Методы для самопроверки при решении квадратных уравнений (3 видео)

Разработка урока по теме «Квадратные уравнения (методы решения)»

Разделы: Математика

Цели урока:

обучающие

обобщение и систематизация знаний по теме.
ликвидация пробелов в знаниях учащихся.
установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры.

развивающие

расширение кругозора учащихся
пополнение словарного запаса
развитие мышления, внимания, умения учиться

воспитание общей культуры

Оборудование: PC, проектор, экран; у каждого ученика: конспект, пригласительный билет

Организационный момент.

— Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.

— Сообщение темы урока: “Квадратные уравнения. Методы решения”.

— Совместное формулирование цели урока

Сегодня у нас несколько необычный урок – урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

(Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером)

Иными словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?

(Для возможности выбора рационального пути решения).

Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.

Актуализация знаний.

Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными.

(Уравнение вида , где х — переменная, a,b,c – числа , называется квадратным.)

Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

(а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член)

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов.

Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения.

С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений. Вспомним, какие виды неполных квадратных уравнений бывают и как они решаются. (анализ таблицы)

(Подписывают и заполняют таблицу)

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш и сверим ответы.

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные билеты вперед.

Презентация специальных методов.

Обратимся к конспекту урока. Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

Метод выделения квадрата двучлена.

Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

Решим уравнение х 2 -6х+8=0 методом выделения квадрата двучлена.

или

Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

(Обратить внимание на возможность пойти иным путем, применяя формулу разности квадратов).

Метод “переброски” старшего коэффициента

Суть метода состоит в то, что корни квадратных уравнений

ax 2 + bx + c = 0 и y 2 +by+ac=0

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax 2 + bx + c = 0, а приведенное y 2 +by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Пример: решите уравнение

заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а

( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений.

Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен

Пример: решите уравнение

a = 157, b = 20, c = -177

a + b+ c =157+20-177=0

x₂ = =

Ответ: 1;

Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен

Пример: решите уравнение

a = 203, b = 220, c = 17

a + c = 203 + 17 = 220 = b

Ответ: -1;

Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.

Однако, при выборе пути решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов возможно применение и общих методов решения уравнений.

К таким методам относятся:

Разложение на множители;
Введение новой переменной;
Графический способ.

Презентация общих методов решения уравнений (Презентация).

Метод разложения на множители.

Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Способы:

Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.

Пример: решите уравнение

произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.

Ответ: -1; .

Метод введения новой переменной

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример: решите уравнение

Произведем замену переменной

(Устно проверим условие D > 0) по теореме, обратной теореме Виета

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х

Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

И, наконец, наиболее “зрелищный” метод.

Графический метод.

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x),

y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.

Вспомним применение этого метода при решении квадратного уравнения:

(Устно обсудить области определения )

Построим график функции

Графиком является парабола, “ветви” которой направлены вверх (0;0) – вершина параболы график симметричен относительно оси ординат

X	1	2	3
Y	1	4	9

Построим график функции y = x + 2

Линейная функция. Графиком является прямая.

X	0	-2
Y	2	0

Точки пересечения: А(-1;1) и В(2;4)

Применяя графический метод в данном случае мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако, графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Историческая справка

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия.

Обратимся к историческому путеводителю.

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Более подробно с этапами развития методов решения квадратных уравнений, а так же личностью Виета и его вклада в развитие алгебры мы сможем познакомиться на конференции.

Подведение итогов.

Итак, подведем итог.

Решение квадратных уравнений, возможно, осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений.

Сегодня мы обобщили опыт решения квадратных уравнений и посмотрим, как научились выбирать наиболее рациональный метод решения.

Попробуйте расшифровать высказывание из копилки “Золотых мыслей”.

Для этого проанализируйте представленные уравнения, выберите для каждого более рациональный метод решения и укажите номер этого метода. Затем согласно ключу расставьте в нижней таблице слоги и прочтите высказывание.

Итак, получили высказывание Ян Амос Коменского: “Учиться нелегко, но интересно”.

Я думаю, эти слова как нельзя, кстати, подходят для окончания нашей сегодняшней презентации.

Домашнее задание

Решите уравнение х 2 +6х-16=0 по формуле, выделением квадрата двучлена и графическим методом
Составьте уравнения на применение теорем (метод 9, 10).
Решите уравнение 3х 2 +5х+2=0 пятью способами.
Решите уравнение (х 2 -х) 2 -14(х 2 -х)+24=0 методом введения новой переменной.

Содержание

Методика преподавания темы «Квадратные уравнения» в 8 классе
Описание презентации по отдельным слайдам:
Методика обучения решению квадратного уравнения
Просмотр содержимого документа «Методика обучения решению квадратного уравнения»
🔍 Видео

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Методика преподавания темы «Квадратные уравнения» в 8 классе

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Автор: Теселкина Е.М., учитель математики МОУ СОШ №70 Дзержинск 2014

1. Уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. 2. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики: Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они только дополняют ее новым фактическим содержанием. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики. 10-й класс – иррациональные уравнения; показательные уравнения и неравенства; тригонометрические уравнения и неравенства; 11-й класс – применение производной к исследованию функций; интеграл, площадь криволинейной трапеции.

