приближение x1 в методе Ньютона равно (ответ округлить до трех знаков после запятой) ____________.

15. Дано уравнение x2sinx + 1 = 0. Известно, что на отрезке [3,2; 3,5] существует единственный корень уравнения. После выполнения одного шага методом деления отрезка пополам, отрезок станет равен _____________________________.

Видео:Приближенные вычисления действительных корней уравнений. (Матанализ - урок 49)Скачать

Приближенное вычисление корня уравнения методом деления отрезка пополам

Раздел программы: “Научно-технические расчёты на ЭВМ”

Тема урока: “Приближенное вычисление корня уравнения методом деления отрезка пополам”

Продолжительность занятия: 2 академических часа.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: комбинированный.

Время проведения: первый урок по теме “Приближенные вычисления”

Цели урока:

• Развитие представлений о применениях ЭВМ для научно-технических расчетов.
• Формирование системно-информационного подхода к анализу окружающего мира.
• Формирование общеучебных и общенаучных навыков работы с информацией.

Задачи урока:

• Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры, воспитание умения четко организовать самостоятельную работу.
• Образовательная – изучить и закрепить приемы использования языка программирования для решения задач приближенного решения уравнений, закрепить знания и умения по теме “Алгоритмизация и программирование”.
• Развивающая – расширение кругозора.

Методы: Словесные, наглядные, практические.

Организационные формы работы: фронтальные, индивидуальные.

Материально-техническая база: доска, ПК с установленным ПО ЯП Turbo Pascal 7.0.

Межпредметная связь: математика.

Требования к знаниям и умениям: учащиеся должны знать основные команды языка программирования для задач вычислительного характера, уметь составлять и записывать алгоритмы с использование циклов и ветвлений; по записи алгоритма записывать программу на языке программирования Turbo Pascal.

Содержание этапа урока

Вид и формы работы1. Организационный моментПриветствие2. Мотивационное начало урока.Постановка цели урока.3 Изучение нового материала.
Ознакомление с новым методом приближенного
решения уравнений,
показ образца действий.Работа в тетради.4. Закрепление и проверка полученных знаний.Фронтальный опрос.

Работа в тетради по кодированию программ
по заданному алгоритму.5. Упражнения творческого характера.Лабораторная работа:
применение созданной программы
для приближенного вычисления корня функции.
Работа в тетради.
Защита результатов.6 Подведение итогов урока, домашнее задание.Работа в тетради.

I. Организационный момент

II. Мотивационное начало урока. Постановка цели урока

Учитель: Вычисления на компьютере обладают большей гибкостью, чем привычные всем вычисления в математике. Рассмотрим для примера задачу вычисления корня уравнения f(x) = 0. В курсе школьной математики вам известен метод дискриминанта для уравнений вида:
ax 2 + bx + c = 0, выражаемой по формуле . Однако, во многих случаях, ответ не выражается формулой (например, для корня уравнения cos(x) = x формулы просто нет). Но можно, не выводя точных формул, вычислить корень приближенно, с заданной точностью, например, до 0,0001. Сегодня мы рассмотрим один из приближенных методов вычисления корня уравнения – метод деления отрезка пополам.

III. Изучение нового материала.

Учитель: Рассмотрим задачу в следующей постановке.

Дано уравнение f(x) = 0 и числа a и b: a f(b) 0.

Если V–точный корень уравнения f(V) = 0, a * f(b) E, то перейти к пункту 1).

Любая точка отрезка [a, b] при таком алгоритме даст приближенное решение с заданной точностью.

Запишем алгоритм решения нашей задачи в виде блок схемы: (См. рис. 2).

Учитель: Есть ли вопросы?

Если у учащихся есть вопросы, то необходимо все уяснить, прежде чем переходить к следующему этапу урока/

Учитель: Какой алгоритм по структуре у нас получился?

ПО: циклический, причем использовать надо цикл с предусловием.

Учитель: Что необходимо вписать в блоки, помеченные звездочкой ( * )?

ПО: Здесь необходимо записать команду вычисления конкретной функции в точке a и в точке c.

Учитель: Что необходимо предварительно сделать, прежде чем применять этот алгоритм для нахождения корня уравнения?

ПО: Необходимо, в первую очередь, проверить, удовлетворяет ли функция постановке задачи: является ли график функции непрерывной линией на отрезке [a, b], разные ли знаки имеет функция на концах отрезка [a, b].

IV. Этап закрепления, проверки полученных знаний

Учитель: Можно ли применять метод деления отрезка пополам для нахождения корней уравнений, на заданных отрезках (уравнения записаны на доске):

1. x 2 – 5 = 0, [0, 3] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0) *f(3) 4 + cos(x) – 2 = 0 [0, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0)*f(2) 5 – 1 = 0 [–5, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(– 5)*f(2) e do
   Begin c : = (a + b)/2;
   fc : = … ;
   If fc . fa 2 cos(2x) + 1 = 0 [0, /2]
2. x 3 + x 2 + x + 1 = 0 [–2,1]
3. x 5 – 0,3 | x – 1 | = 0 [0,1]
4. 2x – cos(x) = 0 [0, /4]
5. tg(x) – (x + 1)/2 = 0 [0, /4]

3. Это задание для учащихся математического класса: Вычислить значения , используя этот же метод деления отрезка пополам. Ответы сравните с расчетами на инженерном калькуляторе.
ВСЕ результаты вычислений фиксируются в тетради.

4. Результаты лабораторной работы должны быть защищены в индивидуальном порядке в беседе с учителем: проверяется понимание метода и используемой программы.

Вопросы для собеседования:

1. В чем смысл переменной…?
2. Что означает данная команда…?
3. Как вы записывали для функции а) – е) выражение в команде fa : = .
4. Для чего в программе используются операторные скобки?
5. Для чего использовали в программе команду ветвления? Цикла?
6. Где в программе осуществляется выбор отрезка, где находится корень уравнения?

На выполнение задания дается 30 минут. (Для выполнения задания учащиеся рассаживаются за компьютеры, загружают среду программирования и начинают проверять программу).

Защита результатов осуществляется по мере готовности учащихся, наиболее продвинутые учащиеся назначаются консультантами и принимают зачет вместе с учителем.

VI. Подведение итогов. Домашнее задание

Учитель: Подведем итоги. Сегодня на уроке вы узнали, как находить решение уравнений методом деления отрезка пополам, как использовать для этого компьютер. Я проверила во время практической работы и в процессе защиты результатов работы как вы усвоили материал, вы хорошо справились с заданием и получили следующие отметки… На этом изучение применений компьютера для научно-технических расчетов не заканчивается, предлагаю проанализировать свои записи в тетради и выполнить домашнее задание: подумать над вопросом “Какие методы поиска площадей фигур вы знаете?”. Запишите его себе в тетрадь.
Спасибо всем за работу.

🔍 Видео

Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Квадратный корень. 8 класс.Скачать

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Метод Ньютона | Лучший момент из фильма Двадцать одно 21Скачать

Комбинированный метод приближенного нахождения корня уравненияСкачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

Численные методы Абсолютная и относительная погрешностьСкачать