Цели Образовательные: Сформировать: 1) знания основных понятий и формул по теме «Квадратные уравнения»; 2) умение применять формулы при решении квадратных уравнений; 3) навыки решения задач по теме «Квадратные уравнения». Развивающие: развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи и работать с дополнительной литературой. Воспитательные: воспитание познавательной активности, интереса к предмету; формирование коммуникативных навыков и волевых качеств. Задачи Научить: распознавать различные виды квадратных уравнений; решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным; решать текстовые задачи и системы уравнений, содержащие квадратное уравнение. Развивать: умение пользоваться опорными знаниями для получения новых знаний. мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения). навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над уравнениями. Продолжать воспитывать культуру общения друг с другом и ответственность за свою работу.

Специфика данного возраста хорошо описывается с применением частицы НЕ: НЕ хотят учиться так, как могут НЕ хотят слушать никаких советов НЕ приходят вовремя НЕ убирают за собой. Психологические особенности: восприятие становится избирательной, целеноправленной аналитико-синтетической деятельностью; внимание становится более устойчивым и произвольным; продолжает развиваться теоретическое, логическое мышление; мышление становится «опережающим», что дает возможность прогнозировать развитие событий. Это создает предпосылки для развития воли; развиваются познавательные процессы, особенно интеллект. Это ведет за собой развитие логической памяти. Процесс полового созревания: возникновение физического ощущения собственной взрослости. Активное общение со своими сверстниками: через общение познает самого себя. Ослабление связи с учителем, снижение его влияния.

создание условий для переживания учащимся ситуации успеха; ставить посильные задачи, которые находятся в зоне ближайшего развития; принятие педагогом личности ребенка; дифференцированный подход к учащимся; активизация мыслительной деятельности при помощи проблемных ситуаций, индивидуальных заданий; увлечение учащихся интересной подачей информации; использование поощрения, подчеркивая лучшие качества.

Словесные Практические Частично-поисковые Взаимопроверки Самопроверки Метод наблюдения

Классические типыурок изучения нового материала; урок обобщения и систематизации; знаний, умений, навыков; урок повторения, закрепления; комбинированный урок; контрольно-проверочный урок. Нетрадиционные типы урок-лекция урок-семинар урок-практикум

Дифференцированный подход Информационно-компьютерные технологии (работа учителя с электронными презентациями, создание презентаций обучающимися)

Типывнешний; взаимный; самоконтроль. Формыустный опрос; проверка тетрадей с домашним заданием; математический диктант; самостоятельная работа; контрольная работа.

Технологическая карта по теме «Квадратные уравнения» Тематическое планирование № параграфаСодержание материалаКол-во часов 25Квадратное уравнение и его корни2 26Неполные квадратные уравнения1 27Метод выделения полного квадрата1 28Решение квадратных уравнений4 29Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.2 30Уравнения, сводящиеся к квадратным4 31Решение задач с помощью квадратных уравнений4 32Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени.3 Обобщающий урок1 Контрольная работа № 31

Знать:Уметь Основные понятия и формулы по теме «Квадратные уравнения» распознавать среди множества уравнений квадратные уравнения, биквадратные уравнения, применять теорему Виета. способы решения квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным.решать все виды квадратных уравнений и уравнения, сводящиеся к квадратным. алгоритмы решения текстовых задач; способы решения простейших систем, содержащих квадратное уравнение. составлять уравнения по условию задачи и решать эти уравнения; определять, соответствуют ли найденные корни уравнения смыслу задачи; решать простейшие системы, содержащие уравнение второй степени.

Тип урока: обобщающий урок Л. М. Фридман: «Сухие строки уравнений – в них сила разума влилась. В них объяснение явлений, вещей разгаданная связь…»

Образовательные: обобщение, систематизирование и совершенствование знаний, умений и навыков учащихся при решении квадратных уравнений. Развивающие: совершенствование интеллектуальных способностей и мыслительных умений учащихся; развитие познавательных процессов, памяти, воображения, внимания, потребности в нахождении рациональных способов решения; формирование активного, самостоятельного, творческого, наглядно-образного и логического мышления; наблюдательности, сообразительности, инициативы; умения анализировать, сравнивать и обобщать; учить проводить рассуждения, используя математическую речь; учить умению сосредотачиваться на учебной деятельности, предупреждать ошибки и развивать самоконтроль. Воспитательные: воспитание интереса и уважения к изучаемому предмету; воспитание чувства коллективизма и сопереживания успехам и неудачам своих товарищей, формирование стремления к достижению конечного результата на основе совместной деятельности; нравственных качеств личности: аккуратности, дисциплинированности, трудолюбия, математической культуры, ответственности, требовательности к себе, доброжелательного отношения к товарищу, любознательности; умения корректировать собственные ответы.

Методы обучения:наглядный; практический; словесный; частично-поисковый; исследовательский; программированный; самопроверка; взаимопроверка. Формы организации учебной деятельности: фронтальная; индивидуальная; парная

На каждом столе: тексты математического диктанта тексты самостоятельной работы листы самоконтроля Таблицы Доска Мел Мультимедийный проектор Мультимедийный экран Электронная презентация

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой целей урока.2 мин. 2. Актуализация опорных знаний — устная работа. С помощью которой ведется повторение основных фактов, ведущих идей и основных теорий на основе систематизации знаний.5 мин. 3. Исторические сведения о квадратных уравнениях.2 мин. 4. «Найди ошибки».5 мин. 5. Решение нестандартных задач.3 мин. 6. Математический диктант.5 мин. 7. Самостоятельная работа по вариантам.6 мин. 8. Релаксационная пауза. Упражнения для глаз, шеи и рук.1 мин. 9. Разноуровневая самостоятельная работа.12 мин. 10. Этап информирования обучающихся о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению.2 мин. 11. Подведение уроков. Анализ урока с обучающимися.2 мин.

Этапы разработки темы из учебной программы: изучение программы, темы, учет современных требований; анализ учебного материала; составление календарно-тематического планирования; методическая отработка теорем, теоретического материала; выбор алгоритма типовых задач; выбор алгоритма решения ключевых задач; методы решения задач; изучение наглядности; постановка целей и задач; составление конспектов уроков; составление вариантов заданий.

Асташкина И. С. Бубличенко О. А. Дидактические материалы к урокам алгебры в 8-9 классах. Ростов-на-Дону, Феникс, 2003. Бессонова М. Ю. Поурочное планирование по алгебре, 8 класс. М., Экзамен 2008. Бондаревская Е. В. Учителю о личностно-ориентированном образовании: Научно-методическая разработка. Ростов-на-Дону, 1998. Бощенко О. В. Математика. Итоговые уроки. Волгоград, Учитель, 2008. Бурмистрова Т. А. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы. Москва, Просвещение, 2008. Галицкий М. Л. Сборник задач по алгебре 8-9. М., Просвещение, 2006. Григорьева Г. И. Нестандартные уроки по алгебре 7-9 классы. Волгоград, Экстремум, 2006. Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. Москва, Просвещение, 1990. Ершова А. П. Голобородько В. В. Алгебра Геометрия 8. Самостоятельные и контрольные работы. Москва, Илекса, 2005. Козина М. Е. Математика 5-11 классы. Нетрадиционные формы организации тематического контроля на уроках. Волгоград, Учитель, 2006. Манвелов С. Г. Основы творческой разработки урока математики. Математика. Приложение к «Первое сентября», 1997. №11, 13. Махмутов М. И. Современный урок. Москва, Педагогика, 1991. Методика и технология обучения математики. Курс лекций: пособие для вузов. Под редакцией Стефановой Н. Л., Подходовой Н. С., М., Дрофа 2005. Окунев А. А. Спасибо за урок, дети! Москва, Просвещение, 1988. Стратилатов П. В. О системе работы учителя математики. М., Просвещение, 1994.

Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Методика обучения решению квадратного уравнения

Итоговая практико-значимая работа

«Методика обучения решению квадратного уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Методика обучения решению квадратного уравнения»

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Академия социального управления»

кафедра математических дисциплин

Итоговая практико-значимая работа

«Методика обучения решению квадратного уравнения»

слушатель учебного курса

«Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы»

учитель математики МОУ «СОШ№4

имени Героя Советского Союза Ф.Т. Жарова г. Шатуры»

Шатурского муниципального района Московской области

Куликова Ольга Александровна

Руководитель курса: к.п.н., доцент кафедры математических дисциплин Е.Л. Мардахаева

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения в условиях новой формы итоговой аттестации в основной школе.

§1.Логико-дидактический анализ темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

§ 2. Логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ, анализ заданий КИМов ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром.

3.1.Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

ГЛАВА 2. Проектирование системной работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации.

§ 4. Краткая характеристика программного обеспечения Microsoft PowerPoint.

§ 5. Материал к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint.

§ 6. Методические рекомендации к использованию материала к уроку «Решение квадратных уравнений».

§ 7. Подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка.

§ 8. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Актуальность. Перемены, происходящие в современном обществе, требуют ускоренного совершенствования образовательного пространства, определение целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В связи с этим приоритетным направлением становится обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы.

Цель итоговой практико-значимой работы: «Разработать систему подготовки учащихся к итоговой аттестации в основной школе на примере темы «Методика обучения решению квадратного уравнения»

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

1. Выявить теоретические основы обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

2. Выполнить отбор средств обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», в том числе средства ИКТ.

3. Разработать методические рекомендации по использованию выбранного программного средства при изучении темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

4. Отобрать систему задач по теме «Квадратные уравнения», в том числе задач с параметром, для организации подготовки к итоговой аттестации.

5. Разработать методические рекомендации по использованию отобранной системы задач в образовательном процессе.

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения в условиях новой формы итоговой аттестации в основной школе.

§ 1. Логико-дидактический анализ темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

Логико-дидактический анализ – один из инструментов формирования и развития профессионально значимых умений учителя

видеть структуру содержания учебного предмета в целом,

видеть логику построения основных линий и тем школьного курса математики,

видеть особенности процесса формирования знаний и умений по тем или иным темам с учетом особенностей конкретных учащихся.

Логико-дидактический анализ темы – последовательность действий, которые условно объединяются в III блока:

методический (дидактический) анализ.

Каждому из блоков соответствуют определенные цели и задачи

Логико-дидактический анализ является системообразующим фактором организации изучения учащимися темы. На основе логико-дидактического анализа

составляется развернутый тематический план изучения темы,

определяются цели и задачи уроков,

отбирается содержание уроков,

организовывается деятельность учащихся.

На изучение темы «Квадратные уравнения, 8 класс, учебник «Алгебра, 8 класс»: учебник для общеобразовательных учреждений /Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова/под ред. С. А.Теляковского 18-е изд., стер. М.: Просвещение, 2013. по программе отводится 30 часов.

Рабочая программа составлена основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, рабочей программы к предметной линии учебников (УМК Ю.Н. Макарычев и др.)

Алгебра. Рабочие программы. Предметная линия учебников Ю.Н. Макарычев и др .7 – 9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / Н. Г. Миндюк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016.

Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице

Тематическое планирование, 4часа в неделю

Характеристика основных видов деятельности ученика

(на уровне учебных действий)

Решать квадратные уравнения. Находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета. Исследовать квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам. Решать дробные рациональные уравнения, сводя решение таких уравнений к решению линейных и квадратных уравнений с последующим исключением посторонних корней.

Решать текстовые задачи, используя в качестве алгебраической модели квадратные и дробные рациональные уравнения

Квадратное уравнение и его корни

Анализ контрольной работы № 5

Дробные рациональные уравнения

Тема: «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. Учащиеся должны уметь распознавать квадратные уравнения, решать их, исследовать по дискриминанту и коэффициентам. Решать текстовые задачи алгебраическим способом, переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

При изучении этой темы в учебнике Макарычева рассматриваются понятия:

определение квадратного уравнения

понятие приведенного квадратного уравнения

понятие неполного квадратного уравнения

вводятся формулы дискриминанта и корней уравнения

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен следующим способом: сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению = 0 или к уравнению . Приходиться использовать выделение полного квадрата в трехчлене , сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

Кроме основной формулы для корней квадратного уравнения , приводятся еще формулы корней уравнения или . Использование этих формул упрощает вычисления.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной – только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того, чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Далее рассматриваются дробные рациональные уравнения (§9). Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональных уравнений.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает так же сложность перевода на язык математики.

Таим образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:
· формулу нахождения дискриминанта;
· формулу нахождения корней квадратного уравнения;
· алгоритмы решения уравнений данного вида;
уметь:
· решать неполные квадратные уравнения;
· решать полные квадратные уравнения;
· решать приведенные квадратные уравнения;
· делать проверку.

Анализ математических задач по теме показал, что в учебнике Макарычева задания разбиваются на уровни: подчеркнутые номера – это задания обязательного уровня, выделенные номера – это задания повышенной сложности, отдельно выделены задания для повторения.

Упражнения для домашней работы никак не обозначены. В теме решения текстовых задач рассматриваются две старинные задачи, часть задач носит геометрический характер, есть несколько задач с практическим содержанием. Для разнообразия работы с учащимися в учебнике предлагаются дополнительные задания разного уровня сложности. Так же есть параграф под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше» — это уравнения с параметром. В этом параграфе все задания, кроме двух первых, отмечены как задачи повышенной сложности. Однако, данная тема рассматривается с учащимися только по усмотрению учителя.

Во всей теме всего три задания для решения устно, большая часть задач направлена на отработку навыков решения уравнения по формулам. Однако, заданий для исследовательской и проектной деятельности нет. Очень трудно по этим задачам организовать проблемные или эвристические уроки, нет задач на развитие логического мышления. Практически все задания предназначены для развития вычислительных навыков.

В итоге изучения материала по запоминанию темы учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научится использовать логические средства для обоснования решения. В целом освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Анализ задачного материала темы «Квадратные уравнения»

Название темы пункта

По характеру требований

По дидактической цели

По способу решения

По уровню усвоения

Неполные квадратные уравнения

Выяснить: 512, 519

Найти корни: 515, 522

Решить уравнение: 516-518, 521,523

Решить текстовую задачу: 524-530

Выберете верный ответ: 520

Обязательные: 512, 513, 514, 515, 517, 518, 519, 521

Тренировочные: 522, 523

Алгоритмические: 515, 517, 518, 521

2 УУ: 516, 522, 523, 524, 525, 526, 527

3 УУ: 520, 528-530

На отработку определения: 512-514

Решение неполных уравнений: 515, 517, 518, 521

Формула корней квадратного уравнения

Вычислить дискриминант: 533

Найти корни: 536, 544, 546

Решить уравнение: 534, 535, 539-543, 545, 547, 551, 554

Найти параметр: 555

Обязательные: 533- 536, 538-543

Смешанные: 537, 548-550, 553-555

Тренировочные: 544-547, 551, 552

2 УУ: 537, 538, 544-553

На отработку определения: 533

Решение квадратных уравнений по формуле: 534-536, 539-543

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решить текстовую задачу: 559-568, 571-575

Решить старинную задачу: 569, 570

На составление математической модели: 559-563

Найти сумму и произведение корней: 580

Решить уравнение и выполнить проверку: 581,582

Найти подбором корни уравнения: 583, 584

Найти один из корней и параметры: 585-592

Определить знаки корней: 594, 595

Алгоритмические: 580-584, 594, 595

2 УУ: 583—590, 594, 595

На отработку теоремы Виета: 580-590

Таким образом, по данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий квадратные уравнения, виды квадратных уравнений, а так же на отработку нахождения корней квадратного уравнения по формулам и подбор корней с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям. Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применением новой темы, а так же при решении параметрических задач на применение теоремы Виета.

§2.Логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ, анализ заданий КИМов ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения»

В настоящее время основным принципом разработки требований к подготовке выпускников является представление их в виде набора вопросов и задач, непосредственно позволяющих осуществить проверку наличия тех или иных знаний, умений, навыков выпускников 9-х классов. Процедура разработки таких задач-измерителей состоит в последовательной конкретизации целей обучения математики в основной школе и выстраивании иерархической системы целей:

Общие цели математического образования Требования к уровню подготовки выпускников Планируемые результаты обучения Образцы задач Контрольно-измерительные материалы.

Объектами контроля в заданиях первой части работы являются: знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, математической символики и средств наглядности и пр.), владение основными алгоритмами, умение решать несложные математические проблемы, не сводящиеся к прямому применению алгоритма, умение применять математические знания в несложных практических ситуациях.

Задания по теме «Квадратные уравнения» регулярно включаются в материалы основного государственного экзамена (ОГЭ) и единого государственного экзамена.

Анализ методических пособий для подготовки к ОГЭ показал, что в

Модуле «Алгебра» часть 1некоторые задания №4 требуют базовых знаний решения неполных и полных квадратных уравнений.

Учащимся необходимо уметь проводить классификацию уравнений по общему виду; уметь определять числовые коэффициенты, применять формулы при решении квадратных уравнений; уметь выделять общее и находить различия.

Объектами контроля в заданиях второй части являются: умение интегрировать знания из различных тем курса при решении задач комбинированного характера, владение некоторыми специальными приемами решения задач, умение строить и исследовать простейшие математические модели, использовать разнообразные способы рассуждений при исследовании математических ситуаций, умение математически грамотно и ясно записывать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Часть 2 содержит задания № 21; № 22, повышенного уровня.

№ 21. Решите уравнение (х — 1) (х 2 +6х+9) = 5(х+3).

При решении уравнений данного вида, учащиеся должны знать:

формулы сокращенного умножения,

уметь представлять квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена,

уметь раскладывать квадратный трехчлен на множители,

выносить общий множитель за скобку,

применять алгоритм решения квадратных уравнений,

применять формулы для второго четного коэффициента.

№ 22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени. Найдите скорость велосипедиста из А в В.

При решении данных заданий, учащиеся должны уметь составлять дробно-рациональные уравнения, приводить их к квадратным.

Задания второй части модуля «Алгебра» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:

формально-оперативным алгебраическим аппаратом;

умения решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.

К заданиям повышенного уровня можно отнести уравнения с параметром из п. 27.

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром.

Практика работы в школе показывает, что уравнения и неравенства с параметром — это один из сложнейших разделов школьного курса математики, представляющий для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Выбор метода решения, запись ответа совершенствуют умения наблюдать, сравнивать, анализировать, строить схемы и графики, выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметром проверяют не только умение работать по алгоритму, но и способность к поиску нестандартных решений, формируя при этом творческий подход к выполнению заданий.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения– привести заданные уравнения к более простому виду. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.
Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.
Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений
Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Методические рекомендации при изучении некоторых тем «Линейные и квадратные уравнения».

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как

уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для

этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то,

при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,

когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения

является любое действительное число.

3.1. Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

Примеры (ОГЭ 2016)

1) х 2 ‒ 2х + а + 3=0; 2) х 2 ‒ (2 + а)х + 3 = 0; 3) ах 2 ‒ 2х + 3 = 0

Найдите все значениях параметра b, при каждом из которых отношение дискриминанта уравнения bx 2 +3x+5=0 к квадрату разности его корней равно 5b+6.

Ответ: отношение дискриминанта уравнения bx 2 +3x+5=0 к квадрату разности его корней равно 5b+6 при b = –1 и b =6.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых решением неравенства является объединение двух непересекающихся интервалов.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

Ответ: при уравнение имеет единственное решение.

№4. Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2. (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых

коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2.

При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на

коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это

деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех

действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения

является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = (а-2) : 2а(а-2) ,

0твет: 1) Если а=0,то корней нет;

2)если а=2, то х – любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х =1/2а .

(а — 1) х 2 +2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = — 7/6.

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых

дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе

значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например,

при аао D0). Вместе с этим при переходе через

точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в

нашем примере при аао D0 уравнение

имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении

уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0

дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D/4=(2а+ l) 2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем D/4= 5а+4.

Из уравнения D/4 = 0 находим а = — 4/5— второе контрольное значение

параметра а. При этом если а

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а

2) если а = 1, то х = — 7/6; 3) если a≥-4/5 , a ≠ 1, то х_1;2 = ;

Решение задач с параметрами необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики. Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

ГЛАВА 2. Проектирование системной работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации.

§ 4. Краткая характеристика программного обеспечения Microsoft PowerPoint

Глобальная информатизация общества является одной из доминирующих тенденций ХХI века. Поэтому обучение в школе должно обеспечить формирование у людей новых компетентностей, знаний и умений, способов деятельности, которые им потребуются в новой информационной среде обитания, в том числе и для получения образования в условиях широкого использования современных информационных технологий обучения. Сегодня педагог-предметник уже не в состоянии игнорировать тот образовательный потенциал, которым обладают современные информационные технологии и соответствующая им программно — техническая платформа, переводящие образовательный процесс на качественно новый уровень.

Microsoft PowerPoint — это программное обеспечение, предназначенное для создания эффектных и динамичных презентаций. Для утилиты свойственна широкая функциональность, относительно управления графикой, стилями и текстом.
Приложение входит в состав и поставляется в рамках пакета Microsoft Office.
Благодаря этому, разработка слайдов осуществляется практически на профессиональном уровне. Совместная работа программы с SharePoint Workspace и SharePoint Server обеспечивает быстрый обмен информацией.
Пользовательский интерфейс и графические возможности PowerPoint способствуют быстрому выполнению задачи. Система защищает презентации посредством применения прав доступа, обеспечивая, вместе с этим, простое начало процедуры рецензирования.
Последняя версия программы позволяет выбирать темы, прибавлять варианты дизайна, выравнивать картинки и текст. Помимо этого, появилась возможность совместной работы нескольких пользователей над одной презентацией. Среди нововведений — инновационный режим редактирования и широкоформатные шаблоны.
При создании презентации пользователь столкнется со следующими особенностями:
— наличие начального экрана, который способствует быстрому старту работы и помогает сразу же приступать к подбору новых тем;
— множеством различных тем — можно выбрать одну из доступных цветовых схем, а затем применить ее одним лишь кликом мышки;
— направляющими — выравнивают текстовые блоки и другую графику с текстом;
— объединением фигур — инструменты группировки, объединения, фрагментации, вычитывания и пересечения необходимы для компоновки двух или более фигур.
Процесс планирования презентаций может сопровождаться настройкой таких функций, как:
— приближение слайдов — пользователи без особого труда могут направить внимание аудитории на конкретные пункты своей презентации путем увеличения графиков, диаграмм и прочих объектов слайда. Сделать это довольно просто — достаточно кликнуть несколько раз мышкой, а чтобы уменьшить объекты, необходимо выполнить те же действия;
— навигационная сетка — позволяет определить порядок показа слайдов — произвольно или по порядку, при этом сама сетка видна лишь пользователю;
— автоматическое расширение — демонстрация презентации на втором экране должна сопровождаться соответствующей настройкой ее формата.
В целом, MS PowerPoint — великолепный продукт, достаточно удобный для пользователей разного уровня. Программа обладает расширенным функционалом, который необходим для создания качественных презентаций.

§ 5. Материал к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint

Презентации по математике рекомендуется использовать в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания учеников с помощью ответов на вопросы, закрепить знания, умения и навыки учащихся.
Одна из самых главных задач школы — это не только снабжать знаниями учеников, а также — прививать им умение добывать информацию самостоятельно. Презентация к уроку «Решение квадратных уравнений», даёт возможность ученикам активно включиться в исследовательскую и творческую деятельность.

§6. Методические рекомендации к использованию материала к уроку «Решение квадратных уравнений»

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. Важно, что на обобщающем уроке учащиеся вместе с учителем систематизируют и упорядочивают всю информацию по решению квадратных уравнений. Заполняя таблицы в презентации (слайд 2,3), находят коэффициенты полного, неполного, приведенного, квадратного уравнения, вычисляют дискриминант, извлекают квадратные корни.

Определяют количество корней различных квадратных уравнений

Целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень;

3) если дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня;

4) если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

Слайды 6; 7 содержит задания для устной работы и ответы.

Целесообразно поступать следующим образом:

1) применить теорему Виета;

2) умножить на – 1 обе части уравнения и найти дискриминант;

3) выделить квадрат двучлена и найти его корни;

4) решить неполное квадратное уравнение вынесением за скобку общего множителя;

5) вынести общий множитель за скобку, при нахождении корней применить теорему Виета.

Как показывает опыт, большинство учащихся при решении квадратных уравнений применяют способ решения по формуле корней квадратного уравнения.

Но этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах. Решение иррациональных, показательных, логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений

И там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета. Слады 8; 9.

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства ,

Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета

Если числа х₁ и х₂ таковы, что их произведение равно свободному члену, а сумма второму коэффициенту с противоположным знаком, то они являются корнями уравнения : х 2 +рх+q=0

Теорема Виета замечательна тем, что,

не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x₁ + x₂ и x₁∙ x₂

определить знаки корней уравнения

(Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа

Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа.

Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);

Пример 1. Найдите ; если X 2 — 10x + 23 = 0

Решение. X 2 — 10x + 23 =0

Пусть и . Корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства ;

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные.

Пример 2. Решить уравнение .

Пусть и — корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный, а знак меньшего по модулю совпадает со знаком второго коэффициента. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения. Ответ: 2; -5.

При закреплении материала можно использовать комментированные решения уравнений, при этом ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе.

Система деятельности учащихся при изучении раздела «Квадратные уравнения» и темы «Решение квадратных уравнений» включает в себя: Преобразующую деятельность: умения переносить полученные знания в новой ситуации – приёмы решения квадратных уравнений различными способами; приёмы нахождения корней квадратного уравнения, исходя из свойств коэффициентов; умение применять теорему Виета; умение задавать вопросы; приёмы тождественных преобразований целых и дробных алгебраических выражений; приёмы рационализации вычислений с помощью тождественных преобразований выражений; приёмы решения уравнений. Общеучебная деятельность: рациональные приёмы вычислений; использование буквенной символики для изучения свойств математических объектов; приёмы работы с учебником алгебры, дополнительными источниками информации; приёмы организации домашней работы по алгебре; ведение тетради по алгебре; навыки общения в учебном процессе и т.д. Самоорганизационная деятельность: организация внимания; способ постановки цели; планирование; самоконтроль; самоанализ; работа с учебником; организация домашней работы и т.д.

§ 7. Подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка.

При новой форме аттестации от учащихся требуется владение более широким кругом умений, относящихся к области познавательной деятельности. В соответствии с этим, при выполнении заданий базового уровня экзаменационной работы учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений, умение переходить с одного математического языка на другой, узнавать стандартные задачи в разнообразных формулировках, применять свои знания в практических ситуациях.

Задания части 1

Задания направлены на проверку владения следующими знаниями и умениями:

знать и понимать термины: «уравнение с одной переменной», «корень уравнения»;

выяснять, является ли указанное число корнем данного уравнения;

решать линейные и квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним в результате несложных преобразований;

решать целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения, несложные дробно-рациональные уравнения.

№1. Решите уравнение: (2 — 6х)(х — 4) = 0;

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

№2. Решите уравнение: (1 — 5х)(2х — 3) = 0.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№3. Решите уравнения

а) Зх 2 + х = 0; б) Зх — х 2 = 0. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№ 4. Решите уравнения

а) -12 = 0; б)16- 4х 2 =0.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

№5. Решите уравнения

а) х 2 — 28 = 3х; Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

б) Зх 2 + 14х = 5. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№6. Решите уравнение ;

В ответе запишите сумму корней уравнения

№7. Решите уравнение х 2 + х – 12 = 0;

В ответе запишите сумму корней уравнения

№8. Какое из следующих уравнений имеет два различных корня?

1)х 2 -2х + 5 = 0 2)9х 2 -6х+1 = 0

3) 2х 2 — 7х + 2 = 0 4) Зх 2 — 2х + 2 = 0

№9. Какое из следующих уравнений не имеет корней?
1) х 2 + Зх + 1 = 0 2) х 2 + 2х + 1 = 0

3) х 2 + 2х — 3 = 0 4) х 2 + х + 3 = 0

Задания части 2

№ 10. (Уровень 2.) При каких значениях k уравнение х 2 + kx + 2 = 0 имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие.

№11. Решите уравнение

№12. Решите уравнение (х – 1)(х 2 + 6х + 9) = 5(х + 3)

№13. Решение задачи при помощи составления дробно рационального уравнения приводимое к квадратному.

Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/час.

Проверяемые элементы подготовки к ОГЭ:

—знать и понимать термины: «уравнение с одной переменной»,
«корень уравнения»;

выяснять, является ли указанное число корнем данного уравнения;

— знать и применять алгоритмы решения основных видов уравнений с одной переменной:

проводить простейшее исследование квадратного уравнения (устанавливать, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько);

решать полные и неполные квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним в результате несложных преобразований;

решать целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения;

решать несложные дробно-рациональные уравнения сводящиеся к квадратным в результате несложных преобразований.

В подборке задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка содержатся полные и неполные квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним в результате несложных преобразований, целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения. В экзамен могут быть включены все виды уравнений , которые предусмотрены стандартом, однако это всегда задания, не осложненные техническими трудностями, фактически они требуют только знания соответствующего алгоритма.

Основные недостатки математической подготовки учащихся, или На что обратить внимание при подготовке ОГЭ

Удовлетворительные результаты связаны только с заданиями на
решение простейших уравнений: уравнений, сводящихся простыми
преобразованиями к квадратным уравнениям, представленных в стандартном виде. Но даже на этом уровне имеются определенные
проблемы, требующие особого внимания. Так, процент верных ответов
снижается и при решении уравнений с дробными коэффициентами. Например, № 4. Решите уравнение -12 = 0), и при решении полного квадратного уравнения, если первый коэффициент является дробным.

№6. Решите уравнение ; В ответе запишите сумму корней уравнения. №7. Решите уравнение х 2 + х – 12 = 0; В ответе запишите сумму корней уравнения.

Вообще, всегда, когда в том или ином контексте возникает необходимость работать с дробями, у учащихся возникают трудности. Умение перейти от дробных коэффициентов к целым, безусловно, относится к числу значимых. Следуя известному правилу «целое лучше дроби», целесообразно в ходе обучения неоднократно демонстрировать им, как можно с помощью домножения и левой, и правой частей уравнения на одно и то же число «избавиться» от дробей.

Может показаться странным, но решение неполного квадратного уравнения вида №3. Решите уравнения а) Зх 2 + х = 0; б) Зх – х 2 = 0 вызывает у учащихся больше затруднений, чем применение формулы корней квадратного уравнения. Это свидетельствует о том, что учителя сосредоточиваются на отработке овладения соответствующим алгоритмом в ущерб понятийной стороне. Об этом, кстати, говорит и невысокий процент выполнения задания из примера №8, №9.

Более подготовленные учащиеся, должны уметь проводить исследование квадратных уравнений содержащих буквенные коэффициенты (уравнения с параметрами).

№ 10. (Уровень 2.) При каких значениях k уравнение х 2 + kx + 2 = 0 имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие. Выпускнику необходимо знать, что квадратное уравнение имеет корни, если D (к 2 -4ас .

При решении дробно рациональных уравнений (№11. не указывают область допустимых значений, испытывают затруднения в приведении к общему знаменателю. Необходимо напомнить учащимся, что любое целое число возможно записать со знаменателем один.

Затруднения возникают и при решении заданий «Модуль Алгебра», части 2, № 21. Решите уравнение (х – 1)(х 2 + 6х + 9) = 5(х + 3). Не все учащиеся «видят» формулу сокращенного умножения (х 2 + 6х + 9) = (х + 3) 2 или теряют корень х = — 3. Целесообразно включать аналогичные задания при закреплении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе. Выработать алгоритм решения.

Следует отметить, что невысок процент выполнения текстовых задач из второй части экзаменационной работы (№13. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/час).

Задача решается при помощи дробно рационального уравнения приводимое к квадратному х 2 – 14х – 15 =0.

Фактически они решаются только теми выпускниками, которые имеют отметку «5».

И еще одна из основных ошибок, которая проявляется при составлении уравнения по условию текстовой задачи на движение, связана с незнанием зависимости между скоростью движения, временем движения и пройденным расстоянием.

Все это свидетельства того, что в арифметической подготовке выпускников основной школы много пробелов (естественно, это негативно сказывается и на изучении алгебры).

Весьма типичным недостатком в записи решения задачи, а это требуется при выполнении задач повышенного уровня сложности, является неверное употребление математической терминологии и символики. Так, вместо словосочетания «найдем корни квадратного трехчлена» можно увидеть выражение «решим квадратный трехчлен».

Серьезное непонимание существа дела проявляется в неуместном употреблении логических союзов «и» и «или». В сознании учащихся наблюдается путаница между употреблением этих союзов как логических связок и как частей речи русского языка. Например, результат решения квадратного уравнения х 2 — 5х + 6 = 0 записывают так: х = 2 или х = 3 (или употребляют в этой записи знак совокупности). В то время как задача состоит в нахождении множества корней уравнения, в соответствии с чем требуется перечислить элементы этого множества (а не записывать дизъюнкцию высказываний). Это может быть сделано разными способами, например: х_х = 2, х₂ = 3; 2 и 3; 2; 3.

Основной государственный экзамен (ОГЭ) в новой форме, дает большие возможности для диагностики учебных достижений учащихся. По отношению к индивидууму итоговая аттестация позволяет решать три основные задачи:

1) выявление конкретных недостатков в знаниях и умениях
учащегося;

2) определение уровня его математической компетентности;
3) выявление готовности к обучению в старшей школе.

В ходе выполнения итоговой практико-значимой работы по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», мною был выполнен:

логико-дидактический анализ темы, логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ;

выполнена подборка задач с параметрами и даны методические рекомендации по обучению учащихся;

разработана презентация к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint ;

даны методические рекомендации к использованию материала к уроку;

выполнена подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка;

даны методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Все поставленные мною задачи решены в полном объёме.